版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题文新人教版.docx

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版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题文新人教版

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题文新人教版

1．（2015·课标全国Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）

A.B．2C.D.

答案　D

解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M（x1，y1）在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N（x1,0），

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，

∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，

∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝a，

x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M（x1，y1）的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.

2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　B

解析　设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0），焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示，因为F（－2，0）为C的左焦点，所以c＝2.

由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.

在Rt△PFF′中，由勾股定理，

得|PF′|＝＝＝8.

由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，

所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－

（2）2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.

3．设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　由已知得焦点坐标为F（，0），

因此直线AB的方程为y＝（x－），

即4x－4y－3＝0.

方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得

4y2－12y－9＝0，

故|yA－yB|＝＝6.

因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.

方法二　联立方程得x2－x＋＝0，

故xA＋xB＝.

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋

＝12，

同时原点到直线AB的距离为h＝＝，

因此S△OAB＝|AB|·h＝.

4．（2016·北京）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

答案　2

解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，

∴c＝|OB|＝2，

又∠AOB＝，

∴＝tan＝1，即a＝b.

又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

5．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．

答案　－＝1

解析　由题意得，双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点坐标为（，0），（－，0），c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，

双曲线的方程为－＝1.

题型一　求圆锥曲线的标准方程

例1　已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　D

解析　设A（x1，y1）、B（x2，y2），

所以运用点差法，

所以直线AB的斜率为k＝，

设直线方程为y＝（x－3），

联立直线与椭圆的方程得（a2＋b2）x2－6b2x＋9b2－a4

＝0，

所以x1＋x2＝＝2，

又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.

思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

　（2015·天津）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2,0），且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－y2＝1D．x2－＝1

答案　D

解析　双曲线－＝1的一个焦点为F（2,0），

则a2＋b2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

由题意得＝，②

联立①②解得b＝，a＝1，

所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.

题型二　圆锥曲线的几何性质

例2　

（1）（2015·湖南）若双曲线－＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（　　）

A.B.C.D.

（2）（2016·天津）设抛物线（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．

答案　

（1）D　

（2）

解析　

（1）由条件知y＝－x过点（3，－4），∴＝4，

即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，

∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.

（2）由（p>0）消去t可得抛物线方程为y2＝2px（p>0），

∴F，

|AB|＝|AF|＝p，

可得A（p，p）．

易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，

故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×

＝p2＝3，

∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.

思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

　已知椭圆＋＝1（a>b>0）与抛物线y2＝2px（p>0）有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为____________．

答案　－1

解析　因为抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.

当x＝时，代入抛物线方程得

y＝±p，

又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.

所以|PE|＝＝p，

|PF|＝p，|EF|＝p.

故2a＝p＋p,2c＝p，e＝＝－1.

题型三　最值、范围问题

例3　若直线l：

y＝－过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．

解　

（1）由题意，可得c＝2，＝，

所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，

解得a＝，b＝1.

故双曲线的方程为－y2＝1.

（2）由

（1）知B（0,1），依题意可设过点B的直线方程为

y＝kx＋1（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（1－3k2）x2－6kx－6＝0，

所以x1＋x2＝，

Δ＝36k2＋24（1－3k2）＝12（2－3k2）>0⇒0

且1－3k2≠0⇒k2≠.

设MN的中点为Q（x0，y0），

则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝，

故直线m的方程为y－＝－，

即y＝－x＋.

所以直线m在y轴上的截距为，

由0

得1－3k2∈（－1,0）∪（0,1），

所以∈（－∞，－4）∪（4，＋∞）．

故直线m在y轴上的截距的取值范围为（－∞，－4）∪（4，＋∞）．

思维升华　圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：

一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围．

　直线l：

x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．

答案　

解析　由得3x2＝2，

∴x＝±，设点A在第一象限，

∴A（，），B（－，－），∴|AB|＝.

设与l平行的直线l′：

y＝x＋m与椭圆相切于P点．

则△ABP面积最大．

由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

∴Δ＝（4m）2－4×3×（2m2－2）＝0，

∴m＝±.∴P到AB的距离即为l与l′的距离，

∴d＝.∴S△ABC＝××＝.

题型四　定值、定点问题

例4　（2016·全国乙卷）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

解　

（1）因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为（x＋1）2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A（－1,0），B（1,0），|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．

（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由得（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|＝.

过点B（1,0）且与l垂直的直线m：

y＝－（x－1），

点A到m的距离为，

所以|PQ|＝2＝4.

故四边形MPNQ的面积

S＝|MN||PQ|＝12.

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8）．

当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8）．

思维升华　求定点及定值问题常见的方法有两种

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

　（2016·北京）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A（a,0），B（0，b），O（0,0），△OAB的面积为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：

|AN|·|BM|为定值．

（1）解　由已知＝，ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.

∴椭圆方程为＋y2＝1.

（2）证明　由

（1）知，A（2,0），B（0,1）．

设椭圆上一点P（x0，y0），则＋y＝1.

当x0≠0时，直线PA方程为y＝（x－2），

令x＝0，得yM＝.

从而|BM|＝|1－yM|＝.

直线PB方程为y＝x＋1.

令y＝0，得xN＝.

∴|AN|＝|2－xN|＝.

∴|AN|·|BM|＝·

＝·

＝

＝＝4.

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

∴|AN|·|BM|＝4.

故|AN|·|BM|为定值．

题型五　探索性问题

例5　（2015·广东）已知过原点的动直线l与圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：

y＝k（x－4）与曲线C只有一个交点？

若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

解　

（1）圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0化为（x－3）2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为（3,0）．