最后冲刺系列：解析几何专题系列二解析几何中的定点、定值问题.doc
《最后冲刺系列：解析几何专题系列二解析几何中的定点、定值问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最后冲刺系列：解析几何专题系列二解析几何中的定点、定值问题.doc（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
解析几何专题系列二：
解析几何中的定点、定值问题
[考情分析把握方向]
解析几何中的定值、定点、定直线问题是近几年高考命题的热点,这类问题也是高考题中的一大难点。
此类问题动中有定，定中有动，并且常与轨迹问题、曲线系问题等问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识。
考察数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想方法。
高考年份
填空题
解答题
附加题
2010年
第9题
点到直线的距离为定值
第18题证明直线过定点
2011年
第18题证明直线垂直
2012年
第19题证明定值问题
[备考策略提升信心]
高考中重点关注以下几方面的问题：
1．直线方程、圆的方程、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系，重点是直线与圆的位置关系；
2．圆锥曲线的标准方程和几何性质，特别是椭圆的标准方程及几何性质，同时注意它们的图形特征；
3．轨迹问题求解的常用方法；数形结合思想以及函数与方程思想的应用；
4．求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高，考查趋于方程的变形运算。
[小题训练激活思维]
1.已知椭圆过定点，圆，直线与椭圆交于两点，且，则直线与圆的位置关系是。
相切
2．若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值是
。
3．已知为坐标原点，定点，动点是直线上的点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，则线段的长为。
4.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在右准线上运动，记直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则
5.已知直线及点.当点到直线的距离最大时,直线的方程是.
变式1：
变式2：
[核心问题聚焦突破]
已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，点在直线上的射影依次为点。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？
若是，求出的值；否则，说明理由；
（3）连接，，试探索当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？
若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，说明理由。
[来源:
]
变式训练：
已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，弦分别过点，设，求证：
为定值.
[变式拓展分类解密]
考点1：
定值问题
例1：
已知点是椭圆的长轴上异于顶点的任意一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，设直线交轴于点，试判断是否为定值？
并证明你的结论。
变式训练1：
如图，已知椭圆C：
，A、B是四条直线所围成的两个顶点.
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：
动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，说明理由。
⑴易求,.………2分
设,则.由,得,
所以,即.故点在定圆上.…8分
⑵设，,则.
平方得,即.…10分
因为直线的方程为,
所以到直线的距离为,…12分[来源:
]
所以的面积
==.
故的面积为定值.…16分
变式训练2：
已知椭圆，直线与椭圆交于两点，点，
（1）求弦中点的轨迹方程；
（2）设直线斜率分别为，求证：
为定值.
考点2：
直线过定点问题
例2：
已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，关于轴的对称点为，问直线是否经过轴上的一个定点？
若是，求出定点坐标；不是，说明理由.
变式训练1：
如图，在平面直角坐标系中，椭圆：
若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：
直线过定点，并求出定点的坐标.
证明：
直线的斜率为，直线的斜率为,
则直线的方程为，
==，
所以直线过定点．
说明：
本题结论可推广至一般情形
变式训练2：
如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1上一点P（1，），过点P的直线l1，l2与椭圆C分别交于点A，B（不同于P），且它们的斜率k1，k2满足k1k2＝－．
x
y
O
A
P
l1
B
l2
（1）求证：
直线AB过定点；
（2）求△PAB面积的最大值．
考点3：
圆过定点问题
例3：
椭圆：
过点的动直线交椭圆于两点，试问：
在直角坐标平面内是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点？
若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由。
解答：
考点4：
定位置关系
例4：
设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.
[专题总结画龙点睛]
内容总结与方法总结：
：
解析几何中定点、定值问题主要有以下三种题型：
1．定点问题：
解题关键在于找出题中用于联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式等，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
2．定值问题：
解题关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中的已知量、参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质等，再用韦达定理、点差法等导出所求定值关系式所需的表达式，并代入所求定值关系式，化简整理求出结果。
3．定位置关系问题：
主要是直线垂直、向量垂直问题，等价转换为斜率乘积为或者向量的数量积为。
[专题检测水到渠成]
1．已知是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线分别交轴于点和，则。
2．已知，过任作一条直线交抛物线于两点，若
为定值，则。
4
3.设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，则直线与轴必相交于定点
4.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．经过三点的圆必过异于的定点_______________
5.（2011苏北四市二模12）已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为_________
6.已知分别是椭圆的左、右顶点和上顶点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点。
当点异于点时，求证：
为定值。
x
y
O
A1
Q
P
H
A2
7.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：
H为△PA1A2的垂心．（垂心为三角形三条高的交点）
[来源:
]
8.已知左焦点为F（－1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
解：
依题设c=1，且右焦点（1，0）．
所以，2a==，b2=a2－c2=2，
故所求的椭圆的标准方程为．…………………………………………………………4分
（2）设A（，），B（，），则①，②．
②－①，得．
所以，k1=．………………………………………………………9分
（3）依题设，k1≠k2．
设M（,），直线AB的方程为y－1=k1（x－1），即y=k1x+（1－k1），亦即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得．
于是，，．……………………………………………………………11分
同理，，．
当k1k2≠0时，
直线MN的斜率k==．……………………………………13分
直线MN的方程为，
即，
亦即．
此时直线过定点．………………………………………………………………………………15分
当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．
综上，直线MN恒过定点，且坐标为．……………………………………………16分
9.平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆的短轴长为，半焦距为
若存在一个中心在原点，分别以椭圆的短轴为实轴、长轴为虚轴的双曲线E，已知双曲线E与轴交于两点，在E上任取一点，直线分别交轴于两点，求证：
以为直径的圆恒过两定点。
解：
定点
[来源:
学§科§网]
Page11of11
升级会员 