初中数学竞赛讲座数论部分3素数与合数文档格式.docx
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1,否则a是质数。
于q是a的除1外的最小正因数,所以q小于等于c,q2?
qc=a故q?
a。
a的某些质数的倍数。
换言之, 说明:
此性质表明,一个合数a一定是不大于如果所有不大于 。
a的质数都不能整除a,那么a一定是质数 此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。
例如判断191是不是素数。
因为不大于191 这种方法还可以求不大于a的所有素数,例如,求50以内的全体素数。
于不大于50 第1页共8页 ,50中依次划去2,3,5,7的倍数最后余下的数就是50以内的全体质数。
这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。
性质4.如果对任意1到a之间的素数p,都有p|a,那么a为素数,这里a为正整数。
证明:
事实上,若a为合数,则可写成a?
pq,2?
p?
q,因此p2?
a,即p?
a,这表明p的素因子?
a,且它是a的因数,与条件矛盾。
因此a为素数。
性质5.质数的个数是无穷的 证明:
假设素数是有限的,假设素数只有有限的n个,最大的一个素数是p,设q为所有素数之积加上1,那么,q=(2*3*5*……*p)+1不是素数,那么,q可以被2、3、……、p中的数整除,而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1,与之矛盾。
所以,素数是无限的。
二、典型问题:
例1.设p,q,r都是素数,并且p?
q?
r,p?
q,求p 解:
于r=p+q,所以r不是最小的质数,从而r是奇数,所以p,q为一个奇数和一个偶数。
因为p 思考:
当p=2时,r=2+q,满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数,请写出前十对孪生素数。
例2.设a,b,c均为素数,且a+b?
c?
68,ab?
bc?
ca?
1121,求abc的值。
分析:
要求abc的值,不一定要把a,b,c都求出来。
注意到3个质数的和a+b?
68是偶数,所以a,b,c中必然有一个是偶数,它只能是2,代入第二个等式,便可求出另两个数的乘积。
解:
不妨设a?
b?
c a+b?
68,得a=2,则b?
66,代入a(b?
c)?
1121,得bc=989,故abc=1978例3解方程:
x(x?
y)?
z?
120,其中x,y是素数,z是奇素数。
因为z是奇数,所以z+120是奇数,所以x和x+y均为奇数,所以y=(x+y)-x为偶数。
又y为质数,所以y=2,所以x(x+2)=z+120 所以x?
2x?
120?
z,即(x?
12)(x?
10)?
z,又z为质数,且x-10 2第2页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 ?
x?
10?
1所以?
,所以x=11,z=23 x?
12?
?
11?
故方程的解为?
y?
2 ?
23?
n3?
1例4.若n是正整数,且是一个素数,求n的值。
5n3?
1(n?
1)(n2?
n?
1)解:
因为=是一个质数,所以5|(n-1)(n2+n+1)55所以5|(n-1),或5|(n2+n+1),若5|(n2+n+1),因为n>
1,所以n2+n+1?
22+2+1>
5 (n?
1)又是一个质数,所以n-1=1,即n=2,但此时n2+n+1=7,与5|(n2+n+1)5矛盾。
所以5|(n-1),又n2+n+1>
1,所以n-1=5,即n=6 n3?
1此时=43是质数,综上所述n=65例5设n为正整数,且n与5n+3均为素数,求证:
5n+4n?
1也是素数。
证明:
若n为奇质数,则5n2为奇数,所以5n+3为偶数。
又因为n为正整数,显然5n+3>
2 所以5n+3为合数,这与5n+3为质数矛盾。
所以n为偶质数,即n=2 当n=2时,5n?
4n?
1=29为质数。
例6设p,p+10,p+14都是素数,试确定所有的p。
解:
设p=3k+r(r=0,1,2)
(1)当r=1时,p=3k+1,则p+14=3k+1+14=3(k+5),为合数,与条件矛盾;
(2)当r=2时,p=3k+2,则p+10=3k+2+10=3(k+4),为合数,与条件矛盾;
(1)
(2)可知,要使p,p+10,p+14都是素数,只能r=0,即p=3k, 第3页共8页 2222222初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 此时,当且仅当k=1时,p=3为素数,此时p+10=13,p+14=17也都是素数,所以满足条件。
故满足题意的p只有3。
说明:
质数被2除,除2外,只能是2k+1型的数;
质数被3除,除3外,只能是3k+1与3k-1型的数;
以此类推,特别地,质数被6除,只能是6k+1和6k-1型的数。
例7若p和p+2都是大于3的素数,求证:
p+1是合数,且6是它的一个约数。
分析:
6是p+1的一个约数,提示我们应将质数p被6除,分为两类,即6k+1和6k-1型的数 证明:
因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类,其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数 若p=6k+1,则p+2=3(2k+1)是合数,不合题意;
所以p=6k-1,这时p+1=6k是合数,且6是它的一个约数。
例8设m为正整数,且1?
2?
3?
(m?
1)?
1被m整除,求证:
m为质数。
?
1)中含有因 证明:
假设m为合数,令m=pq(1 证明:
4=n?
4?
4n=(n2?
2)2?
(2n)2=(n2?
2n?
2)(n2?
2)因为n2?
n2?
(n?
1)2?
1?
1所以n?
