南京三模江苏省南京市盐城市届高三第三次调研考试数学含答案Word文件下载.docx

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15.（本小题满分14分）

已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acosB＋bcosA＝.

（1）求证：

A＝C；

（2）若b＝2，且·

＝1，求sinB的值．

16.（本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°

.

平面PAC⊥平面PAB；

（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：

BC∥l.

17.（本小题满分14分）

如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮（把游客看作圆C上一点）旋转一周，求该游客能看到点B的时长．（只考虑此建筑物对游客视线的遮挡）

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）过点（1，），离心率为.A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；

（3）过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上（不包括端点O，A），直线NA与直线BM交于点P，求·

的值．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx＋＋1，a∈R.

（1）若函数f（x）在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；

（2）记g（x）＝f（x）＋ax，若函数g（x）在区间（0，）上有最小值，求实数a的取值范围；

（3）当a＝0时，关于x的方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数r，t，且r<

t，使得Sr＝t，St＝r同时成立，则称数列{an}为“M（r，t）数列”．

（1）若首项为3，公差为d的等差数列{an}是“M（r，2r）数列”，求d的值；

（2）已知数列{an}为等比数列，公比为q.

①若数列{an}为“M（r，2r）数列”，r≤4，求q的值；

②若数列{an}为“M（r，t）数列”，q∈（－1，0），求证：

r为奇数，t为偶数.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修42：

矩阵与变换）

已知矩阵M＝.

（1）求M2；

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

B.（选修44：

坐标系与参数方程）

在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ＋）＝1，以极点O为坐标原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（其中α为参数，r>

0）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB＝3，求r的值．

C.（选修45：

不等式选讲）

若x，y，z为实数，且x2＋4y2＋9z2＝6，求x＋2y＋6z的最大值．

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p>

0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.

（1）求p的值；

（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：

点P在定直线上．

23.对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：

按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k（k∈N*，且k≥3）位，则称子串“010”在第k位出现；

再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位（其中m≥3，且m∈N*），则称子串“010”在第k＋m位出现；

……；

如此不断地重复下去．如：

在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f（n）．

（1）求f（3），f（4）的值；

（2）求证：

对任意的正整数n，f（4n＋1）是3的倍数．

2019届高三模拟考试试卷（南京）

数学参考答案及评分标准

1.{4，5}　2.四　3.30　4.　5.－5　6.　7.　8.6　9.－1　10.　11.　12.

13.2＋2　14.（－∞，1]

15.

（1）证明：

由正弦定理＝＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

代入acosB＋bcosA＝，得（sinAcosB＋sinBcosA）cosC＝sinCcosA，（2分）

即sin（A＋B）cosC＝sinCcosA.

因为A＋B＝π－C，所以sin（A＋B）＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA．（4分）

因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA.

因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C.（6分）

（2）解：

由

（1）知A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝.（8分）

因为·

＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3.（10分）

所以cosB＝.（12分）

因为B∈（0，π），所以sinB＝＝.（14分）

16.证明：

（1）因为PA⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，所以PA⊥AC.（2分）

因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°

，由余弦定理，

得AC＝＝＝.（4分）

因为12＋（）2＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.（6分）

因为AC⊥PA，且PA∩AB＝A，PA

平面PAB，AB

平面PAB，

所以AC⊥平面PAB.

又AC

平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.（8分）

（2）因为BC∥AD，AD

平面PAD，BC

平面PAD，所以BC∥平面PAD.（10分）

因为BC

平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.（14分）

17.解：

以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则B（0，0），Q（45，15），C（160，75）．

过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点M，N，

设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，

则点Q到l的距离为＝15，

解得k＝或k＝0（舍去）．

所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0.（4分）

点C（160，75）到直线l的距离CH＝＝36.（6分）

在Rt△CHM中，因为CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝.（8分）

因为∠MCH∈（0，），所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，（12分）

所以所用时长为30×

＝10min.（13分）

答：

该游客能看到点B的时长为10min.（14分）

18.解：

（1）因为椭圆过点（1，），离心率为，

所以＋＝1，＝1－e2＝，解得a2＝2，b2＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（2分）

（2）由

（1）知B（0，－1），设M（x0，y0），P（x，y）．

由＝3，得（x，y＋1）＝3（x0，y0＋1），则x＝3x0，y＝3y0＋2.

因为P在直线x－y＋2＝0上，所以y0＝x0　①.（4分）

因为M在椭圆C上，所以＋y＝1，将①代入上式，得x＝.（6分）

所以|x0|＝，从而|xP|＝，

所以S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝×

2×

－×

＝.（8分）

（3）（解法1）由

（1）知，A（0，1），B（0，－1）．

设D（0，m），0＜m＜1，M（x1，y1），N（x2，y2）．

因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为y＝x＋m.

