《成才之路》高一数学人教A版必修2能力强化提升232 平面与平面垂直的判定Word格式文档下载.docx
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C．2个D．3个
[解析] 仅②正确．
3．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
[答案] D
[解析] 与平面BC1垂直的面有：
平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.
4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是（ ）
A．相等B．互补
C．互余D．无法确定
[解析] 如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°
，∴∠A＋∠BDC＝180°
.
5．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是（ ）
[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；
②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；
③中，还可能n∥α，所以③不正确；
④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．
6．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
tan∠A1OA＝
＝
，∴选C.
7．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．30°
或150°
D．60°
或120°
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°
，∴∠ADB＝60°
，
∴二面角大小为60°
8．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为（ ）
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°
[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AFC＝90°
，∴AF⊥面BCD.
∵E、F分别为CD、BD的中点，
∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，
又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.
二、填空题
9．下列四个命题中，正确的命题为________（填序号）．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
②α∥β，β∥γ，则α∥γ
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
[答案] ①②
10．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
[答案] 3
[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
∴PA⊥平面PBC，
∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：
平面PAB⊥平面PAC.
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°
，则BF＝________.
[答案] 1
[解析] ∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，
∴C1F⊥EF，CF⊥EF，
∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，
∴∠C1FC＝45°
∴△FCC1是等腰直角三角形，
∴CF＝CC1＝AA1＝1.
又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.
12．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
（1）二面角A－PD－C的度数为________；
（2）二面角B－PA－D的度数为________；
（3）二面角B－PA－C的度数为________；
（4）二面角B－PC－D的度数为________．
[答案] 90°
；
90°
45°
120°
[解析]
（1）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，
∴二面角A－PD－C为90°
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，
∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．
又∠BAD＝90°
，∴二面角B－AP－D为90°
（3）PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°
即二面角B－PA－C为45°
（4）作BE⊥PC于E，连DE，
则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE，
∴∠DEP＝∠BEP＝90°
，且BE＝DE，
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
∴BE＝
a，BD＝
a，
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝
∴∠BEO＝60°
，∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D的度数为120°
三、解答题
13．（2012·
江西卷）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4
，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.
（1）求证：
平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积．
[解析]
（1）由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.
（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为
S矩DECF·
GO＝
×
5×
4×
＝16.
14．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.
平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C－AB－D的大小．
[分析]
（1）转化为证明CD⊥平面ABC；
（2）∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
[解析]
（1）证明：
∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.
（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，
∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°
∴二面角C－AB－D的大小为45°
15．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）平面PMC⊥平面PDC.
[解析]
（1）取PD的中点Q，连接AQ、QN，
∵PN＝NC，∴QN綊
DC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴QN綊AM，
∴MN∥AQ，
又∵AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，
∵AQ⊂平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC
由
（1）MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，
又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.
16．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°
，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝
（1）证明：
平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A－BE－P的大小．
如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°
知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（2）由
（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝
，∠PBA＝60°
故二面角A－BE－P的大小是60°
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