4是合数。
例10若x1,x2为正整数,且x1?
x2?
a,x1x2?
b,求证:
a?
b为合数。
将a?
b用x1,x2的代数式表示,再化为两个大于1的正整数之积。
222222证明:
b=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=x1?
x1x2?
1=(x1?
1)(x2?
1) 2222224444224因为x1,x2是正整数,所以x1?
1,x2?
1所以a?
例11给定下表:
147101349141924 第4页共8页 2222初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 71421283510192837461324354657 求证:
若N在表中,则2N+7不是素数;
若N不在表中,则2N+7是素数。
观察可知,表中第m行、第n列处的数为n(2m+1)+m-3 若N为表中第m行、第n列处的数,则2N+7=2[n(2m+1)+m-3]+7=(2n+1)(2m+1)因为mm?
1,n?
1,所以2n+1?
1,2m+1?
1,所以2N+7不是素数 设2N+7=pq,p>
1,q>
1,则p,q必为正奇数,令p=2n+1,q=2m+1所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1),N=n(2m+1)+m-3显然N为表中第m行、第n列处的数。
例12是否存在连续四个正整数,它们均为合数?
若存在,求出其中最小的一组数;
若不存在,说明理。
连续四个正整数中必有一个是2的倍数,一个是3的倍数,一个是4的倍数。
设n=1?
4,则n,n+1,n+2,n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数,它们均为合数,且是最小的一组。
如果不要求最小的一组,设n=2?
5,则n+2,n+3,n+4,n+5分别含有约数2,3,4,5,故它们是四个连续的合数,所以符合条件的合数有无数多组。
例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1,2,…,40,41这41个自然数,问:
能否使这41名运动员站成一排,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?
能否让这41名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?
若能办到,请举一例;
若不能办到,请说明理.解:
能办到.注意到41与43都是质数,据题意,要使相邻两数的和都是质数,显然,它们不能都是奇数,因此,在这排数中只能一奇一偶相间排列,不妨先将奇数排成一排:
1,3,5,7,41,在每两数间留有空档,然后将所有的偶数依次反序插在各空档中,得1,40,3,38,5,36,7,34,8,35,6,37,4,39,2,41,这样任何相邻两数之和都是41或43,满足题目要求. 不能办到.若把1,2,3,…,40,41排成一圈,要使相邻两数的和为质数,这些质数都是奇数,故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶,但现有20个偶数,21个奇数,总共有41个号码,此引出矛盾,故不能办到. 三、模拟训练 1.有下列4种说法:
两个质数的和必是质数;
两个合数的和必是合数;
一个质数与一个合数的和必是质数;
一个质数与一个合数的和必是合数。
其中正确的说法的个数有. A.0 B.1 C.2 D.4答:
A 第5页共8页
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 2.若p为质数,p3?
5仍为质数,则p5?
7为. A.质数B.可为质数,也可为合数C.合数D.既不是质数,也不是合数答:
C 3.小于100的质数共___个,它们是____________________ ______________.答:
25;
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、974.能整除3?
5的最小质数是 . 答:
2 5.己知质数P与奇数Q的和是11,则P=__,Q=__.答:
2,9 6.己知两个素数的差是41,那么它们分别是_____.答:
2,43 7.如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是___. 如果两个质数的积等于15,则它们是_____.三个质数之和为86,那么这三个质数是 .答:
1和193和52,3,71 8.两个质数x和y,己知xy?
91,那么x?
,y?
或x?
.答:
7、13和13、7 是质数,并且p6?
3也是质数,则p3?
5= .答:
13 1115pp?
qq10.若p,q为质数,m,n为正整数,p?
m?
n,q?
mn,则m= . m?
nn答:
(19). 31511.已知三个质数a,b,c满足a?
abc?
99,那么a?
b+b?
c+c?
a的值等于 .答:
34 12.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是 .答:
29 13.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是 . 第6页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 答:
374 14.已知a是质数,b是奇数,且a?
b=2007,则a?
b= .答:
2005 15.试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数 .答:
25、26、27、28 16.设p(p?
5)是质数,并且2p?
1也是质数.求证:
4p?
1是合数 证明:
于p是大于3的质数,故p不会是3k的形式,从而p必定是3k+1或3k+2的形 式,k是正整数. 若p=3k+1,则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数,与题设矛盾.所以p=3k+2,这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数.17.设a、b、c、d是四个整数,且使得m=(ab+cd)2-2122222(a+b-c-d)是一个非零整数,求4证:
|m|一定是个合数.解:
要证明|m|是合数,只要能证出|m|=p?
q,p?
q均为大于1的正整数即可.12222(a+b-c-d)411=[ab+cd+(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-(a2+b2-c2-d2)]221=[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]41=[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]41=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)41因为m是非零整数,则(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数.4证明:
m=(ab+cd)2-于四个数a+b+c-d,a+b-c+d,a-b+c+d,-a+b+c+d的奇偶性相同,乘积应被4整除,所以四个数均为偶数.所以可设a+b+c-d=2m1,a+b-c+d=2m2,a-b+c+d=2m3,-a+b+c+d=2m4,其中m1,m2,m3,m4均为非零整数.所以m=1=4m1m2m3m4,4所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0,所以|m|是一个合数. 问题研究1:
写出100以内的素数:
2,3,5,7,97,我们发现素数比3的倍数小1或大1,这种模式能延续下去吗?
说说你的研究结论。
第7页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 第8页共8页