应力波复习资料修改Word文件下载.docx
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程:
——,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方
22
u2Uc
2C20
t2X2
用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
(1)t(v
v0
xx
v2
v)c——0
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合,
(vC2)——
X根据特征线求解方法,特征线特征方程为
①X入+②其中为待定系数,整理可得:
v)v
v0(a)
dx
(即
vc2
解之,得C,(为…’即特征线的微分方程为:
dx(v
c)dt
ddt
dt
值代入上式,可得特征线上的相容关系为
将其积分即可得到特征线方程。
由(a)式,整理有
—dv
c
v—
x
v-
(1)c2
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合
[v
(1)c2][(1
xt
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
①X入+②,其中
为待定系数,整理可得:
vv
)v]0(a)
2
(dx)v
(1)c(dt)
(1)
1
dv
解之,得c,(和v(1
)C,即特征线的微分方程为:
[v(1
)c]dt
由(a)式,整理有
v
(1)c2
dv0
dtdt
值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
d
cd
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+
[vc2]-rt
,其中
v)」
—2
0(a)r
(dt)v
解之,得?
(缶vc,
即特征线的微分方程为:
dr
(vc)dt
[v
c2]—
r
dv2v
dtr
2v
d—dvdt
cr
1_
C2
0X
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②X入,其中
20
0X0Ct
严)
-0
(dt)
1°
1dX
解之,得,()C,
,即特征线的微分方程为:
Cdt
dX
Cdt
(-
)-
c20
0C
即d0
dt0C2dt
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
11
d2dd
0C2oC
三、用特征线法求解波的传播。
设半无限长弹性杆初始状态为(X,0),v(X,0)v,(X,0),t=0时刻杆左端
X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(0,t)V0(),用特征线法求解(X,t)平面上AOX
和Aot区域的物理量。
\g巧
/x
OA为经0(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的A0)区和弹性波已传到的Aot区。
对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:
dXC°
dvC0d
0C°
引入积分常数
Ki、K2后,可写成
右行波有:
Cot
Co
oCov
K1
左行波有:
K2
(1)AOX区
在该区任一点P,作正向特征线沿着特征线PQ和PR分别有
PQ和负向特征线
PR,分别交0X轴于Q点和R点,
VPCoPVQ
VPCoPVR
0C0VP
0C0VQK1
0C0VRK2
vP
由
(1)
(2)可得:
2Co
(Vq
Vr)
Co(R
q)
(VrVq)Co(
P
由初始条件,有RQ,v(X,0)v,(X,0),则可解得Vpv
p
由于P点位AO)区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。
⑵对于Aot区
该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BCBD和CE分别有
VB
C0B
vc
CoC
B
0C0VB
C0C0VC^1
Vb
Vd
CoD
D0C0VDk2;
Vc
Ve
C0E
3V
C0C0VCE0C0VEk23
沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有
DE
VdVe
DE
此外,Vc由边界条件已给出
即VcVo(
)
于是可解得
vVo()
BC
VbVc
Vo()
可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动Vo()和c以Co的速度沿杆传播,并且
沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。
特征线BC的特征方程可表示为XCo(t),则有
由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为
VVo(t为
vVo(t)
oCoVvo(t)
四、波形曲线和时程曲线
一线性硬化材料半无限长杆Xo,应力应变关系如图所示,其中
3
EiooGPa,E!
E/25,Y2ooMPa,。
4g/cm。
在杆的左端X0处施加如图所示
的载荷。
(1)画出Xt图;
(2)画出tO.4ms时刻的波形曲线;
(3)画出X0.5m位置的时程曲线
Y
半无限长杆中弹性波波速:
103m/s
10m/s,
时间tY0.1ms。
(图上把关键
点的坐标表示清楚,Xt图、波形图和时程图尽量画在一起)
02031.52;
X(m)
t=04ms时的滾形柱线
報S®
宦曲旨M0眞C-—E
五、弹性波的相互作用
处理原则:
在撞击面上作用力和反作用力;
速度相等;
1相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做ab)
Lo
Vi0
V38m/s
4v20Vi0
L0
作图说明:
两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;
在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。
A
6
7
N
⑷1
4
5
M
3
o
2Lo
3杆
2杆
1杆
125
由波系图和v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间t壬,对应于M点,此
后,2杆和3杆都保持静止状态,但不相互脱离。
而1杆由于应力波在右端面的反射,
由波系图和v状态图可得,两杆撞击结束时间为t
卷,对应于M点,此时两
杆在撞击界面上质点速度均为0,此后一直到时间t昱°
时(N点),两杆界面上质点
保持静止,并未相互脱离。
而应力波在被撞击杆右端反射后,使该杆逐渐获得了正向
态的撞击杆脱离,向右飞出
Lt
—X
速度,当t卷时,被撞杆的左端面得介质速度由
0跃为v0,与早已处于静止状
2(5)(7)
*X
36v
(a?
