四川高考理科数学试题及答案.doc
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2018年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）
一．选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，集合为整数集，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，故
2．在的展开式中，含项的系数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】含项为
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上
所有的点
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】因为，故可由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到
4．若，，则一定有
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，又，由不等式性质知：
，所以
5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，函数的最大值为2，否则，的值为1.
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有种；当最左端为乙时，不同的排法共有种。
共有+种
7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析1】
因为，，所以，又
所以即
【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故
8．如图，在正方体中，点为线段的中点。
设点在线段
上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是
，
由于，，
所以的取值范围是
9．已知，。
现有下列命题：
①；②；③。
其中的所有正确命题的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
【答案】C
【解析】故①正确
但左边的，右边的，故②不正确
当时，
令（）
因为，所以在单增，
即，又与为奇函数，所以成立故③正确
10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为
坐标原点），则与面积之和的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为：
，点，，又，直线AB与轴的交点（不妨假设）
由，所以
又
因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故
于是
当且仅当时取“”
所以与面积之和的最小值是
二．填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数。
【答案】
【解析】
12．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则。
【答案】
【解析】
13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于。
（用四舍五入法将结果精确到个位。
参考数据：
，，，，）
【答案】
【解析】，
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是。
【答案】
【解析】，，因为，所以
故（当且仅当时取“”）
15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：
对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。
例如，当，时，，。
现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则。
其中的真命题有。
（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
三．解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数。
（1）求的单调递增区间；
（2）若是第二象限角，，求的值。
解：
（1）由
所以的单调递增区间为（）
（2）由
因为
所以
又是第二象限角，所以或
①由（）
所以
②由
所以
综上，或
17．一款击鼓小游戏的规则如下：
每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。
设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。
请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：
（1）可能取值有，10，20，100
，，
，
故分布列为
10
20
100
P
（2）由
（1）知：
每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由
（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是
分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：
许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。
设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。
（1）证明：
为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值。
解：
（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：
平面平面，
设为的中点，连接，
于是，所以平面
因为，分别为线段，的中点，所以，又，故
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线
从而平面，这与矛盾
所以为线段的中点
（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
于是，，
设平面和平面的法向量分别为和
由，设，则
由，设，则
所以二面角的余弦值
19．设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。
（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。
解：
（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为
所以
因为点在函数的图象上，所以，所以
又，所以
（2）由
函数的图象在点处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为，从而，故
从而，，
所以
故
20．已知椭圆C：
（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。
（i）证明：
OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当最小时，求点T的坐标。
解：
（1）依条件
所以椭圆C的标准方程为
（2）设，，，又设中点为
（i）因为，所以直线的方程为：
所以
于是，
所以。
因为
所以，，三点共线
即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）
（ii），
所以，令（）
则（当且仅当时取“”）
所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或
21．已知函数，其中，为自然对数的底数。
（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
解：
（1）因为所以又
因为，所以：
①若，则，，
所以函数在区间上单增，
②若，则，
于是当时，当时，
所以函数在区间上单减，在区间上单增，
③若，则，
所以函数在区间上单减，
综上：
在区间上的最小值为
（2）由，又
若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间
由
（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。
若，则
令（）
则。
由
所以在区间上单增，在区间上单减
即恒成立
于是，函数在区间内至少有三个单调区间
又所以
综上，的取值范围为
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