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　　　　解：

（1）

（2）

　　（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工　　

　　（4）

表示已知所选职工是男职工。

在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10

由本例可以看出

事件A与事件

不是同一事件,所以它们的概率不同,即

由本例还可看出,

事件AB与事件

也不相同，

事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职工，这时基本事件总数n1=200，r=10。

而事件

则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以

虽然P（AB）与

不相同，但它们有关系，由本例可以看出

　　本例的结果具有普遍性。

下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：

　　显然有：

若P（A）>

0则有

　　将上面的结果改写为整式有

∴

公式

叫概率的乘法公式。

例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：

（1）P（A）；

　（3）P（AB）

　　　　　解

（1）

　　∴（3）

=

　　例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求

　　例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，

，求

。

　　解：

　　∴

（2）

　　例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？

用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。

　　已知P（A）=0.8，P（B）=0.7

　　由于

　　因为

　　所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875

　　乘法公式可以推广为：

　　例6，袋中有三件正品，二件次品，从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。

用A1表示第一次取到正品

　　A2表示第二次取到正品

　　A3表示第三次取到正品

　　则

　　用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3

　　再用古典概型计算

，这时n2=4，r2=2

，这时n3=3，r3=2

（二）全概公式

定义：

若事件组

满足条件

互不相容

（2）在一次试验中，事件组

中至少发生一个，即

就说事件组

是样本空间Ω的一个划分。

　　例如事件组A与

有

所以事件组

是样本空间的一个划分。

　　例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：

（1）

　　所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。

　　下面介绍全概公式

设

是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：

　　　　证：

∵

　　又∵ΩB=B

　　∵

　　∴

也互不相容

　　用乘法公式上式可改写为

　　特别地

（1）若

是Ω的一个划分，则有

（2）∵

是Ω的一个划分，所以

　　全概公式的优点是当P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求P（B）

　　例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白球，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求

（2）P（B）

（1）用古典概型n=5,r=3

（2）直接求P（B）很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得：

　　所以可用全概公式计算

　　可见第一次，第二次取到红球的概率相同。

　　例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。

　　当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？

用B表示该人是色盲者，A表示该人是男人.直接求P（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知

　　例3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为0.03，乙车床的次品率为0.02，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。

用B表示该产品是次品，A表示该产品由甲车床生产

　　已知

　　例4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为0.25，被击中一弹的概率为0.5,被击中二弹的概率为0.25，若敌机中一弹时被击落的概率为0.7，敌机中二弹时，被击落的概率为0.9。

求敌机被击落的概率。

用AK表示敌机的被击中K弹，K=0,1,2；

B表示敌机被击落

　　显然有

　　其中A0,A1,A2是Ω的一个划分

　　（三）逆概公式（贝叶斯公式）

　　由

可得

叫逆概公式（贝叶斯公式）

　　当P（A）,P（B），

已知时，可反过来求

　　例5，某地七月份下暴雨的概率为0.7，当下暴雨时，有水量的概率为0.2；

当不下暴雨时，有水量的概率为0.05，求：

（1）该地七月份有水灾的概率.

（2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.

　解：

用B表示该地七月有水灾；

　　A表示该地七月下暴雨

　　例6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求：

（1）该产品的次品率　

（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。

用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。

　　所以

表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品

表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。

表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。

则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品；

则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品；

则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品；

　　∴

（1）

　　可见，若该产品是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。

　　例7，甲袋中有3个白球，2个红球，乙袋中有2个白球，3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：

（1）从乙袋中取出的球是白球的概率；

（2）如果从乙袋中取出的球是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少？

从甲袋中取出红球的概率是多少？

用B表示从乙袋中取出白球；

A表示从甲袋中取出白球，所以

表示从甲袋中取出红球。

　　已知

　　可见从甲袋中取出白球的可能性大。

　　例8，已知

，

　　求

（1）P（AB）；

（2）

　　例9，若

　　求

（1）P（B）；

（2）P（A+B）

　　（3）

　　例10，已知

求