勾股定理之最短路径填空选择中考题docx文档格式.docx
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山西)如图,点A和点B分别是棱长为
由A处向B处爬行,所走的最短路程是()
20cm
的正方体盒子上相邻面的两个中心.一只蚂蚁在盒子表面
A40cm
B20
cm
C、20cm
D、10
5、(2005?
贵阳)如图A,一圆柱体的底面周长为
的表面爬行到点C的最短路程大约是()
24cm,高
BD为4cm,BC是直径,一只蚂蚁从点
D出发沿着圆柱
A、6cm
B、12cm
C、13cm
D、16cm
6、(2004?
淄博)如图是一块长,宽,高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶
点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是(
A、(3+2
)cm
B、
D、
7、(2004?
梅州)如图,一只蚂蚁沿边长为
a的正方体表面从顶点
A爬到顶点
B,则它走过的路程最短为(
a
B、(1+
)a
C、3a
8、(2004?
济宁)如图,正方体盒子的棱长为
蚁爬行的最短距离是()
2,BC的中点为
M,一只蚂蚁从
M点沿正方体的表面爬到
D1点,蚂
A、B、3
C、5D、
9、如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是()
A、12cm
B、10cm
C、14cm
D、无法确定
10、如图:
有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm(π=3),在圆柱下底面的
底面与A相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程大约()
A点有一只蚂蚁,它想吃到上
A、10cm
C、19cm
D、20cm
11、如图是一个棱长为
4cm
的正方体盒子,一只蚂蚁在
D1C1的中点
M处,它到
BB1的中点
N的最短路线是(
A、8B、2
C、2D、2+2
12、如图所示,是一个圆柱体,ABCD是它的一个横截面,AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从A点爬行到C点,那么,
最近的路程长为()
A、7B、
C、D、5
13、如图是一个长4m,宽3m,高2m的有盖仓库,在其内壁的
A处(长的四等分)有一只壁虎,
B处(宽的三等
分)有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为()
A、4.8
C、5
14、有一长、宽、高分别是5cm,4cm,3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点爬到长方体上和A相对的顶点B处,则需要爬行的最短路径长为()
A处沿长方体的表面
C、4
15、如图,边长为
1的立方体中,一只蚂蚁从
A顶点出发沿着立方体的外表面爬到
B顶点的最短路程是(
A、3
D、1
16、如图所示:
有一个长、宽都是
的最短路径为()
2米,高为
3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从
A点爬到
B点,那么这只蚂蚁爬行
A、3米B、4米
C、5米D、6米
17、如图,在棱长为20cm
的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从
A点出发向
B爬去吃食,则蚂蚁所走最短路程是
(
A、40cm
B、20
D、20
二、填空题(共
13小题)
18、(2007?
呼伦贝尔)如图,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为
有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达
6m
的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点
P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是
P处
_________
m.(结果不取近似值)
19、(2007?
怀化)如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
,高为
2,若一只小虫从
A点出发沿着圆柱体的侧面爬行
到C点,则小虫爬行的最短路程是
.(结果保留根号)
20、(2007?
金昌)如图,圆锥的母线长OA为8,底面圆的半径为
的中点B处有一只小虫,蚂蚁要捉到小虫,需要爬行的最短距离为
4.若一只蚂蚁在底面上点
_________.
A处,在相对母线
OC
21、(2007?
梅州)如图,有一木质圆柱形笔筒的高为
h,底面半径为
r,现要围绕笔筒的表面由
A至
A1(A,A1在
圆柱的同一轴截面上)镶入一条银色金属线作为装饰,这条金属线的最短长度是
.
22、(2008?
昆明)如图,有一个圆柱,它的高等于16cm,底面半径等干它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是
4cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,
_________cm.(π取3)
23、(2008?
青海)如图,有一圆柱体,它的高为20cm,底面半径为想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇,需要爬行的最短路径是
7cm.在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛,它
_________cm(结果用带根号和π的式子
表示).
24、(2009?
青岛)如图,长方体的底面边长分别为面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要那么所用细线最短需要_________cm.
1cm和_________
3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧cm;
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,
25、(2011?
荆州)如图,长方体的底面边长分别为
行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为
2cm和4cm,高为
_________cm.
5cm.若一只蚂蚁从
P点开始经过
4个侧面爬
26、(2006?
茂名)如图,点
A、B分别是棱长为
2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点
A沿其表面爬到点
B
的最短路程是
27、(2005?
青海)如图,已知正方体的棱长为2,则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为_________.
28、(2003?
泸州)如图,一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点,沿盒子表
面爬行的最短路程是_________cm.
29、如图,有一圆柱,其高为食物,则蚂蚁经过的最短距离为
12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面
A点处有一只蚂蚁,它想得到上底面
B处的
30、一只蚂蚁从长、宽都是
3,高是
8的长方体纸箱的
A点沿纸箱爬到
B点,那么它所行的最短路线的长是
24.(本小题
10分)问题探究:
(1)如图①所示是一个半径为
3
4的圆柱体和它的侧面展开图,
AB是圆柱的一条母线,一只蚂蚁从
A点
2π
出发沿圆柱的侧面爬行一周到达
B点,求蚂蚁爬行的最短路程.
(探究思路:
将圆柱的侧面沿母线
AB剪开,它的
侧面展开图如图①中的矩形
ABB′′A,则蚂蚁爬行的最短路程即为线段
AB′的长)
(2)如图②所示是一个底面半径为
2,母线长为
4的圆锥和它的侧面展开图,
PA是它的一条母线,一只蚂蚁从
A
点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点,求蚂蚁爬行的最短路程.
(3)如图③所示,在②的条件下,一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线
行的最短路程.
