广东外语外贸大学附设外语学校高三数学寒假作业数学理1.docx
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广东外语外贸大学附设外语学校高三数学寒假作业数学理1
数学寒假作业（数学理）1
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A、B满足
，那么下列各式中一定成立的是（）
A.
B.BA
C.
D.
2．设条件
那么p是q的什么条件（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分且必要条件D．非充分非必要条件
3.若
，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
5.设向量
，
满足：
，
，
．以
，
，
的模为边长构成三角形，则它的边与半径为
的圆的公共点个数最多为（）
A．
B.4C．
D．
6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文
对应密文
.当接收方收到密文
时，则解密得到的明文为（）
A．
B．
C．
D．
7.在棱长均为2的正四棱锥
中，点
为
的中点，则下列命题正确的是（）.
（A）
∥平面
，且
到平面
的距离为
（B）
∥平面
，且
到平面
的距离为
（C）
与平面
不平行，且
与平面
所成的角大于
（D）
与平面
不平行，且
与平面
所成的角小于
8．已知
是业义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数
满足：
，
考察下列结论：
网①
②数列{an}为等比例数列；③数列{bn}为等差数列。
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
第Ⅱ卷（共110分）
20090508
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．
10．已知等比数列
的前三项依次为
，
，
，则
．
11．如果复数
为纯虚数，那么实数
的值为．
12．已知
的展开式中的常数项为
，
是以
为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是．
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离为．
14．（不等式选讲选做题）不等式
的解集
是．
15．（几何证明选讲选做题）如图2所示，
与
是圆
的直径，
，
是
延长线上一点，连
交圆
于点
，连
交
于点
，若
，则
．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）如图，是函数
在同一个周期内的图像。
（I）求函数
的解析式；
（II）将函数
平移，得到函数
的最大值，并求此时自变量x的集合。
17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面积是等腰直角三角形，∠A1B1C1=90°，A1C1=1，AA1=
，N、M分别是线段B1B、AC1的中点。
（I）证明：
MN//平面ABC；（II）求A1到平面AB1C1的距离（III）求二面角A1—AB1—C1的大小。
18．（本小题满分12分）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。
假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望。
19．（本小题满分14分）已知数列
的前n项和为Sn，且满足
，
（1）数列
是否为等差数列？
请证明你的结论；
（2）求Sn和
；
20．（本小题满分14分）已知直线
，抛物线
，定点M（1，1）。
（I）当直线
经过抛物线焦点F时，求点M关于直线
的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当
变化且直线
与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线
的对称点为Q（x0，y0），求x0关于k的函数关系式
；若P与M重合时，求
的取值范围。
21．（本小题14分）设M是由满足下列条件的函数
构成的集合：
“①方程
有实数根；
②函数
的导数
满足
”
（I）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素
具有下面的性质：
若
的定义域为D，则对于任意[m，n]
，都存在
，使得等式
成立。
试用这一性质证明：
方程
只有一个实数根；
（III）设x1是方程
的实数根，求证：
对于
定义域中任意的x2，x3，当
时，有
数学寒假作业（数学理）1
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1—5CADBC6—8CDA
1．C【解析】A是B的子集；
2．A【解析】
但是q不能推出p
3．C【解析】
4．B
5．解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能
实现．答案C
6．C，
7．D连接PD中点与AB中点，即可
8．A
二、填空题：
9．76010．
11．-212．
13．
14．
15．3
9．【解析】
10．【解析】
11．解：
即
，
12．。
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】
14．
，分三个区间讨论可得
15．【解析】3
三、解答题：
本大题共6小题共80-分。
解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题共满分12分）
解：
（I）由图知：
，得A=2；
由A+B=3，得B=1；
设
将函数
的图象向左平移
，得
的图象，
则
……………………8分
（II）依题意：
当
此时x的取值集合为
…………………………12分
17．（本小题满分14分）
（I）证明：
取AC中点F，连结MF，BF，
在三角形AC1C中，MN//C1C且
，
（II）设A1到平面AB1C1的距离为h，AA1⊥平面A1B1C1
（III）三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又点D是等腰直角三角形A1B1C1斜边A1B1的中点。
则C1D⊥A1B1
所以，
；
平面A1B1BA内，过D作DE⊥AB1，垂足为E，连结C1E，则C1E⊥AB1；
是二面角，A1—AB1—C1的平面角，
在Rt
所以，二面角，A1—AB1—C1的大小为
………………14分
18．（本小题满分12分）
解：
（I）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P1，则
………………………………4分
（II）对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为
；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为
，故所求概率为
………………………………8分
（III）
的可能取值为0，1，2，3；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为
的分布列为
P
0
1
2
3
此分布为二项分布
—N（3，0.6）
…………………………12分
19．（本小题满分14分）
（21分）
显见，若
，则
（4分）
（6分）
故数列
为等差数列。
（7分）
（10分）
（11分）
（12分）
（13分）
（14分）
20．（本小题满分14分）
（I）由焦点F（1，0）在
上，得
……………………1分
设点N（m，n）则有：
，…………………………3分
解得
，
……………………5分
N点不在抛物线C上。
………………………………7分
（2）把直线方程
代入抛物线方程得：
解得
。
………………12分
当P与M重合时，a=1
21．（本小题满分14分）
解：
（I）因为
，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0。
所以函数
是的集合M中的元素。
………………………………3分
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根
不妨设
，根据题意存在数
使得等式
成立。
因为
与已知
矛盾，所以方程
只有一个实数根；…………8分
（III）不妨设
又因为
为减函数，
所以
所以
所以
…………………………14分
试卷的知识分值分布
理科
知识版块
题号
分值
集合与逻辑
1，2
10
函数与导数
8，12，21
24
立体几何
7，17
19
平面解析几何
4，20
19
算法初步
6
5
概率与统计
9，18
17
平面向量与三角
5，16
17
数列
10，19
19
不等式
3
5
推理与证明
0
复数
11
5
坐标系与参数方程
13
10
几何证明选讲
15
不等式选讲
14
试卷与07，08年广东卷试题知识分值分布对照
知识点
分值
年
向量
函数
三角函数
数列
解
析
几
何
立体几何
概率统计
排列组合
复数
不等式
研究性题
选做题
07年
文
11
39
8
19
19（不包括选做题）
17
22
5
5
5
理
5
29
12
19
19（同上）
14
22
5
5
10
10
08年
文
5
27
18
19
19（同上）
19
23
5
10
5
理
5
24
18
17
19（同上）
19
28
5
5
10
参赛
理
5
29
12
19
19
19
17
5
5
5
10
升级会员 