44 函数yAsinωx+φ的图象及应用Word文件下载.docx

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A．2，－

B．2，－

C．4，－

D．4，

解析　∵T＝－，∴T＝π，∴ω＝2，

∴2×

＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，

又φ∈，∴φ＝－，故选A.

3．设函数f（x）＝cosωx（ω>

0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3

C．6D．9

答案　C

解析　由题意可知，nT＝（n∈N*），

∴n·

＝（n∈N*），

∴ω＝6n（n∈N*），∴当n＝1时，ω取得最小值6.

4．设函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω>

）的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．（填序号）

①f（x）的图象过点（0，）；

②f（x）在[，]上是减函数；

③f（x）的一个对称中心是（，0）；

④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sinωx的图象．

答案　①③

解析　∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，

∴f（x）＝3sin（2x＋φ），f（π）＝3sin（＋φ），

则sin（＋φ）＝1或－1.

又φ∈（－，），＋φ∈（，π），

∴＋φ＝⇒φ＝，

∴f（x）＝3sin（2x＋）．

①：

令x＝0⇒f（x）＝，正确．

②：

令2kπ＋<

2x＋<

2kπ＋，k∈Z

⇒kπ＋<

x<

kπ＋，k∈Z.

令k＝0⇒<

，

即f（x）在（，π）上单调递减，而在（，）上单调递增，错误．

③：

令x＝⇒f（x）＝3sinπ＝0，正确．

④：

应平移个单位长度，错误.

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

例1　设函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>

0）的周期为π.

（1）求它的振幅、初相；

（2）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

（3）说明函数f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的．

解　

（1）f（x）＝sinωx＋cosωx

＝2（sinωx＋cosωx）＝2sin（ωx＋），

又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.

∴f（x）＝2sin（2x＋）．

∴函数f（x）＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为.

（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表，并描点画出图象：

－

X

y＝sinX

1

－1

y＝2sin

2

－2

（3）方法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图象．

方法二　将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；

再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin的图象；

再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．

思维升华　

（1）五点法作简图：

用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

（2）图象变换：

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径：

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

（1）把函数y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

A．x＝－B．x＝－

C．x＝D．x＝

（2）（2014·

辽宁）将函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A．在区间[，]上单调递减

B．在区间[，]上单调递增

C．在区间[－，]上单调递减

D．在区间[－，]上单调递增

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）将y＝sin（x＋）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）；

再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2（x－）＋]＝sin（2x－），故x＝－是其图象的一条对称轴方程．

（2）y＝3sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2（x－）＋]＝3sin（2x－π）．

令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋

π，k∈Z，则y＝3sin（2x－π）的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.

令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．

画出y＝3sin（2x－π）在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin（2x－π）在[－，]上不具有单调性，故C，D错误．

题型二　由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

例2　

（1）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（其中ω>

0，|φ|<

）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（　　）

A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝

C．ω＝2，φ＝D．ω＝2，φ＝

（2）

已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

，ω>

0）的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．

答案　

（1）D

（2）f（x）＝2sin

解析　

（1）∵f（x）（ω>

）的最小正周期为π，

∴T＝＝π，ω＝2.∵f（0）＝2sinφ＝，

即sinφ＝（|φ|<

），∴φ＝.

（2）观察图象可知：

A＝2且点（0,1）在图象上，

∴1＝2sin（ω·

0＋φ），即sinφ＝.∵|φ|<

，∴φ＝.

又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.

∴f（x）＝2sin.

思维升华　根据y＝Asin（ωx＋φ）＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：

根据图象的最高点和最低点，即A＝；

②k的确定：

根据图象的最高点和最低点，即k＝；

③ω的确定：

结合图象，先求出周期T，然后由T＝（ω>

0）来确定ω；

④φ的确定：

由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k最开始与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为－（即令ωx＋φ＝0，x＝－）确定φ.

如图为y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段．

（1）求其解析式；

（2）若将y＝Asin（ωx＋φ）的图象向左平移个单位长度后得y＝f（x），求f（x）的对称轴方程．

解　

（1）由图象知A＝，

以M为第一个零点，N为第二个零点．

列方程组　解得

∴所求解析式为y＝sin.

（2）f（x）＝sin

＝sin，

令2x－＝＋kπ（k∈Z），则x＝π＋（k∈Z），

∴f（x）的对称轴方程为x＝π＋（k∈Z）．

题型三　函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质

例3　（2014·

重庆改编）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>

0，－≤φ<

）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）当x∈[0，]时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值．

解　

（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因f（x）的图象关于直线x＝对称，所以

2·

＋φ＝kπ＋，k∈Z，

由－≤φ<

得k＝0

所以φ＝－＝－.

