鲁教版九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习基础题A附答案.docx

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鲁教版九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习基础题A附答案

鲁教版2019-2020九年级数学第二章直角三角形的边角关系自主学习基础题A（附答案）

．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为米，下底长为米，高为米，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（）

A．，B．，C．，D．，

2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（　　）

A．B．C．D．

3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝5，AC＝3，则tan∠BCD＝（　　）

A．B．C．D．

4．cos60°的值等于（）

A．B．C．D．

5．四位学生用计算器求cos27°40'的近似值的结果如下,正确的是（　　）

A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.8851

6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）

A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα

7．下列说法正确的是（　　）

A．在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则a=3，b=4

B．若△ABC三边之比为1：

，且∠A为最小角，则sinA=

C．对于锐角α，必有sinα＞cosα

D．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则sin2A+cos2A=1

8．如图，中，,已知,则BD的长可表示为（）

A．B．C．D．

9．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

10．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为：

A．米B．米C．3米D．米

11．如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝_________.

12．如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_____海里（不近似计算）．

13．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________________.

14．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）

A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°

15．计算：

sin60°cos30°-=_________．

16．同角三角函数的基本关系为：

sin2α+cos2α＝1，＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：

已知tanα＝2，＝_____．

17．如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°,tan∠BAC=，CD=3，则AC________．

18．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．

19．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．

20．若α为锐角,且tan（90°-α）=,则tanα=___________.

21．计算：

22．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：

此时渔政船和渔船相距多远？

（结果保留根号）

23．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB=2，求AC的长。

24．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．

（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？

（精确到0.1米）

（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：

2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）

（参考数据：

sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

25．计算：

﹣cos30°+（1-sin45°）0．

26．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

27．如图，已知∠ABM＝30°，AB＝20，C是射线BM上一点．

（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）

①AC＝13；②tan∠ACB＝；③△ABC的面积为126．

（2）在

（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．

28．公园里有一座假山，在B点测得山顶H的仰角为45°，在A点测得山顶H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH.（结果保留根号）

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

从上底两个顶点向下底引垂线，构造出两个直角三角形和一个矩形，利用等腰梯形的性质得到DF长，进而得到坡度、坡角．

【详解】

如图，作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E．

AB=6m，DC=12m，AF=BE=m，

∵AF⊥DC，BE⊥DC，四边形ABCD为等腰梯形．

∴四边形AFEB是矩形，△ADF≌△BCE，

∴AB=EF=6m，

∴DF=EC=（BC-AD）=（12-6）=3m，

∵tanD==．

∴坡度是：

3，

∵tanD=，

∴∠D=30°

故选：

D．

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．

2．B

【解析】

过C作CD⊥AB，

根据勾股定理得：

AC=AB==，

S△ABC=4---=，

即CD•AB=，所以CD=，

解得：

CD=，

则sin∠CAB==，

故选B．

3．A

【解析】∵在Rt△CDB中，∠BCD+∠CBD=90°，即∠BCD+∠CBA=90°，

又∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠CBA=90°，

∴∠BCD=∠BAC，

∴tan∠BCD=tan∠BAC，

∵在Rt△ABC中，，

∴在Rt△ABC中，，

∴.

故本题应选A.

4．A

【解析】cos60°=.

故选A.

点睛：

熟记特殊三角函数值：

sin30°=cos60°=，sin60°=cos30°=，sin45°=cos45°=，tan30°=，tan45°=1，tan60°=.

5．A

【解析】用科学计算器计算，四舍五入为A.

6．D

【解析】

试题分析：

根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴cotA=，

∵BC=2，∠A=α，

∴AC=2cotα，

故选D．

考点：

锐角三角函数的定义．

7．D

【解析】解：

A.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则a=3x，b=4x，故A错误.

B.若△ABC三边之比为1：

，且∠A为最小角，则sinA=,故B错误.

C.对于α>45°，必有sinα＞cosα，当0<α<45°时，sinα

D.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则sin2A+cos2A=1，所以D选项是正确的.

8．C

【解析】

9．A

【解析】

试题解析：

∵cosA=，tanB=，

∴∠A=45°，∠B=60°．

∴∠C=180°-45°-60°=75°．

∴△ABC为锐角三角形．

故选A．

10．A

【解析】

试题解析：

由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．

∵cos45°=，

∴AO＝；

而cos60°=，

∴BO=．

∴AB=AO+BO=+=．

故选A．

【点睛】由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形，我们所要求的AO、BO都是已知角45°、60°的邻边，所以可根据余弦定义解题．首先求出AO，BO，然后求出AB．此题主要考查余弦定义，在本题中用了两次余弦定义.

11．

【解析】

试题分析：

先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质得到CD2=BD•AD，求出CD=6，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA．

考点：

解直角三角形

12．6

【解析】试题分析：

过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．

解：

过S作SC⊥AB于C．

∵∠SBC=60°，∠A=30°，

∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，

即∠BSA=∠A=30°．

∴SB=AB=12．

Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，

∴SC=SB•sin60°=12×=6（海里）．

即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里．

故答案为：

6．

13．2+

【解析】如图，∠C=90°，∠A=60°,三角函数的定义知，,

a－b=2，

解方程组得，b=+1,

∠B=30°，

c=2b=2+.

点睛：

（1）锐角三角函数题目，经常需要处理分母有理化问题:

.

（2）建立方程和方程组的思想在解三角形中使解题思路更清晰，简洁.

14．B

【解析】∵α是锐角，

∴cosα>0，

∵cosα<，

∴0

又∵cos90°=0,cos45°=，

∴45°<α<90°；

∵α是锐角，

∴tanα>0，

∵tanα<，

∴0

又∵tan0°=0,tan60°=，

0<α<60°；

故45°<α<60°.

故选B.

点睛:

本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键

15．

【解析】

16．

【解析】

由，可得，再由，可得，即5，所以.

点睛：

本题属于阅读理解题，根据题目中所给的规律（或运算方法）是解决这类题目的关键.

17．．

【解析】

试题分析：

过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴DE=，CE=．则AE=，在Rt△AED中，由勾股定理得：

=，∵AB=BC，BH⊥AC，∴AH=AC=，∵tan∠BAC==，∴BH=AH=，在Rt△ABH中，由勾股定理得：

，∴=．∵AB=AD，∴=，解得：

，．当AC=时，AC＜DC，与图形不符舍去．∴AC=．故答案为：

．

考点：

1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．分类讨论；5．综合题．

18．75°

【解析】

已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.

19．

【解析】试题解析：

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴

又∵AB∥DC，

∴.

又∵，

∴.

∵，

∴，即.

又∵∠B=∠D，所以，.

由题，AF=4，AE=6，

则根据勾股定理，易得，，

∴.

所以本题的正确答案为.

点睛：

本题考查了平行四边形的性质、三角函数和