电磁场与电磁波第章习题解答.docx

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电磁场与电磁波第章习题解答

第一章习题解答

【习题1.1解】

【习题1.2解】

【习题1.3解】

已知

（1）要使，则须散度

所以从可得：

即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。

（2）要使，则须旋度

所以从

可得b=-3，c=-8

【习题1.4解】

已知，，因为，所以应有

即⑴

又因为;所以；⑵

由⑴，⑵解得

【习题1.5解】由矢量积运算规则

取一线元：

则有

则矢量线所满足的微分方程为

或写成

求解上面三个微分方程：

可以直接求解方程，也可以采用下列方法

（1）

（2）

由

（1）

（2）式可得

（3）

（4）

对（3）（4）分别求和

所以矢量线方程为

【习题1.6解】

已知矢量场

若是一个无源场，则应有div=0

即：

div=

因为

所以有

div=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy=x（2+c）+z（a-2）+b+1=0

得a=2,b=-1,c=-2

【习题1.7解】

设矢径的方向与柱面垂直，并且矢径到柱面的距离相等（r＝a）

所以，

【习题1.8解】

已知,

而

又

所以

+

=

【习题1.9解】

已知

所以

由于场的旋度处处等于0，所以矢量场为无旋场。

【习题1.10解】

令ln（）=C,=，=1+4+9=14

因此C＝ln14

＝14为等值面方程

【习题1.11解】

求函数=在点M（2,3）处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数

解:

在L取一点（x,y）y=-1（）

沿L的方向的方向余弦为:

c

因为则（x,y）（2,3）

所以

又因为=

【习题1.11解2】

求函数=在点M（2,3）处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数

曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：

所以

因此，方向余弦为

所以所求的方向导数为

【习题1.12解】

标量场

该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面

求切平面的方程

该平面的法线向量为

根据平面的点法式方程，得平面方程为

整理，得：

【习题1.13解】

【习题1.14解】

矢量的方向余旋为

满足题意方向导数：

【习题1.15解】

【习题1.16解】

所以

【习题1.17解】

【习题1.18解】

（1）证明（+）=

（++

=

=（+（

=

得证

（2）

=

=+

=

=

得证

【习题1.19解】

【习题1.20解】

已知

所以

【习题1.21解】

【习题1.22解】

证明：

令

则左边=

=

又由题得

=

=

同理有

=

故等式右边=—

=—

=

故左边=右边，得证

【习题1.23解】

【习题1.24解】

证毕。

【习题1.25解】

由题意可知：

左=

=

=+]

=

=+

=

即证

【习题1.26解】

（1）解：

=－sinxsiny＝－sinxsiny

=sinxsiny

＋＝；

＋＋＝－（＋－）sinxsiny＝0；

满足拉普拉斯方程。

（2）解：

在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为：

＝－

＝

＝0；

＝0；

满足拉普拉斯方程；

【习题1.27解】

【习题1.28解】

【习题1.29解】

【附】Page14，圆柱坐标系中的散度的推导。

在圆柱坐标系中

div＝

∴

（注：

式中推导利用了）