第三章 基本体的投影Word文档下载推荐.docx

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三棱锥的底面ABC平行于平面H在水平投影上反映真实形状；

BCS垂直于V面，在正平面上投影为一条直线。

作图时应先画出底面△ABC的三面投影，再作出锥顶S的三面投影，然后连接各棱线，完成斜三棱柱的三面投影图。

棱线可见性则需要通过具体情况分析进行判断。

3.1.2棱柱表面上取点

在立体表面上取点，就是根据立体表面上的已知点的一个投影求出它的另外投影。

由于平面立体的各个表面均为平面，所以其原理与方法与在平面上取点相同。

1.正六棱柱上取点

如图3-1-4中为正六棱柱的三面投影图，正六棱柱的顶面和底面为水平面，前后两侧棱柱面为正平面，其他四个侧棱面均为铅垂面。

正六棱柱的前后对称，左右也对称。

若已知六棱柱表面M点的正面投影m’，六棱柱底面上N点的水平投影n，求两点其余投影。

求M点投影，如图3-1-4所示，首先确定M点在哪一个棱面上，由于M点可见，故M点属于六棱柱左前棱面，此棱面为铅垂面，水平投影具有积聚性，因此可由m’向下作辅助线直接求出水平投影m，再借助投影关系求出侧面投影m”。

求N点投影，如图3-1-4所示，确定N点所在面，水平投影不可见，可知N点位于下端面，此面是水平面在正平面和侧平面上投影具有积聚性，所以可直接求得N点的其他投影。

（a）已知（b）作图求解

图3-1-4

2.三棱锥取点

如图3-1-5中所示，三棱柱底面ABC平面为水平面，BCS面为侧垂面。

若已知三棱锥表面上两点M和N的正面投影，求其水平投影和侧面投影。

求M点的水平投影和侧面投影，从所给出的M点的正面投影不可见，可知M点位于BCS面上，BCS面为侧垂面在侧面投影上具有积聚性，我们可以直接得出m”，利用投影关系可求得m。

求N点的水平投影和侧面投影，分析N点位于SAC面上，可过N点作辅助直线SI，可求得SI的水平投影和正面投影，N属于SI上的一点，可使用求直线上一点的方法求得N点水平投影，使用投影关系求得侧面投影，如图3-1-5所示。

（a）已知（b）作图求解

图3-1-5

3.2回转体投影

常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球、圆环等，这些立体表面上的曲面都是回转面，因此又称它们为回转体。

图3-2-1

回转面的形成（如图3-2-1所示）：

回转面是由一条母线（直线或是曲线）绕某一轴线回转而形成的曲面，母线在回转过程中的任意位置称为素线；

母线各点运行轨迹皆为垂直于回转体轴线的圆。

圆柱：

由圆柱面和两端圆平面组成。

圆柱面是一直线绕与之平行的轴线旋转而成。

圆锥：

由圆锥面和底圆平面组成。

圆锥面是由母线绕与它端点相交的轴线回转而成。

球：

由球面围成，球面是一个圆母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而成的曲面。

圆环：

由圆环面围成。

圆环面是由一个圆母线绕不通过圆心但在同一平面上的轴线回转而成的曲面。

3.2.1圆柱

1.圆柱的投影

如图3-2-2所示，为三投影面体系中的圆柱，分析图形可知：

圆柱体的上下底面为水平面，故水平投影为圆，反映真实图形，而其正、侧面投影为直线。

圆柱面水平投影积聚为圆，正面投影和侧面投影为矩形，矩形的上、下两边分别为圆柱上下端面的积聚性投影。

最左侧素线AA1和最右侧素线BB1的正面投影线分别为a’a1’和b’b1’，又称圆柱面对V面的投影的轮廓线。

AA1与BB1的正面投影与圆柱线的正面投影重合，画图时不需要表示。

最前素线CC1和最后素线DD1的侧面投影线分别为c’’c1’’和d’’d1’’，又称圆柱面对W面的投影的轮廓线。

CC1与DD1的正面投影与圆柱线的正面投影重合，画图时不需要表示。

图3-2-2圆柱投影立体图及三面投影图

作图时应先用点划线画出轴线的各个投影及圆的对称中心线，然后绘制反映圆柱底面实形的水平投影，最后绘制正面及侧面投影。

图3-2-3圆柱表面的点

2.圆柱表面上的点（如图3-2-3所示）

已知圆柱表面上的一点K在正面上的投影为k'

