苏科版初三中考 中考一轮复习二次函数的综合题及应用.docx

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苏科版初三中考中考一轮复习二次函数的综合题及应用

中考一轮复习-二次函数的综合题及应用

【重点考点例析】

考点一：

确定二次函数关系式

例1（2016•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

对应训练

1．（2016•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标．

考点二：

二次函数与x轴的交点问题

例2（2016•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（　　）

A．x1=1，x2=-1B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=3

对应训练

2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）

A．-8B．8

C．±8D．6

考点三：

二次函数的实际应用

例3（2016•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：

y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

思路分析：

（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；

（2）用配方法将

（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把y=150代入

（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．

解：

（1）由题意得出：

w=（x-20）∙y

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600，

故w与x的函数关系式为：

w=-2x2+120x-1600；

（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，

∵-2＜0，

∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．

答：

该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．

解得 x^=25，x2=35．     

∵35＞28，

∴x2=35不符合题意，应舍去．   

答：

该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

点评：

本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．

对应训练

3．（2016•武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：

科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度x/℃

…

-4

-2

0

2

4

4.5

…

植物每天高度增长量y/mm

…

41

49

49

41

25

19.75

…

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．

（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；

（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？

（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？

请直接写出结果．

3．解：

（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a≠0），

∵x=-2时，y=49，

x=0时，y=49，

x=2时，y=41，

∴，解得，

所以，y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49；

不选另外两个函数的理由：

∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上，

∴y不是x的反比例函数，

∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，

∴y不是x的一次函数；

（2）由

（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，

∵a=-1＜0，

∴当x=-1时，y有最大值为50，

即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；

（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，

∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，

当y=25时，-x2-2x+49=25，

整理得，x2+2x-24=0，

解得x1=-6，x2=4，

∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6＜x＜4℃．

考点四：

二次函数综合性题目

例4（2016•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在

（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？

若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

思路分析：

（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．

解：

（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．

∵tan∠DBA==，

∴BE=6，

∴OB=BE-OE=4，

∴B（-4，0）．

∵点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）上，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：

y=x2+x-2．

（2）抛物线的解析式为：

y=x2+x-2，

令x=0，得y=-2，∴C（0，-2），

令y=0，得x=-4或1，∴A（1，0）．

设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），

如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+m．

S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC

=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC

=（4+m）×（-n）+（-n+2）×（-m）+×1×2

=-2n-m+1

∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x-2上，

∴n=m2+m-2，代入上式得：

S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，

∴当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．

（3）假设存在这样的⊙Q．

如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：

，

解得：

k=2，b=-2，

∴直线AC解析式为：

y=2x-2，

令x=-2，得y=-6，∴F（-2，-6），GF=6．

在Rt△AGF中，由勾股定理得：

AF==．

设Q（-2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：

OQ==．

设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．

在Rt△AGF与Rt△QEF中，

∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，

∴Rt△AGF∽Rt△QEF，

∴，即=，

化简得：

n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1．

∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．

点评：

本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第

（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．

对应训练

4．（2016•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：

△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：

在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

4．解：

（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．

设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将C（0，1），D（1，0）代入得：

，

解得：

b=1，k=-1，

∴直线CD的解析式为：

y=-x+1．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，

将C（0，1）代入得：

1=a×（-2）2+3，解得a=-．

∴y=-（x-2）2+3=-x2+2x+1．

（3）证明：

由题意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，

∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，

∴点E的坐标为（4，1）．

如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），

∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．

又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，

∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，

∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．

如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

（证明如下：

不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，

由两点之间线段最短可知：

F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）

如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，

∴△QC′E为等腰直角三角形，

∴△CEC′为等腰直角三角形，

∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（-1，0）．

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：

C′C″=．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2．

【聚焦山东中考】

1．（2016•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）

2．（201