:
60109
〔2.4103
5000m/s,CB
72
ACA1.210Kg.s/m,
3.6
107Kg.s/m
ACA
8.33m/s,vYB
YB
BCB
6.67m/s
杆内逐渐获得了正向速度。
当t4Lo时,1杆和2杆界面对应于N点,1杆的左端面
的介质速度由v40提高至v0,而此时2杆右端面的介质速度刚好由v40下降为0,1杆和2杆脱离(之前,1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度)。
2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量,密度和屈服极限分别为:
EA60GPa、A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、B7.2g/cm3、
Yb240MPa,试对图中所示情况分别画出X-t图和v图,并确定其撞击结束时间、
两杆脱开时间。
以及分离之后各自的整体飞行速度。
f卜vL=0
1OCIcm
可见A、B两杆弹性波速相同,但波阻抗值不同,即两杆在波系图中特征线的斜率相同,而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。
v28m/s-
—►
v10
(MPa)
Jt(ms)
2.04.08.0v(m/s)
X(cm)
-4.0
如图示波系图及状态平面图,由于A、B两杆均为弹性杆,故在杆中传播的为弹性波。
A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波,对于被撞的B杆,向右传播一弹
性波,在碰撞面处两端应力相等,质点速度相等。
由图可知,当t2La20ms时,A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处,
Ca
使界面处质点速度小于零(-0.4m/s),A将脱离B杆向左飞离,B杆左端变为自由端面,从而B杆左端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。
两杆分离后,A杆的速度为-0.4m/s,B杆的平均速度为2.0m/s。
根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件,波阵面上的守恒条件,求解方程及结
果为:
1区:
自然静止区
3、假定A和B均为线性硬化材料,已知其
材料常数分别为
EA60GPa、
2区:
V2
8m/s
BCBV3
372MPa
3区:
ACA(v3
V2)
v32m/s
40
4区:
ACa(v4
V3)
v44m/s
50
5区:
BCB(V5
V50
60
6区:
BCB(V6
v64m/s
B7.2g/cm3、YB240MPa。
试确
A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、
定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大?
吟Vj=0
BA
S(bO£
i
CA
;
■2.4103
5000m/s
aCa1.2107,bCb3.6107
aCA
8.33m/s,Vyb
Yb
bCb
A、B两杆弹性波速相同,则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。
B杆撞击A杆,如图
(1)所示,撞击杆
B屈服极限值较大,要使被撞击的
A杆屈服,
只需图3区解对应于Ya和Vya即可,
这是一种临界状态
3bCb(V3V2)
3Ya
可解得,使得被撞击杆的A杆屈服,最小打击速度为v211m/s
(c)A杆撞击A杆,两杆会同时达到屈服,仍如图
(1)所示,有
3ACA(V3V2)
V3VYA
可解得:
v216.67m/s。
5、相同材料的弹性杆,A杆以va8ms的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示,试作出Xt图,确定撞击结束时间,脱开时间及撞击后各杆的运动状态。
^4=3m/s=0p亡二口°
D
作出Xt图和v如下图所示.
Xt图中各区域中的状态量可得:
1区:
B,C,D杆初始状态为0,v0,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有
2区:
A杆初始状态0,v8m/s;
对应v图上20,V28m/s
C0(v3v2)
Co(V3Vi)
4Co
4m/s
4区:
左行压缩波在A杆左端自由面反射,反射波经过后杆的状态
4040
43C°
(V4V3)V40
5区:
右行压缩波在
D杆右端自由面反射,反射波经过后杆的状态
53C0(V5V3)V58
或者从V图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间
4L
cl,a杆处于
静止自然状态;
B杆左端从tC0开始,应力卸载到零,速度也卸载到零
5L
;
到t时B
C0
杆整体处于应力为零,速度为零的状态;
D杆在t坐时整体处于应力为零,以8m/s的
51
速度向右飞出;
C杆在t5-时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.
6、弹性波在自由端和固定端的反射;
7、弹性波在不同界面处的反射和透射;
分析反射波、透射波和入射波之间的关系。
&
冲击波形成的时间和地点。
9、弹塑性波的相互作用;
加载,追赶卸载问题。
10、粘弹性材料Maxwell'
Voigt模型的本构方程;
应力松弛、蠕变、延迟回复;
三元体本构方程;
11、一维应变状态;
一维应变平面波的控制方程。
12、对线性硬化、递减硬化材料,当对半无限长杆左端施加不同载荷时,相应的X-t图、v图及图的绘制。