联立方程组消去y，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

所以x1＋x2＝－，x1·

x2＝.（10分）

直线MB的方程为y＝x－1，直线NA的方程为y＝x＋1，

联立解得yP＝.（12分）

将y1＝x1＋m，y2＝x2＋m代入，得

yP＝＝＝＝.（14分）

所以·

＝（0，m）·

（xP，yP）＝myP＝m·

＝1.（16分）

（解法2）由

（1）知，A（0，1），B（0，－1）．设M（x0，y0），则＋y＝1.

因为直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为y＝x－x0＋y0，则D（0，y0－x0）．

联立方程消去y，得3x2－4（x0－y0）x＋2（x0－y0）2－2＝0，

所以xN＋x0＝，（10分）

所以xN＝，yN＝－，

所以直线NA的方程为y＝x＋1＝x＋1，

直线MB的方程为y＝x－1，

因为＋y＝1，

所以yP＝＝，（14分）

＝（0，y0－x0）·

（xP，yP）＝（y0－x0）＝1.（16分）

19.解：

（1）f′（x）＝－，则f′

（1）＝1－a＝2，解得a＝－1，则f（x）＝lnx－＋1，

此时f

（1）＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为（1，0），代入切线方程，得b＝－2，

所以a＝－1，b＝－2.（2分）

（2）g（x）＝f（x）＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′（x）＝－＋a＝.

①当a＝0时，g′（x）＝＞0，则g（x）在区间（0，）上为增函数，则g（x）在区间（0，）上无最小值．（4分）

②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，

则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，

由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.

设函数m（x）＝ax2＋x－a（x＞0），

（i）若a＞0，

当x2∈（0，）时，m（0）＝－a＜0，m（）＝＋－a＞0，解得0＜a＜.

此时当x∈（0，x2）时，m（x）＜0，则g（x）递减；

当x∈（x2，）时，m（x）＞0，则g（x）递增，

当x＝x2时，g（x）取极小值，即为最小值．

当x2≥时，x∈（0，），m（x）＜0，则g（x）在（0，）上单调递减，无最小值．（6分）

（ii）若a＜0，

当x∈（0，x2）时，m（x）＞0，则g（x）递增；

当x∈（x2，＋∞）时，m（x）＜0，则g（x）递减，

在区间（0，）上，g（x）不会有最小值．

所以a＜0不满足条件．

综上，当0＜a＜时，g（x）在区间（0，）上有最小值．（8分）

（3）当a＝0时，由方程f（x）＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0.

记h（x）＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′（x）＝－2bx＝.

①当b≤0时，h′（x）＞0恒成立，即h（x）在（0，＋∞）上为增函数，

则函数h（x）至多只有一个零点，即方程f（x）＝bx2至多只有一个实数根，

所以b≤0不符合题意．（10分）

②当b＞0时，

当x∈（0，）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）递增；

当x∈（，＋∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）递减，

则h（x）max＝h（）＝ln＋.

要使方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根，

则h（）＝ln＋＞0，解得0＜b＜.（12分）

（i）当0＜b＜时，h（）＝－＜0.

又（）2－（）2＝＜0，则＜，

所以存在唯一的x1∈（，），使得h（x1）＝0.（14分）

（ii）h（）＝ln＋1－＝－lnb＋1－，记k（b）＝－lnb＋1－，0＜b＜.

因为k′（b）＝－＋＝，则k（b）在（0，1）上为增函数，在（1，）上为减函数，

则k（b）max＝k

（1）＝0，则h（）≤0.

又（）2－（）2＝＞0，即＞，

所以存在唯一的x2∈（，]，使得h（x2）＝0.

综上，当0＜b＜时，方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根．（16分）

20.

（1）解：

因为{an}是M（r，2r）数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r.

由Sr＝2r，得3r＋d＝2r.因为r＞0，所以（r－1）d＝－2　（*）．

由S2r＝r，得6r＋d＝r.因为r＞0，所以（2r－1）d＝－5　（**）．

由（*）和（**），解得r＝3，d＝－1.（2分）

（2）①解：

（i）若q＝1，则Sr＝ra1，St＝ta1.

因为{an}是M（r，2r）数列，所以ra1＝2r　（*），2ra1＝r　（**）．

由（*）和（**），得a1＝2且a1＝，矛盾，所以q≠1.（3分）

（ii）当q≠1，因为{an}是M（r，2r）数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r，

即＝2r　（*），＝r　（**）．

由（*）和（**），得qr＝－.（5分）

当r＝1时，q＝－；

当r＝2，4时，无解；

当r＝3时，q＝－.

