1312 矩形的性质及判定题库教师版.docx

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1312矩形的性质及判定题库教师版

中考要求

知识点

A要求

B要求

Ｃ要求

矩形

会识别矩形

掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质及判定解决简单问题

会运用矩形的知识解决有关问题

中考要求

1．矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

①边的性质：

对边平行且相等．

②角的性质：

四个角都是直角．

③对角线性质：

对角线互相平分且相等．

④对称性：

矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．

点评：

这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．

3．矩形的判定

判定①：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

判定②：

对角线相等的平行四边形是矩形．

判定③：

有三个角是直角的四边形是矩形．

重、难点

重点：

掌握矩形的性质，并学会应用．

难点：

理解矩形的特殊性．

关键：

把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．

例题精讲

一、矩形的判定

【例1】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）

A．对角线相等B．对角相等

C．对角线互相平分D．对边相等

【考点】矩形的性质及判定

【题型】选择

【难度】1星

【关键词】

【解析】省略

【答案】A

【例2】如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，

则

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】

【例3】在矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件时，四边形是矩形

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】

【例4】如图，在四边形中，，，求证：

四边形是矩形．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】∵，∴∥

在和中

∴≌（）

∵，∴四边形是平行四边形

∵，∴四边形是矩形

【例5】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】∵、、、分别是四边的中点

∴、为中位线

∴且

∴四边形为平行四边形

∵，∴

∴四边形是矩形．

【例6】如图，在平行四边形中，是的中点，且，

求证：

四边形是矩形．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】

【解析】省略

【答案】∵四边形是平行四边形，∴，

∵是的中点，∴

在和中

∴≌（），∴

∴，∴四边形是矩形

【例7】设凸四边形的4个顶点满足条件：

每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个

四边形是什么四边形?

请证明你的结论。

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】

【解析】省略

【答案】这个四边形是矩形．

由已知得

变换此式有

得；得，

故知是平行四边形

又得，因此，是矩形

【例8】如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：

四边形是矩形．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】4星

【关键词】

【解析】省略

【答案】∵四边形为平行四边形

∴，

∵、分别是、的平分线

∴

∴

同理

∴四边形是矩形．

【例9】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．

⑴求证：

．

⑵如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2009年，安顺市中考

【解析】省略

【答案】⑴∵，

是的中点，∴

∵∴

∴，∵

∴

（2）四边形是矩形

∵，是的中点（利用全等）

∴

∴

∵，

∴四边形是平行四边形

又

∴四边形是矩形．

【例10】如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点

（1）求证：

（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？

请说明理由！

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】

【解析】省略

【答案】⑴证明：

⑵当为的中点时，四边形为矩形

【例11】已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】

【解析】省略

【答案】∵，∴

又∵，，∴，∴∥

又∵∥，∴是平行四边形，∴

∵，，∴

∴，∴四边形是平行四边形

又∵，∴平行四边形为矩形

本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形

【例12】如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．

⑴求证：

四边形是菱形；

⑵连接并延长交于连接，请问：

四边形是什么特殊平行四边形？

为什么？

【考点】矩形的性质及判定，菱形的性质和判定

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】2009年，襄樊市中考

【解析】省略

【答案】⑴是由绕点旋转得到

∴，

∴是等边三角形

∴

又∵是由沿所在

直线翻转得到

∴，

∴

∴点、、三点共线

∴是等边三角形

∴

∴

∴四边形是菱形．

⑵四边形是矩形．

由⑴可知：

是等边三角形，于

∴，又∵

∴，

∴，∴

∴四边形是平行四边形，而

∴四边形是矩形．

【例13】如图，在中，于，于，的两条高相交于，，，求的长．

【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质及判定，三角形的三线五心

【题型】解答

【难度】6星

【关键词】

【解析】过作于，连接、．

∵，，∴∥

又∵，，∴∥

∴四边形为平行四边形，∴

又∵，且∥

∴

∴四边形为矩形

∴，，∴

又∵∥

∴四边形为平行四边形，∴

∵，∴，即

∴，∴

【答案】

【例14】已知，如图矩形中，延长到，使，是中点．求证：

．

【考点】矩形的性质及判定，等腰三角形的性质和判定

【题型】解答

【难度】4星

【关键词】

【解析】延长交于，连结．

∵四边形是矩形，∴

∴，

∵是中点，∴，在和中，

∵

∴．∴，，∴

∵，∴

∵，∴

【答案】见解析

板块二、矩形的性质及应用

【例15】如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？

先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

即.（写出一条线段即可）

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】2星

【关键词】2006年，泸州市中考

【解析】连接.

∵四边形是矩形，

∴，，.

∴.

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴≌，

∴.

【答案】.

【例16】如图，矩形中，相交于点，平分交于，若，求=

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】4星

【关键词】

【解析】∵四边形是矩形

∴

∵平分，所以

∴

∵

所以为等边三角形

∴所以

∴

【答案】.

【例17】如图所示，在长方形中，点是边的中点，点是边的中点，与交于点．若，求的度数．

【考点】矩形的性质和判定

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略

【答案】如图所示，将平移至，此时为的中点．

连接，则，

故．

由于，，

故．

【例18】如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则与的关系式

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】

【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形的四边，所以

【答案】.

【例19】如图，在矩形中，分别是上的点，且.求证：

≌.

【考点】矩形的性质及判定

【题型】解答

【难度】2星

【关键词】2006年，泉州市中考

【解析】省略

【答案】∵四边形是矩形

∴.

在和中，

又∵，

∴≌.

【例20】如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（）

A．B．C．D．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】选择

【难度】2星

【关键词】2009年，长沙市中考

【解析】∵，，∴为等边三角形，

∴

【答案】B

【例21】矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】2星

【关键词】

【解析】∵，∴．

【答案】

【例22】如图，在矩形中，点分别在边上，，若且，则阴影部分的面积为

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】

【解析】省略

【答案】

【例23】如图，矩形中，对角线、交于，于，，则_______．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】

【解析】∵

∴，

∵，∴．

【答案】

【例24】如图，在矩形中，的交点在上，图中面积相等的四边形有（）

A．对B．对C．对D．对

【考点】矩形的性质及判定

【题型】选择

【难度】3星

【关键词】2006年，佳木斯中考

【解析】省略

【答案】D

【例25】如图，周长为的矩形被分成个全等的矩形，则矩形的面积为

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】4星

【关键词】

【解析】设每个小矩形的较短边为，较长边为，则，解得

故矩形的面积

【答案】

【例26】如图，有一矩形纸片，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，在将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】4星

【关键词】

【解析】，所以可得面积为

【答案】

【例27】如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】济南市中考

【解析】

【答案】

【例28】如图在矩形中，已知，，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值．

【考点】矩形的性质及判定，三角形的面积

【题型】解答

【难度】3星

【关键词】

【解析】法一：

作于，于，则

又易证，从而，

，所以

而，则．

在中，根据面积公式有，

则，．

法二：

利用面积相等，连接并作

　　　　　　　，，

，

．

法三：

延长过点作的延长线，垂足为，过点作于．

　　　　　　易证，，由矩形可知，

　　　　　　．

【答案】

【例29】如图，在矩形中，，于，若，则．

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】3星

【关键词】

【解析】∵，

∴，

∴．

【答案】

【例30】如图，，四边形和都是矩形，则等于

【考点】矩形的性质及判定

【题型】填空

【难度】4星

【关键词】第18届，江苏竞赛

【解析】省略

【答案】

【例31】某台球桌为如图所示长方形，小球从沿角出击，恰好经过次碰撞到处，则=

【考点】矩形的性质及判定