知识讲解 一元二次不等式及其解法 基础Word文档格式.docx
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a)的图象
20(0)axbxca?
的根
有两相异实根
)(,2121xxxx?
有两相等实根
abxx221?
无实根
的解集)0(02?
acbxax
1xxxx?
或
2x?
abxx2
R
acbxax
(1)一元二次方程20(0)axbxca?
的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线?
ycbxax?
2与x轴的交点的横坐标;
(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;
(3)解集分0,0,0?
三种情况,得到一元二次不等式20axbxc?
与20axbxc
?
要点三、解一元二次不等式的步骤
(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数;
(2)写出相应的方程20axbxc?
,计算判别式?
:
①0?
时,求出两根12xx、,且12xx?
(注意灵活运用因式分解和配方法);
②0?
时,求根abxx221?
;
③0?
时,方程无解
(3)根据不等式,写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>
0(a>
0)的过程
开始
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>
0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根Δ≥0?
否
是
1.解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正;
若为负,则将其变为正数;
2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法;
3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论;
4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系;
5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数.【典型例题】
类型一:
一元二次不等式的解法
例1.解下列一元二次不等式
(1)250xx?
(2)2440xx?
(3)2450xx?
【思路点拨】转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符法则解答.
【解析】
(1)方法一:
因为2(5)410250?
所以方程250xx?
的两个实数根为:
10x?
,25x?
函数25yxx?
的简图为:
因而不等式250xx?
的解集是{|05}xx?
.方法二:
250(5)0xxxx?
050xx?
或050xx?
解得05xx?
或05xx?
,即05x?
或x?
.因而不等式250xx?
.
(2)方法一:
因为0?
,
方程2440xx?
的解为122xx?
函数244yxx?
所以,原不等式的解集是{|2}xx?
方法二:
2244
(2)0xxx?
(当2x?
时,2
(2)0x?
)
所以原不等式的解集是{|2}xx?
(3)方法一:
原不等式整理得2450xx?
,方程2450xx?
无实数解,
函数245yxx?
所以不等式2450xx?
的解集是?
.所以原不等式的解集是?
∵2245
(2)110xxx?
∴原不等式的解集是?
.【总结升华】
1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力;
2.当0?
时,用配方法,结合符法则解答比较简洁(如第2、3小题);
当0?
且是一个完全平方数时,利用因式分解和符法则比较快捷,(如第1小题).
3.当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答.
举一反三:
【高清课堂:
一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx?
解不等式f(x)>3.
【答案】由题意知20,23xxx?
或20,23,xxx?
解得:
x>1.
故原不等式的解集为{x|x>1}
【变式2】
(2015重庆)函数22(x)log(x2x3)f?
的定义域是()
A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1.+∞)D.(-∞,-3)∪(1.+∞)【答案】由题意得:
2230xx?
,即(x1)(x3)0?
解得x>
1或x<
-3,
所以定义域为(-∞,-3)∪(1.+∞),
故选D。
类型二:
含字母系数的一元二次不等式的解法
例2.解下列关于x的不等式
(1)x2-2ax≤-a2+1;
(2)x2-ax+1>
0;
(3)x2-(a+1)x+a<
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论;
(1)22210[()1][()1]011xaxaxaxaaxa?
∴原不等式的解集为{|11}xaxa?
.
(2)Δ=a2-4
当Δ>
0,即a>
2或a<
-2
时,原不等式的解集为}2424|{22?
aaxaaxx或
当Δ=0,即a=2或-2
时,原不等式的解集为{|}2axx?
.当Δ<
0,即-2<
a<
2时,原不等式的解集为R.(3)(x-1)(x-a)<
0
当a>
1时,原不等式的解集为{x|1<
x<
a}当a<
1时,原不等式的解集为{x|a<
1}当a=1时,原不等式的解集为?
【总结升华】对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步:
①定:
对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向;
②求根:
求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时,要引入讨论,分类求解;
③定解:
根据根的情况写出不等式的解集;
当无法判断两根的大小时,引入讨论.举一反三:
【变式1】解关于x
的不等式:
)0(01)1(2?
axaax
【答案】原不等式化为0)1)((?
axax
①a=1或a=-1时,解集为?
②当0<
1或a<
-1
时,aa1?
,解集为:
1{|}xaxa?
③当a>
1或-1<
,解集为:
1{|}xxaa?
【变式2】解关于x的不等式:
223()0xaaxa?
(aR?
【答案】2232()0()()0xaaxaxaxa?
当a<0或a>1时,解集为2{|}xxaxa?
或;
当a=0时,解集为{|0}xx?
当0<a<1时,解集为2{|}xxaxa?
当a=1时,解集为{|1}xx?
