等比数列高三一轮复习教案.docx

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等比数列高三一轮复习教案

3.3等比数列

【考点及要求】

等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项.

理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.

等比数列的定义、通项公式、前n项和公式是解决等比数列的有关计算、论证,等比数列的有关性质的基础和出发点,这类问题往往解法灵活、多变,是高考试题的生长点,选择题、填空题和解答题都可能出现.

【要点回放】

等比数列

1.定义：

（常数为公比）（注意隐含条件:

）

2.通项公式：

推广:

3.等比中项：

如果在与间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项，..

4.前项和公式：

（易错点:

不分类讨论）

注意:

应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.

5.等比数列的一些常用性质

（1）对于任意正整数，如果，则有；如果，则有

（2）对于任意正整数有

（3）对于任意非零实数，数列是等比数列，则数列是等比数列

（4）已知数列是等比数列，则也是等比数列。

⑸下标成等差数列的项构成等比数列

⑹连续若干项的和也构成等比数列.

6．证明数列为等比数列的方法:

（1）定义法:

若

（2）等比中项法:

若

（3）通项法:

若

（4）前n项和法:

若

7．解决等比数列有关问题的常见思维方法

（1）方程的思想（“知三求二”问题）

（2）分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对讨论

②

（）

【基础训练】

1.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（C）

（A）33（B）72（C）84（D）189

2.已知等比数列中，，，则该数列的通项公式

3.命题甲:

成等比数列，命题乙:

成等差数列，则甲是乙的必要不充分条件。

（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

4.（04年上海卷.文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是

第①④组.（写出所有符合要求的组号）①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.其中n为大于1的整数,Sn为{an}的前n项和.

5.（05重庆卷）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（C）

（A）4；（B）5；（C）6；（D）7.

6.设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：

（1）若既是等差数列又是等比数列，则；

（2）若，则是等差数列；

（3）若，则是等比数列.

这些命题中，真命题的序号是⑴⑵⑶.

【例题讲练】

题型Ⅰ等比数列中基本量的计算

例1:

数列为等比数列,求下列各值,

（1）已知

（2）

（3）

思维分析:

运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题

解

（1）

（2）

（3）

变式1.设一个等比数列的首项为a（a>0）,公比为q（q>0）,其前n项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n项和是6560,求a和q.

思维分析:

运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想,

解:

若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,

于是

变式2.设等比数列的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.

答案:

变式3.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.

剖析：

利用等比数列的基本量a1，q，根据条件求出a1和q.

解：

设{an}的公比为q，由题意知

解得或∴an=2n－1或an=23－n.

评述：

转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.

例2.已知等比数列的公比为前n项和为,且成等差数列.

⑴求的值；⑵求证:

成等差数列.（答案:

=）

题型Ⅱ等比数列的判定和证明

例1.（04全国）数列的前n项和记为Sn，已知证明：

（Ⅰ）数列是等比数列；（Ⅱ）

证明：

（Ⅰ）∵

∴整理得

所以故是以2为公比的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知于是

又故

因此对于任意正整数都有

评注:

换元法体会肤浅,函数观点应用不当均会造成失误.

例2.已知数列,Sn是它的前n项和,且

（1）设,求证:

数列是等比数列

（2）设,,求证:

数列是等差数列

思维分析:

证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和Sn已知可求an

解:

（1）

由此可得是等比数列

且首项

（2）

可知是首项的等差数列,

变式1:

数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,①写出的前5项②证明是等比数列

思维分析:

容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.

解

（1）的前5项为:

8、32、128、512、2048

（2）设

变式2.已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：

a，a，…，a，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.

剖析：

运用等差（比）数列的定义分别求得a，然后列方程求得kn.

解：

设｛an｝的首项为a1，∵a、a、a成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.

得a1＝2d，q＝＝3.

∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a1·3n－1，

∴kn＝2·3n－1－1.

∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n

＝2×－n＝3n－n－1.

评述：

运用等差（比）数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：

a是等差数列中的第kn项，而又是等比数列中的第n项（双重身份）.

变式3.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.

剖析：

由等比中项、等差中项的性质得an+1=递推出an=（n≥2）.

解：

∵5，5，5成等比数列，

∴（5）2=5·5，即2bn=an+an+1.①

又∵lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，

∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bn·bn+1.②

由②及ai＞0，bj＞0（i、j∈N*）可得

an+1=.③

∴an=（n≥2）.④

将③④代入①可得2bn=+（n≥2），

∴2=+（n≥2）.

∴数列{}为等差数列.

∵b1=2，a2=3，a22=b1·b2，∴b2=.

∴=+（n－1）（－）=（n+1）（n=1也成立）.

∴bn=.∴an===（n≥2）.

又当n=1时，a1=1也成立.∴an=.

变式4.设二次方程有两根,且满足①试用表示②求证:

是等比数列;

③当时,求数列的通项

总结:

要证一个数列是等比数列,可求得其通项公式,从而判定其是等比数列.，但要证明不是等比（等差）数列只要举出反例。

题型Ⅲ等比数列的性质应用题型

例:

解下列各题：

（1）{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=A.

A、5B、10C、15D、20

（2）若{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，则log3a1+log3a2+…+log3a10=20.

（3）等比数列{an}的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为C.

A、72B、73C、74D、88

（4）已知正项等比数列{an}，前n项的和为Sn，若S3=6，a7+a8+a9=24，那么

S99=6（233-1）.

题型Ⅳ等比数列的实际应用

例:

甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:

若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时,由对方接着掷.第一次由甲开始掷.

⑴若第n次由甲掷的概率为,求；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.

（答案:

⑴=⑵.关键是找出相邻两项之间的关系）

题型Ⅴ等比数列的综合问题

例:

如图,△OBC的三个顶点坐标分别为,设线段BC的中点,为线段的中点,为线段的中点,对于每一个正整数n,为线段的中点,令,

⑴求及；⑵求证:

；

⑶若记,证明:

是等比数列.

（答案:

⑴=2）

变题:

（湖南04）如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列

（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）比较的大小.

（Ⅰ）证明：

设点Pn的坐标是，由已知条件得

点Qn、Pn+1的坐标分别是：

由Pn+1在直线l1上，得

所以即

（Ⅱ）解：

由题设知又由（Ⅰ）知，

所以数列是首项为公比为的等比数列.

从而

（Ⅲ）解：

由得点P的坐标为（1，1）.

所以

（i）当时，>1+9=10.

而此时

（ii）当时，<1+9=10.

而此时

【方法总结】

1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；

2．使用等比数列前项和公式时，必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；

3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．

4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．

【作业反馈】

1.（湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为-2.

2.（全国卷II）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216__．

3.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（C）

（A）33（B）72（C）84（D）189

4．（20XX年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

5．（06京）设，则等于（D）

（A）（B）

（C）（D）

6．（06上）已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；

（3）若

（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．

7．（06陕）已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

解:

∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.

又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②

由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,即（an+an－1）（an－an－1－5）=0

∵an+an－1>0,∴an－an－1=5（n≥2）.

当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.

8.（06山东）已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（