综上，ω＝2，φ＝－.

（2）由

（1）知f（x）＝sin（2x－），

当x∈[0，]时，－≤2x－≤π，

∴当2x－＝，即x＝时，f（x）最大＝；

当2x－＝－，即x＝0时，f（x）最小＝－.

思维升华　函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的性质

（1）奇偶性：

φ＝kπ（k∈Z）时，函数y＝Asin（ωx＋φ）为奇函数；

φ＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数．

（2）周期性：

y＝Asin（ωx＋φ）存在周期性，其最小正周期为T＝.

（3）单调性：

根据y＝sint和t＝ωx＋φ（ω>

0）的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z）得单调增区间；

由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z）得单调减区间．

（4）对称性：

利用y＝sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）来解，令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求得其对称中心．

利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋（k∈Z）来解，令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）得其对称轴．

　已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（x∈R，ω，A>

0,0<

）的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝f（x－）－f（x＋）的单调递增区间．

解　

（1）∵最小正周期为π.

∴＝π.

即ω＝2.

又∵直线x＝是函数图象的一条对称轴，

即φ＝kπ＋，k∈Z.

又∵φ∈（0，），∴φ＝.

又∵A＝2，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）．

（2）g（x）＝f（x－）－f（x＋）

＝2sin[2（x－）＋]－2sin[2（x＋）＋]

＝2sin2x－2sin（2x＋）＝2sin（2x－）．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可得

kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.

即函数g（x）的单调递增区间是

[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.

三角函数图象与性质的综合问题

典例：

（12分）已知函数f（x）＝2sin（＋）·

cos（＋）－sin（x＋π）．

（1）求f（x）的最小正周期．

（2）若将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

思维点拨　

（1）先将f（x）化成y＝Asin（ωx＋φ）的形式再求周期；

（2）将f（x）解析式中的x换成x－，得g（x），然后利用整体思想求最值．

规范解答

解　

（1）f（x）＝2sin（＋）·

cos（＋）－sin（x＋π）＝cosx＋sinx[3分]

＝2sin（x＋），[5分]

于是T＝＝2π.[6分]

（2）由已知得g（x）＝f（x－）＝2sin（x＋），[8分]

∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，

∴sin（x＋）∈[－，1]，[10分]

∴g（x）＝2sin（x＋）∈[－1,2][11分]

故函数g（x）在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]

答题模板

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤

第一步：

（化简）将f（x）化为asinx＋bcosx的形式．

第二步：

（用辅助角公式）构造f（x）＝·

（sinx·

＋cosx·

）．

第三步：

（求性质）利用f（x）＝sin（x＋φ）研究三角函数的性质．

第四步：

（反思）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

温馨提醒　

（1）在第

（1）问的解法中，使用辅助角公式

asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（其中tanφ＝），或asinα＋bcosα＝cos（α－φ）（其中tanφ＝），在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．

（2）求g（x）的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.

方法与技巧

1．五点法作图及图象变换问题

（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

（2）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．

2．由图象确定函数解析式

由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．

3．对称问题

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为（x，±

A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻对称中心的距离）．

失误与防范

1．由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，如：

先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．

2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<

0，要先根据诱导公式进行转化．

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域.

A组　专项基础训练

（时间：

45分钟）

1．（2013·

山东）将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）

A.B.C．0D．－

答案　B

解析　把函数y＝sin（2x＋φ）沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin2＝sin为偶函数，则φ的一个可能取值是.

浙江）函数f（x）＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　）

A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2

解析　f（x）＝sinxcosx＋cos2x

＝sin2x＋cos2x

＝sin.

所以最小正周期为π，振幅为1.

故选A.

3.

已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>

0，且|φ|<

）的部分图象如图所示，则函数f（x）的一个单调递增区间是（　　）

A．[－，]

B．[－，－]

C．[－，]

D．[－，]

答案　D

解析　由函数的图象可得T＝π－π，

∴T＝π，则ω＝2.

又图象过点（π，2），∴2sin（2×

π＋φ）＝2，

∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，

∵|φ|<

.

∴取k＝0，即得f（x）＝2sin（2x－），

其单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，取k＝0，即得选项D.

4.

电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ）（A>

）的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是（　　）

A．－5安B．5安

C．5安D．10安

解析　由图象知A＝10，＝－＝，

∴ω＝＝100π.∴I＝10sin（100πt＋φ）．

为五点中的第二个点，

∴100π×

＋φ＝.