，现作它的其余二投影。

由于圆柱面上的水平投影有积聚性，因此点K的水平投影应在圆周上，因为k’可见所以点K在前半个圆柱上，由此得到K的水平投影k，然后根据k’、k便可求得点K的侧面投影k’’，因点K在右半圆柱上，k’’不可见，应加括号表示不可见性。

3.2.2圆锥

1.圆锥的投影

图3-2-4圆锥体立体投影图及三面投影图

如图3-2-4所示，为三面投影体系中的圆锥，分析图形可知：

圆锥的水平投影为一个圆，这个圆既是圆锥平行于H面的底圆的实形，又是圆锥面的水平投影；

圆锥面的正面投影与侧面投影都是等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆平面有积聚性的投影。

正面投影中三角形的左右两腰s’a’和s’b’分别为圆锥面上最左素线SA和最右素线SB的正面投影，又称为圆锥面对V面投影的轮廓线，SA和SB的侧面投影与圆锥轴线的侧面投影重合，画图时不需要表示。

侧面投影中三角形的前后两腰s’’c’’和s’’d’’分别为圆锥面上最前素线SC和最后素线SD的侧面投影，又称为圆锥面对W面投影的轮廓线，SC和SD的正面投影与圆锥轴线的正面投影重合，画图时不需要表示。

作图时应首先用点画线画出轴线的各个投影及圆的对称中心线，然后画出水平投影上反映圆锥底面的圆，完成圆锥的其他投影，最后加深可见线。

2.圆锥表面上的点

由于圆锥的三个投影都没有积聚性，因此，若根据圆锥面上点的一个投影求做该点的其他投影时，必须借助于圆锥面上的辅助线，做辅助线的方法有两种（如图3-2-5所示）：

（a）素线法（b）纬圆法

图3-2-5

1.素线法：

过锥顶作辅助素线

已知圆锥面上的一点K的正面投影k’，求作它的水平投影k和侧面投影k”。

解题步骤如下：

1.在圆锥面上过点K及锥顶S作辅助素线SA，即过点K的已知投影k’作s’a’，并求出其水平投影sa；

2.按“宽相等”关系求出侧面投影s”a”；

3.判断可见性：

根据k’点在直线SA上的位置求出k及k”点的位置，K在左半圆锥上，所以k”可见。

2.纬圆法：

用垂直于回转体轴线的截平面截切回转体，其交线一定是圆，称为“纬

圆”，通过纬圆求解点位置的方法称为纬圆法。

已知圆锥面上的一点K的正面投影，求解其他两个方向投影。

1.在圆锥面上过K点做水平纬圆，其水平投影反映真实形状，过k’做纬圆的正面投影1’2’，即过k’做轴线的垂线1’2’；

2.以1’2’为直径，以s为圆心画圆，求得纬圆的水平投影12，则k必在此圆周12上；

3.由k’和k通过投影关系求得k”。

3.2.3球

1.球的投影

如图3-2-6所示，为三投影面体系中的球，分析可知：

图3-2-6球体的立体投影图及三面投影

球的三面投影均为大小相等的圆，其直径等于球的直径，但三个投影面上的圆是不同转向线的投影。

正面投影a’是球面平行于V面的最大圆A的投影（区分前、后半球表面的外形轮廓线）；

水平投影b是球面平行于H面的最大圆B的投影（区分上、下半球表面的外形轮廓线）；

侧面投影c”是球面平行于W面的最大圆C的投影（区分左、右半球表面的外形轮廓线）。

作图时首先用点划线画出各投影的对称中心线，然后画出与球等直径的圆。

2.圆面上取点（如图3-2-7所示）

由于圆的三个投影都无积聚性，所以在球面上取点、线，除特殊点外可直接求出外，其其余均需用辅助圆画法，并注明可见性。

（a）已知（b）作图求解

图3-2-7

已知圆球和球面上一点M的水平投影m，求点M的其余两个投影面投影，作图方法如下：

根据m可确定点M在上半球面的左前部，过M点作一平行于V的辅助圆，m’点一定在该圆周上，求得m’，由点M在前半球上，可知m’可见；

由m’及m根据三面点投影关系求得m”，由点M在左半球上可知m”可见。

3.3平面与立体相交——截交线

实际的机器零件往往不是完整的基本体，而是被一个或几个平面截切掉一部分的情况。

截交线：

平面与立体表面的交线称为截交线。

截交线均具有下列性质：

a）平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点；

b）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形；

c）多边形的各项点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱边与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。

3.3.1平面与平面立体相交

平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立体的形状特性，又具有截平面的平面特征。

因此在看图或画图时，一般应先从反应平面立体特征视图的多变形线框出发，想象出完整的平面立体形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截平面的形状并画出投影。