PA上的一点,求蚂蚁爬
B′
PP
图①
图②
图③
(第24题)
答案与评分标准
一、选择题(共17小题)
广安)如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一
只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是()
A、B、5cm
C、D、7cm
考点:
平面展开-最短路径问题。
分析:
首先画出圆柱的侧面展开图,根据高BC′=6cm,PC=BC,求出PC′=×
6=4cm,在Rt△AC′P中,根据勾股定理
求出AP的长.
解答:
解:
侧面展开图如图所示,∵圆柱的底面周长为6cm,
∴AC′=3cm,
∵PC′=BC′,
∴PC′=×
6=4cm,
在Rt△ACP中,
222,
AP=AC′+CP
∴AP==5.
故选B.
点评:
此题主要考查了平面展开图,以及勾股定理的应用,做题的关键是画出圆柱的侧面展开图.
乐山)如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆
锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为()
A、B、2
C、3D、3
要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
由题意知,底面圆的直径AB=4,
故底面周长等于4π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°
,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=,
解得n=120°
所以展开图中∠APD=120°
÷
2=60°
因为半径PA=PA′,故三角形PAA′为等腰三角形,又∵D为AA′的中点,
所以PD⊥AA′,在直角三角形PAD中,PA=6,PD=3,
根据勾股定理求得AD=3,
所以蚂蚁爬行的最短距离为3.
故选C.
圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()
A、5B、25
C、10+5D、35
要求蚂蚁爬行的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
将长方体展开,连接A、B,
根据两点之间线段最短,
BD=10+5=15,AD=20,
由勾股定理得:
AB====25.
本题是一道趣味题,将长方体展开,根据两点之间线段最短,运用勾股定理解答即可.
A、40cmB、20cm
C、20cmD、10cm
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.
根据两点之间线段最短,把正方体展开,可知由
A处向
B处爬行,所走的最短路程是
20cm.
熟练掌握两点之间线段最短这一性质.
A、6cmB、12cm
C、13cmD、16cm
根据题意,先将圆柱体展开,再根据两点之间线段最短.
将圆柱体展开,连接D、C,
圆柱体的底面周长为24cm,则DE=12cm,
CD==4≈13cm.
而走B﹣D﹣C的距离更短,
∵BD=4,BC=,
∴BD+BC≈11.64.≈12
本题是一道趣味题,将圆柱体展开,根据两点之间线段最短,运用勾股定理解答即可.
点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是()
A、(3+2)cmB、cm
C、cmD、cm
作此题要把这个长方体中,蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短,根据勾股定理即可计算.
第一种情况:
把我们所看到的前面和上面组成一个平面,
则这个长方形的长和宽分别是9和4,
则所走的最短线段是=;
第二种情况:
把我们看到的左面与上面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是7和6,
所以走的最短线段是=;
第三种情况:
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是10和3,
三种情况比较而言,第二种情况最短.
所以选C.
此题的关键是明确线段最短这一知识点,然后把立体的长方体放到一个平面内,求出最短的线段.
梅州)如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的路程最短为()
A、aB、(1+)a
C、3aD、a
先将图形展开,再根据两点之间线段最短可知.
将正方体展开,连接A、B,根据两点之间线段最短,AB==a.
故选D.
本题是一道趣味题,将正方体展开,运用勾股定理解答即可.
济宁)如图,正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点,蚂
根据题意,先将正方体展开,再根据两点之间线段最短求解.
将正方体展开,连接M、D1,
MD=MC+CD=1+2=3,
MD1===.
故选A.
本题是一道趣味题,将正方体展开,根据两点之间线段最短,运用勾股定理解答即可.
9、如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是(
A、12cmB、10cm
C、14cmD、无法确定
根据两点之间,线段最短.先将图形展开,再根据勾股定理可知.
可以把A和B展开到一个平面内,
即圆柱的半个侧面是矩形:
矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6.
矩形的宽是圆柱的高8.
根据勾股定理得:
爬行的最短路程是矩形的对角线的长,即10.
要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离,需要把两个点展开到一个平面内,再计算.
有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm(π=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程大约()
根据两点之间,线段最短.首先把A和B展开到一个平面内,即展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形,然后
根据勾股定理,求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度.
展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形:
矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6,矩形的宽是圆柱的高即
8.
蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10.
本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.本题注意只需展
开圆柱的半个侧面.
A、8
C、2
D、2+2
把此正方体的
DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内,然后利用勾股定理求点
M和N点间的线段长,即
可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形
MNB1中,一条直角边长等于
6,另一条直角边长等于
2,利用勾股定
理可求得.
把正方体的
DCC11
11
D面与CCBB面展开在同一平面内,
∵M、N为C1D1和BB1的中点,∴NB1=2,MC1=2,
在Rt△NMB1中,MN=
=2
本题考查了勾股定理的拓展应用.
“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.
12、如图所示,是一个圆柱体,
ABCD是它的一个横截面,AB=
,BC=3,一只蚂蚁,要从A点爬行到C点,那么,
最近的路程长为(
要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
将圆柱体展开,连接A、C,
∵=?
π?
=4,BC=3,
根据两点之间线段最短,AC==5.
圆柱体展开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的宽.
13、如图是一个长4m,宽3m,高2m的有盖仓库,在其内壁的A处(长的四等分)有一只壁虎,B处(宽的三等
A、4.8B、
有两种展开方法:
①将长方体展开成如图所示,连接A、B,
AB=
=
;
②将长方体展开成如图所示,连接
A、B,则
=5<
14、有一长、宽、高分别是5cm,4cm,3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点
爬到长方体上和A相对的顶点B处,则需要爬行的最短路径长为()
把此长方