综上，q＝－或q＝－.（6分）

②证明：

因为{an}是M（r，t）数列，q∈（－1，0），所以Sr＝t，且St＝r，

即＝t，且＝r，

两式作商，得＝，即r（1－qr）＝t（1－qt）．（8分）

（i）若r为偶数，t为奇数，则r（1－|q|r）＝t（1＋|q|t）．

因为r＜t，0＜1－|q|r＜1，1＋|q|t＞1，所以r（1－|q|r）＜t（1＋|q|t），

这与r（1－|q|r）＝t（1＋|q|t）矛盾，所以假设不成立．（10分）

（ii）若r为偶数，t为偶数，则r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）．

设函数y＝x（1－ax），0＜a＜1，则y′＝1－ax－xaxlna.

当x＞0时，1－ax＞0，－xaxlna＞0，所以y＝x（1－ax）在（0，＋∞）上递增．

因为r＜t，所以r（1－|q|r）＜t（1－|q|t），

这与r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）矛盾，所以假设不成立．（12分）

（iii）若r为奇数，t为奇数，则r（1＋|q|r）＝t（1＋|q|t）．

设函数y＝x（1＋ax），0＜a＜1，则y′＝1＋ax＋xaxlna.

设g（x）＝1＋ax＋xaxlna，则g′（x）＝axlna（2＋xlna）．

令g′（x）＝0，得x＝－.因为ax＞0，lna＜0，

所以当x＞－，g′（x）＞0，则g（x）在区间（－，＋∞）上递增；

当0＜x＜－，g′（x）＜0，则g（x）在区间（0，－）上递减，

所以g（x）min＝g（－）＝1－a－.

因为－＞0，所以a－＜1,所以g（x）min＞0，

从而g（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，

所以y＝x（1＋ax），0＜a＜1在（0，＋∞）上单调递增．

因为r＜t，所以r（1＋|q|r）＜t（1＋|q|t），

这与r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）矛盾，所以假设不成立．（14分）

（iv）若r为奇数，t为偶数．

由①知，存在等比数列{an}为“M（1，2）数列”．

综上，r为奇数，t为偶数．（16分）

数学附加题参考答案及评分标准

21.A.解：

（1）M2＝＝.（4分）

（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）（λ－3）．

令f（λ）＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3.（6分）

①当λ＝1时，＝，得

令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为.（8分）

②当λ＝3时，＝3，得

令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为.

因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，.（10分）

B.解：

直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.（2分）

曲线C的普通方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝r2.（4分）

因为圆心C（2，－1）到直线l的距离d＝＝，（6分）

所以r＝＝.（10分）

C.解：

由柯西不等式，得[x2＋（2y）2＋（3z）2]（12＋12＋22）≥（x＋2y＋6z）2.（4分）

因为x2＋4y2＋9z2＝6，所以（x＋2y＋6z）2≤36，（6分）

所以－6≤x＋2y＋6z≤6.

当且仅当＝＝时，不等式取等号，

此时x＝1，y＝，z＝或x＝－1，y＝－，z＝－，（8分）

所以x＋2y＋6z的最大值为6.（10分）

22.

（1）解：

因为l过M（2，0），且当l垂直于x轴时，AB＝4，

所以抛物线经过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×

2，解得p＝1.（2分）

（2）证明：

设直线l的方程为y＝k（x－2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立消去x，得ky2－2y－4k＝0，

则y1＋y2＝，y1y2＝－4.（4分）

因为点C为AB中点，所以yC＝＝，则直线l1的方程为y＝.（6分）

因为直线l2过点M且与l垂直，则直线l2的方程为y＝－（x－2）．

联立（8分）

解得即P（1，），

所以点P在定直线x＝1上．（10分）

23.

（1）解：

在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，

所以f（3）＝1.（2分）

在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，

所以f（4）＝2.（4分）

当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．

由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．

所以f（n）＝2n－3－f（n－2），n≥5且n∈N*.（6分）

因为f（3）＝1，所以f（5）＝3.

下面用数学归纳法证明f（4n＋1）是3的倍数．

①当n＝1时，f（5）＝3是3的倍数；

②假设当n＝k（k∈N*）时，f（4k＋1）是3的倍数，

那么当n＝k＋1时，

f（4（k＋1）＋1）＝f（4k＋5）＝24k＋2－f（4k＋3）＝24k＋2－[24k－f（4k＋1）]

＝3×

24k＋f（4k＋1）．（8分）

因为f（4k＋1）是3的倍数，且3×

24k也是3的倍数，所以f（4k＋5）是3的倍数．

这就是说，当n＝k＋1时，f（4（k＋1）＋5）是3的倍数．

由①②可知，对任意的正整数n，f（4n＋1）是3的倍数．（10分）