平面立体上切口的画法，常利用平面特性中“类似形”这一投影特性来作图。

范例：

已知被平面P’截切的三棱锥，完成它的其余视图绘制。

步骤如下（如图3-3-1所示）：

（a）已知

（b）作图求解

图3-3-1

不难看出，截平面与三棱锥的三个棱边均有一个交点，截交线是一个三角形，找出三个点在各投影中的位置就可以绘制出截面投影。

（1）设Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

的正面投影；

（2）根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”；

（3）连接各点的同面投影即为截交线的三个投影；

（4）补全棱线的投影，加深视图。

3.3.2平面与回转体相交

曲面立体的截交线，一般情况下是一条封闭的平面曲线。

作图时，须先求出若干个共有点的投影，然后用曲线将它们依次光滑地连接起来，即为截交线的投影。

截交线的形状由回转体表面的性质和截平面对回转体的相对位置而决定的。

（1）平面与圆柱体相交（如图3-3-2所示）

平面与圆柱体相交，可根据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有三种情况：

图3-3-2

圆柱被一正垂面所截，已知主视图和俯视图，求左视图。

（a）立体图（b）作图求解

图3-3-3

分析：

圆柱体被正垂面截切，截交线的是一椭圆。

此截交线椭圆的V投影积聚为一直线，H面投影积聚在圆周上，W面的投影是椭圆需要求出，如图3-3-3所示。

作图：

先画出完整的圆柱体的左视图，再求截交线的侧面投影。

步骤如下：

（1）求特殊点。

特殊点主要是转向轮廓线上的共有点，截交线上最高、最低、最前、

最后、最左、最右点以及能决定截交线形状特性的点，如椭圆长短轴端点等。

（2）I、II为椭圆的短轴，III、IV为椭圆的长轴，点I和点II分别位于圆柱的最

左、最右素线上，I为最低点，II为最高点。

点III和IV分别位于圆柱的最

前和最后素线上。

它们的正面投影1'

、2'

、3'

、4'

和水平投影1、2、3、4可直

接标出来。

由两投影可求出侧面投影1"

、2"

、3"

、4"

。

（3）求一般点。

为使作图准确，还须作出若干一般点。

在特殊点之间再找几个一般

点如V、VI、VII、VIII，根据它们的正面投影5'

、6'

、7'

、8'

和水平投影5、6、

7、8即可求出侧面投影5"

、6"

、7"

、8"

（4）判断可见性、连线。

用曲线板依次光滑连接各点的侧面投影，即的得截交线

的侧面投影。

（5）加深侧投影面的轮廓线至3"

，完成截交线的侧面投影。

完成下列图形的三视图。

图3-3-4

圆柱面被与其轴线平行的平面所截，截交线为一对与轴平行的直线，如图3-3-4所示。

（1）画出圆柱的三面投影图；

（2）按五个截平面的实际位置，画出它们的正面投影；

（3）按投影关系，作出截平面的水平投影；

（4）由V、H两面投影求侧面投影。

a、求各水平面的侧面投影：

两水平面的侧面

投影各积聚为一水平线段1”2”和5”6”。

b、求各铅垂面的侧面投影侧平面各投

影为矩形；

（5）判断可见性；

（6）加深线型。

（2）圆锥截交线

根据截平面与圆锥的相对位置不同，截交线有五种情况（如表3-1）：

表3-1

位置

垂直于轴线

倾斜于轴线

平行于轴线

平行于一条素线

过锥顶

形状

圆

椭圆

双曲线和直线段

抛物线和直线段

两相交直线

立体图

投影图

已知被正垂面截切掉左上方一块的圆，根据图中已经完成的水平投影画出侧面投影。

图3-3-5

正垂截平面与圆锥的轴线倾斜，且截平面与圆锥轴线的夹角大于圆锥的锥顶半角，所以截交线是一个椭圆。

且截交线椭圆的正面投影重合在正垂截平面的积聚性投影直线上即截交线的正面投影已知，截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆，但不反映实形。

