全国高考理科数学试题分类汇编6三角函数文档格式.docx
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=sin.
,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
17.,,[2014·
重庆卷]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
17.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2×
+φ=kπ+,k=0,±
1,±
2,….
因为-≤φ<,
所以φ=-.
(2)由
(1)得ƒ=sin(2×
-)=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos
=sinα
=sin
=sincos+cossin
=×
+×
3三角函数的图象与性质
9.[2014·
辽宁卷]将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
9.B [解析]由题可知,将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y=3sin的图像,令-+2kπ≤2x-π≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,函数单调递增,即函数y=3sin的单调递增区间为,k∈Z,可知当k=0时,函数在区间上单调递增.
3.[2014·
全国卷]设a=sin33°
,b=cos55°
,c=tan35°
,则( )
A.a>
b>
cB.b>
c>
a
C.c>
aD.c>
a>
b
3.C [解析]因为b=cos55°
=sin35°
>
sin33°
,所以b>a.因为cos35°
<
1,所以>
sin35°
.又c=tan35°
=>
,所以c>
b,所以c>
a.
14.、[2014·
新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
14.1 [解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sinx,故其最大值为1.
4 函数
的图象与性质
四川卷]为了得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需把函数y=sin2x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
3.A [解析]因为y=sin(2x+1)=sin2,所以为得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需要将y=sin2x的图像向左平行移动个单位长度.
11.[2014·
安徽卷]若将函数f(x)=sin的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
11. [解析]方法一:
将f(x)=sin的图像向右平移φ个单位,得到y=sin的图像,由该函数的图像关于y轴对称,可知sin=±
1,即sin=±
1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,所以当φ>
0时,φmin=.
由f(x)=sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知,-2φ=+kπ,k∈Z,又φ>
0,所以φmin=.
14.[2014·
北京卷]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>
0,ω>
0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
14.π [解析]结合图像得=-,即T=π.
7.、[2014·
广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
7.D [解析]本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.
如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设BB1是直线l1,BC是直线l2,AB是直线l3,则DD1是直线l4,l1∥l4;
设BB1是直线l1,BC是直线l2,CC1是直线l3,CD是直线l4,则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定.
17.、、、[2014·
湖北卷]某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,
又0≤t<
24,所以≤t+<
,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>
11时,实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>
11,
即sin<
-.
24,因此<
t+<
,
即10<
t<
18.
故在10时至18时实验室需要降温.
16.、[2014·
江西卷]已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
(1)f(x)=sin+cos=
(sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx=sin.
因为x∈[0,π],所以-x∈,
故f(x)在区间[0,π]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由得
又θ∈,知cosθ≠0,
所以
解得
12.、[2014·
新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
12.C [解析]函数f(x)的极值点满足=+kπ,即x=m,k∈Z,且极值为±
,问题等价于存在k0使之满足不等式m2+3<
m2.因为的最小值为,所以只要m2+3<
m2成立即可,即m2>
4,解得m>
2或m<
-2,故m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
16.,[2014·
山东卷]已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·
b,且y=f(x)的图像过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
(1)由题意知,f(x)==msin2x+ncos2x.
因为y=f(x)的图像过点和点,
即
解得m=,n=1.
(2)由
(1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin.
由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2).
由题意知,x+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得,sin=1.
因为0<
φ<
π,所以φ=.
因此,g(x)=2sin=2cos2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
2.[2014·
陕西卷]函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
2.B [解析]已知函数y=Acos(ωx+φ)(A>
0)的周期为T=,故函数f(x)的最小正周期T==π.
16.,,,[2014·
四川卷]已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,得sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
得α=+2kπ,k∈Z,
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,得cosα-sinα<
0,此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
15.、、[2014·
天津卷]已知函数f(x)=cosx·
sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
15.解:
(1)由已知,有
f(x)=cosx·
-cos2x+
=sinx·
cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,
所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
4.[2014·
浙江卷]为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像( )
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
4.C [解析]y=sin3x+cos3x=cos=cos,所以将函数y=cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y=sin3x+cos3x的图像,故选C.
C5两角和与差的正弦、余弦、正切
安徽卷]设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由余弦定理得cosB==,所以由正弦定理可得a=2b·
.
因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2.
(2)由余弦定理得cosA===
-.因为0<
A<
π,所以sinA===.
故sin=sinAcos+cosAsin=×
广东卷]已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.
17.、[2014·
辽宁卷]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>
c.已知·
=2,cosB=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
(1)由·
=2得c·
a·
cosB=2,
又cosB=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,
又b=3,所以a2+c2=9+2×
2=13.
解得或
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sinB===.
由正弦定理,得sinC=sinB=·
因为a=b>c,所以C为锐角,
因此cosC===.
所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×
17.[2014·
全国卷]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.
由题设和正弦定理得
3sinAcosC=2sinCcosA,
故3tanAcosC=2sinC.
因为tanA=,所以cosC=2sinC,
所以tanC=.
所以tanB=tan[180°
-(A+C)]
=-tan(A+C)
=
=-1,
所以B=135°
8.[2014·
新课标全国卷Ⅰ]设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β=B.3α+β=
C.2α-β=D.2α+β=
8.C [解析]tanα===
==tan,因为β∈,所以+∈,又α∈且tanα=tan,所以α=,即2α-β=.
13.,[2014·
四川卷]如图13所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°
,30°
,此时气球的高度是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°
≈0.92,cos67°
≈0.39,sin37°
≈0.60,cos37°
≈0.80,≈1.73)
图13
13.60 [解析]过A点向地面作垂线,记垂足为D,则在Rt△ADB中,∠ABD=67°
,AD=46m,∴AB===50(m),
在△ABC中,∠ACB=30°
,∠BAC=67°
-30°
=37°
,AB=50m,
由正弦定理得,BC==60(m),
故河流的宽度BC约为60m.
10.,[2014·
重庆卷]已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>
8B.ab(a+b)>
16
C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24
10.A [解析]因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,C=π-(A+B),所以由已知等式可得sin2A+sin(π-2B)=sin[π-2(A+B)]+,即sin2A+sin2B=sin2(A+B)+,
所以sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin2(A+B)+,
所以2sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+,
所以2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]=,所以sinAsinBsinC=.
由1≤S≤2,得1≤bcsinA≤2.由正弦定理得a=2RsinA