∴φ＝.∴I＝10sin，

当t＝秒时，I＝－5安．

5．已知函数f（x）＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是（　　）

A．（－∞，－]∪[6，＋∞）

B．（－∞，－]∪[，＋∞）

C．（－∞，－2]∪[6，＋∞）

D．（－∞，－2]∪[，＋∞）

解析　当ω>

0时，－ω≤ωx≤ω，

由题意知－ω≤－，即ω≥；

当ω<

0时，ω≤ωx≤－ω，

由题意知ω≤－，∴ω≤－2.

综上可知，ω的取值范围是（－∞，－2]∪[，＋∞）．

6.

设偶函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°

，KL＝1，则f（）的值为________．

答案　

解析　取K，L中点N，则MN＝，

因此A＝.

由T＝2得ω＝π.

∵函数为偶函数，0<

π，∴φ＝，

∴f（x）＝cosπx，

∴f（）＝cos＝.

7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x＝1,2,3，…，12，A>

0）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

答案　20.5

解析　由题意得　∴

∴y＝23＋5cos，

当x＝10时，y＝23＋5×

＝20.5.

8．已知函数f（x）＝cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：

①若f（x1）＝－f（x2），则x1＝－x2；

②f（x）的最小正周期是2π；

③f（x）在区间[－，]上是增函数；

④f（x）的图象关于直线x＝对称．

其中真命题是________．

答案　③④

解析　f（x）＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，

f（x1）＝－f（x2），但x1≠－x2，故①是假命题；

f（x）的最小正周期为π，故②是假命题；

当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；

因为f（）＝sinπ＝－，

故f（x）的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．

9．已知函数f（x）＝cosx·

cos（x－）．

（1）求f（）的值；

（2）求使f（x）<

成立的x的取值集合．

解　

（1）f（）＝cos·

cos＝－cos·

cos

＝－（）2＝－.

（2）f（x）＝cosxcos（x－）＝cosx·

（cosx＋sinx）

＝cos2x＋sinxcosx＝（1＋cos2x）＋sin2x

＝cos（2x－）＋.

f（x）<

等价于cos（2x－）＋<

即cos（2x－）<

0，

于是2kπ＋<

2x－<

2kπ＋，k∈Z.

解得kπ＋<

故使f（x）<

成立的x的取值集合为{x|kπ＋<

kπ＋，k∈Z}．

10．（2014·

福建）已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.

（1）若0<

α<

，且sinα＝，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解　方法一　

（1）因为0<

，sinα＝，

所以cosα＝.

所以f（α）＝×

（＋）－＝.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋－

＝sin（2x＋），

所以T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.

方法二　f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin（2x＋）．

（1）因为0<

，sinα＝，所以α＝，

从而f（α）＝sin（2α＋）＝sin＝.

（2）T＝＝π.

B组　专项能力提升

20分钟）

11．将函数y＝sin（x＋φ）的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是（　　）

A.B.C.D.

解析　图像F′对应的函数y＝sin，

则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，

当k＝1时，φ＝，故选D.

12．已知A，B，C，D是函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>

）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（－，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（　　）

A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝

C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝

解析　因为在x轴上的投影为，又点A（－，0），所以函数的四分之一个最小正周期为＋＝.即函数的最小正周期为π，故ω＝＝2.

又点A（－，0）是处于递增区间上的零点，所以2×

（－）＋φ＝2kπ（k∈Z），则φ＝2kπ＋（k∈Z）．又因为0<

，所以φ＝.故选A.

13．（2014·

湖南）已知函数f（x）＝sin（x－φ），且

，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝B．x＝

解析　∵

＝－cos（x－φ）

＝0，

∴－cos（－φ）＋cosφ＝0.

∴cos（－φ）－cosφ＝0.

∴sinφ－cosφ＝0.

∴sin（φ－）＝0.

∴φ－＝k1π（k1∈Z）．

∴φ＝k1π＋（k1∈Z）．

∴f（x）＝sin（x－k1π－）（k1∈Z）．

由x－k1π－＝k2π＋（k1，k2∈Z）得x＝（k1＋k2）π＋π（k1，k2∈Z），

∴f（x）的对称轴方程为x＝（k1＋k2）π＋π（k1，k2∈Z）．

故x＝为函数f（x）的一条对称轴．

14．（2014·

湖北）某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－cost－sint，t∈[0,24）．

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

解　

（1）因为f（t）＝10－2（cost＋sint）

＝10－2sin（t＋），

又0≤t<

24，所以≤t＋<

－1≤sin（t＋）≤1.

当t＝2时，sin（t＋）＝1；

当t＝14时，sin（t＋）＝－1.

于是f（t）在[0,24）上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>

11时实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sin（t＋），

故有10－2sin（t＋）>

11，

即sin（t＋）<

－.

24，因此<

t＋<

即10<

t<

18.

故在10时至18时实验室需要降温．

15．已知函数f（x）＝sinωx·

cosωx