可应用在圆锥表面上取点的方法，求出椭圆上诸点的水平投影和侧面投影，然后将它们依次光滑连接，如图3-3-5所示。

作图步骤：

1.求特殊点：

由正面投影可知，1′、2′分别是截交线上的最底（最左）、最高（最

右）点Ⅰ、Ⅱ的正面投影，它们也是圆锥面最左、最右素线上的点，也是空间

椭圆的长轴端点；

取1′2′的中点，即得空间椭圆短轴两端点Ⅲ、Ⅳ的重合的正

面投影3′（4′）；

5′（6′）则是截交线上在圆锥最前、最后素线上的点Ⅴ、Ⅵ

的正面投影。

根据圆锥面上取点的方法，可分别求出这六个特殊点的水平投影

和侧面投影。

2.求一般点：

为了准确的画出截交线的投影，可求作一般点Ⅶ、Ⅷ，它们的正面

投影重合，再根据辅助纬圆法求出它们的水平投影和侧面投影。

3.判别可见性并连线：

圆锥的上面部分被截切掉，截平面左底右高，截交线的水

平投影和侧面投影均可见，用粗实线依次光滑地连接各点的同面投影即可。

4.分析圆锥的外形轮廓线：

圆锥最前、最后两根素线的上部均被截切掉了，其侧

面投影应画到截切点5″、6″为止。

圆锥的底面圆没有被截切，其侧面投影是

完整的，用粗实线画出。

求铅垂面PH与圆锥的截交线。

（a）求点（b）依次光滑连接

图3-3-6

PH面垂直于圆锥轴线，截交线为双曲线，它的水平投影积就成一直线，而其正面投影和侧面投影为双曲线的类似形。

另根据圆锥的投影特性可知，截交钱（位于前半圆锥）的正面投影全部可见；

截平面PH与最前素线的交点D为截交线侧面投影可见性的分界点位于右半圆锥面上的截交线未截切前为不可见，如图3-3-6所示。

（1）先求特殊点，即截平面PH与底平面、圆锥的最前轮廓素线的交点A、F、D和

最高点C，其中最高点C的求法是：

过圆心作圆与截平面PH面相切，切点即

为最高点C的水平投影c，据c求出c'

、c"

；

（2）采用纬圆法求一般点B、E；

（3）最后将所求各点依次光滑连接起来，并判别其可见性。

（3）平面与球体截交线

无论截平面处于何种位置，它与球体的截交线总是圆。

截交线的投影并不一定是圆形，投影跟截平面与投影面的相对位置有关，有可能是圆、椭圆、直线，见表3-2。

表3-2圆球被几种平面截切的投影

截平面位置

平行于投影面

垂直于投影面

一般位置

截交线形状

圆球被正垂面所截，已知其主视图，画出俯视图和左视图。

（a）立体图（b）作图求截交线

图3-3-7

根据截平面对投影面的相对位置可知，其截交线为圆。

正垂面截切圆球，其V投影积聚为一直线，截交线的H、W面的投影是椭圆，如图3-3-7所示。

1求出特殊点。

由图中可知，1、2是球面相对于V面转向轮廓线上的点，也是

截交线上的最高、最低点。

它们还是截交线圆在H、W面投影的椭圆短轴。

可

直接由V面投影1'

，求得1、2及1"

椭圆的长轴，垂直平分1、2。

由1、2的V面投影作垂直平分线求3'

过3'

取水平面作为辅助平面，

求出3、4的H、W面投影。

2采用纬圆法求出一般点：

取一系列的水平面作为辅助平面，求取一般点；

3判可见性、连线画出截交线的投影。

加深各转向轮廓线，得到相应的点。

3.4两回转体相交——相贯线

3.4.1相贯线概述

定义：

立体相交又称立体相贯，其表面的交线称为相贯线，如图3-4-1所示。

图3-4-1相贯线

由于立体分为平面立体和曲面立体，故两立体相交可分为三种情况：

（1）平面立体与平面立体相交，相贯线一般是封闭的空间；

（2）平面立体与曲面立体相交，相贯线是由若干段平面曲线或直线所围成的空间；

（3）两曲面立体相交，相贯线一般为封闭的空间曲线。

相贯线是相交两立体表面的共有线，由两立体表面的一系列共有点组成，因此求解相贯线的作图可以归结为找共有点的作图。

本章主要讨论两回转面立体相交。

3.4.2利用积聚性求相贯线

两圆柱相贯或圆柱与其他回转体相贯时，如果圆柱的轴线垂直于一投影面，则圆柱面在这个投影面上的投影有积聚性。

利用这个投影，按照曲面立体表面取点的方法，可求出相贯线的其他两面投影。

求作轴线正交的两圆柱表面的相贯线。

图3-4-2

两圆柱的轴线垂直相交且有公共的前后、左右对称面，铅垂的小圆柱全部穿进大圆柱，因此，相贯线是一条前后、左右对称的封闭的空间曲线。

相贯线的水平投影与铅垂圆柱面的水平投影圆重合，侧面投影与侧垂圆柱面投影圆的一段圆弧（被小圆柱轮廓素线包围的那一段）重合。

需要求作的是相贯线的正面投影，可利用圆柱表面上取点法，如图3-4-2所示。

先在相贯线的水平投影上，定出最左、最右点Ⅰ、Ⅲ的水平投影1、3，

并找出其侧面投影1"