【变式3】
(2015春房山区校级期中)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0。
【答案】
∵56x2+ax-a2<0,∴(7x+a)(8x-a)<0
,即[()]()078aaxx?
。
①当a=0
时,78aa?
,不等式化为x2<0,解得x∈?
②当a>0
,不等式解集为{|}78aaxx?
当a<0
,不等式解集为{|}87aaxa?
例3.解关于x的不等式:
ax2-(a+1)x+1<0.【解析】若a=0,原不等式?
-x+1<0?
x>1;
若a<0,原不等式
211
(1)0xxaa?
11()
(1)0xxxaa?
或x>1;
若a>0,原不等式
2111
(1)0()
(1)0xxxxaaa?
其解的情况应由1a与1的大小关系决定,故
(1)当a=1时,原不等式?
x?
(2)当a>1时,原不等式
11xa?
(3)当0<a<1时,原不等式
综上所述:
,解集为1{|1}xxxa?
当a=0时,解集为{x|x>1};
当0<a<1
时,解集为1{|1}xxa?
当a=1时,解集为?
当a>1
.【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有字母系数的不等式,要注意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要“不重不漏”.
【变式1】解关于x的不等式:
(ax-1)(x-2)≥0;
【答案】当a=0时,x∈(-?
2].
当a≠0时,方程(ax-1)(x-2)=0
两根为2,121?
xax
①当a>
0时,
若210?
aa,,
即210?
a
时,),1[]2,(?
ax?
若210=,aa?
即21?
a时,x∈R;
aa,,即21?
时,),2[]1,(?
ax.
②当a<
时,则有:
21?
a,∴]21[,ax?
ax2+2x-1<
【答案】当a=0
时,)21,(?
x.当a≠0时,Δ=4+4a=4(a+1),
①a>
0时,则Δ>
,)11,11(aaaax?
②a<
若a<
0,△<
0,即a<
-1时,x∈R;
0,△=0,即a=-1时,x∈R且x≠1;
0,△>
0,即-1<
0时,
),11()11,(?
aaaax.【高清课堂:
一元二次不等式及其解法387159题型二含参数的一元二次不等式的解法】
【变式3】求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
当a>0
时,不等式的解集为{|-}43aaxxx?
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为{|-}34aaxxx?
或.
类型三:
一元二次不等式的逆向运用
例4.不等式20xmxn?
的解集为(4,5)x?
,求关于x的不等式210nxmx?
的解集.【思路点拨】
由二次不等式的解集为(4,5)可知:
4、5是方程20xmxn?
的二根,故由韦达定理可求出m、n的值,从而解得.
【解析】由题意可知方程20xmxn?
的两根为4x?
和5x?
由韦达定理有45m?
,45n?
∴9m?
,20n?
∴210nxmx?
化为220910xx?
,即220910xx?
(41)(51)0xx?
,解得1145x?
故不等式210nxmx?
的解集为11(,)45?
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键.
【变式1】
(2015浙江校级模拟)设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<
0(a∈R)的解集为{x|-1<
1},则a的值是()
A.-2B.-1C.0D.1
【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<
1},
∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1,
∴11xa?
或x=-1,即a的值是1,故选D。
【变式2】已知220axxc?
的解为1132x?
试求a、c,并解不等式220cxxa?
【答案】由韦达定理有:
11232a?
,1132ca?
,∴12a?
2c?
∴代入不等式220cxxa?
得222120xx?
即260xx?
,(3)
(2)0xx?
,解得23x?
故不等式220cxxa?
的解集为:
(2,3)?
【变式3】已知关于x的不等式20xaxb?
的解集为(1,2),求关于x的不等式210bxax?
【答案】由韦达定理有:
1212ab?
,解得32ab?
代入不等式210bxax?
得
22310xx?
,即(21)
(1)0xx?
,解得12x?
或1x?
.∴210bxax?
的解集为:
1(,)(1,)2?
类型四:
不等式的恒成立问题
一元二次不等式及其解法387159题型三不等式恒成立的问题】
例5.已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立,
求实数a的取值范围.
不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0对一切实数恒成立,
显然a=-2时,解集不是R,因此a≠-2,
从而有220,44
(2)
(1)0.aaa?
整理,得2,
(2)(3)0.aaa?
解得a>2.
故a的取值范围是(2,+∞).
【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论.举一反三:
【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>
0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
(1)当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5
若m=1,则不等式化为3>
0,对一切实数x成立,符合题意.
若m=-5,则不等式为24x+3>
0,不满足对一切实数x均成立,所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时,
由此一元二次不等式的解集为R知,抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上,且与x轴无交点,
所以?
0)5m4m(12)1m(1605m4m222,
即?
19m15m1m或,∴1<
m<
19.
综上所述,实数m的取值范围是{m|1≤m<
19}.