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立体几何中的向量方法

1.理解直线的方向向量与平面的法向量．

2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．（包括三垂线定理）

4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.

第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．多面体的结构特征

（1）棱柱

（2）棱锥

（3）棱台　棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．

2．旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

一条直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

　　3.直观图

（1）画法：

常用斜二测画法．

（2）规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°

（或135°

），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

4．三视图

（1）几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

（2）三视图的画法

①基本要求：

长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：

正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；

看不到的线画虚线．

[做一做]

1．（2014·

高考福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱　　　　　　　B．圆锥

C．四面体D．三棱柱

解析：

选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.

2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（　　）

A．圆柱B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

选C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

1．辨明三个易误点

（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．

（2）注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．

（3）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．

2．由三视图还原几何体的方法

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

3．（2014·

高考江西卷）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.

4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是（　　）

A．正三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．直角三角形

答案：

D

__空间几何体的结构特征________________

　给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　B．1

C．2D．3

[解析]　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；

②正确；

③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

[答案]　B

[规律方法]　判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：

（1）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

（2）通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

　1.给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中错误的命题的序号是________．

认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．

①②③④

__空间几何体的三视图（高频考点）________

空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．

高考对三视图的考查常有以下三个命题角度：

（1）根据几何体的图形，识别三视图；

（2）三视图还原直观图；

（3）根据几何体三视图中的两个视图，判断第三个视图．

（1）（2013·

高考四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

（2）（2015·

济宁模拟）点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的（　　）

A．①②③B．②③④

C．①③④D．②④③

[解析]　

（1）由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.

（2）由正视图的定义可知：

点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；

同理可得侧视图为③，俯视图为④.

[答案]　

（1）D　

（2）B

[规律方法]　

（1）由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；

（2）由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；

其次，要遵循以下三步：

①看视图，明关系；

②分部分，想整体；

③综合起来，定整体．

　2.（2015·

河南郑州质量检测）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（　　）

选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为

，与题中所给的侧视图的宽度1不相等．

__空间几何体的直观图__________________

　已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

[解]　如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为

a.

∵∠D′A′B′＝45°

，

∴A′D′＝

由斜二测画法的规则知，

在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为

a，∴S△ABC＝

a·

a＝

a2.

　若将本例中△A′B′C′是边长为a的正三角形改为△ABC是边长为a的正三角形，求直观图△A′B′C′的面积．

解：

如图所示的实物图和直观图．

由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝

OC＝

在图中作C′D′⊥A′B′交x′轴于点D′，

则C′D′＝

O′C′＝

∴S△A′B′C′＝

A′B′·

C′D′＝

×

a×

[规律方法]　画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出相应的多边形，因此平面多边形的直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．

考题溯源——由三视图还原几何体

　（2014·

高考课标全国卷Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥　　　　　　B．三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

[解析]　如图，几何体为三棱柱．

[考题溯源]　本考题是由教材人教A版必修2P15练习题第4题“如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．”演变而来．

　已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（　　）

A．①②③⑤B．②③④⑤

C．①②④⑤D．①②③④

1.（2015·

青岛模拟）将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

选C.长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.

2．给出下列几个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；

②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；

③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　B．1

选A.反例：

①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；

②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；

③显然错误，故选A.

3．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（　　）

选B.由于球与侧棱不相交，因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相切，排除A、D，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C，故选B.

4．（2015·

山西省高三年级四校联考）如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

选A.根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，∴几何体的体积V＝3×

2×

1＋

3×

x＝10，解得x＝2.

5．（2015·

昆明三中、玉溪一中统考）如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为

，则其侧视图的面积为（　　）

A.

B.

C.

D.

选B.设三棱锥V-ABC的底面边长为a，侧面VAC边AC上的高为h，则ah＝

，其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高，还有VB组成的直角三角形，其面积为

＝

，故选B.

6．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．

过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB

旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．

两个圆锥的组合体

7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．

由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．

2

8．（2014·

高考北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝

，所以最长的棱为PC，PC＝

＝2

.

9.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．

（1）根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

（2）求PA.

（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.

（2）由侧视图可求得PD＝

＝6

cm.

由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝　

＝　

（cm）．

10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．

（1）试判断该几何体是什么几何体；

（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积．

（1）正六棱锥．

（2）其侧视图如图：

其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝

a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝

a，∴该平面图形的面积S＝