（3"

），可知Ⅰ、Ⅲ点也是侧垂圆柱面最上一根素线与铅垂

圆柱面最左、最右素线的交点。

再定出相贯线的最前、最后点Ⅱ、Ⅳ的水平投影2、

4及其侧面投影2″、4″，Ⅱ、Ⅳ点也是铅垂圆柱面最前、最后素线上的点。

由1、

2、3、4可根据投影关系求出1′、2′、3′、4′。

可以看出，点Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅳ分别是

相贯线上的最高、最底点；

在相贯线的侧面投影上，取左右对称的点Ⅴ、Ⅵ的侧面投影5″（6″），

再根据圆柱表面上取点法，分别求出其水平投影5、6和正面投影5′、6′；

3.判别可见性：

按水平投影各点的顺序，将相贯线的正面投影连接成光滑的粗实线曲

线。

相贯线前后对称，其正面投影可见和不可见部分的投影重合。

光滑连接相贯线。

3.4.3利用辅助平面求相贯线

假想用一辅助平面截切相贯两立体，则辅助平面与两立体表面都产生截交线。

截交线的交点既属于辅助平面，又属于两立体表面，是三面共有点，即相贯线上的点。

利用这种方法求出相贯线上若干点，依次光滑连接起来，便是所求的相贯线。

这种方法称为“三面共点辅助平面法”，简称辅助平面法。

用辅助平面法求相贯线时，要选择合适的辅助平面，以便简化作图。

选择的原则是：

辅助平面与两曲面立体的截交线投影是简单易画的图形——由直线或圆弧构成的图形。

求轴线正交的圆柱与圆锥的相贯线。

（a）相贯线（b）求解相贯线

图3-4-3

圆柱体完全穿进圆锥体，其相贯线为一封闭、光滑的空间曲线。

由于两立体垂直相交，且前后对称，圆柱的轴线垂直于侧面，它的侧面投影积聚为圆，所以相贯线的侧面投影也积聚在此圆上。

相贯线的水平投影和正面投影前后对称，可利用辅助平面法求出。

作辅助平面S，SV同时与两立体相交，其截交线分别为水平圆和两直线，它们的交点V、VI即为相贯线上的点，如图3-4-3所示。

（1）求特殊点：

最高点Ⅰ、最低点Ⅱ，可在正面投影和侧面投影上直接求出1'

和1"

、

2"

，Ⅰ、Ⅱ的水平投影也可直接求出。

在正面投影上作辅助平面P，求出P平面与

圆锥面的截交线的水平投影圆，P平面与圆柱面截交线的水平投影为两直线，它们

的交点3、4即为水平投影。

由3、4可求出3'

（2）求一般点：

作一系列的辅助平面，每个辅助平面便可求出两个一般点；

（3）判别可见性并光滑连线：

对某一投影面来说，只有同时位于两个可见表面上的点才

是可见的。

本例中水平投影3、5、1、6、4各点在圆柱的上半个表面上，均可见，

画成粗实线；

3、2、4各点在圆柱的下半个表面上，均不可见，画成虚线，即得相

贯线的水平投影。

光滑连接各共有点的正面投影，完成作图。

将所求各点的正面投

影依次光滑连接即得相贯线的正面投影。

求圆台与半球相贯线的投影。

（b）求解相贯线上点

（c）完成的投影视图

图3-4-4

由投影图可知，圆台的轴线不过球心，但圆台和球有公共的前后对称面，圆台从球的左上方全部穿进球体，因此相贯线是一条前后对称的闭合空间曲线。

由于这两个立体的三面投影均无积聚性，所以不能用表面取点法求作相贯线的投影，但可以用辅助平面法求得，如图3-4-4所示。

解题步骤：

从投影图可以看出，圆台的V面转向线和球的V面转向线彼此相交，

因此，交点Ⅰ、Ⅱ（最低、最高点）的V面投影1′、2′可直接求出，由此求出

H面投影1、2和W面投影1″、2″。

最前点Ⅲ、和最后点Ⅳ在圆台的W面转向

线上，可通过圆台锥顶作侧平面T，由侧平面T与圆台、球的截交线的交点确定W

面投影3″、4″，再求出V面投影3′、4′和H面投影3、4；

在特殊点之间的适当位置上作一水平面P，它与圆台和球各相交于一圆，

作出两圆H面投影的交点就是相贯线上两个一般点V、Ⅳ的H面投影5、6，再根

据投影规律，分别求出V面投影5′