勾股定理种证明方法Word格式.docx
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Rt△DAH坐Rt△ABE,/HDA=/EAB
/HAD+/HAD=90o,
/EAB+/HAD=90o,
ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
EF=FG=GH=HE=b—a,
/HEF=90o.
曰一个边长为b—a的正方形，它的面积等于ba
ba2c2
•••EFGH疋
1
4ab
•2
2
c.
（1876年美国总统Garfield证明）
a2b2
【证法4】
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
vRt△EAD坐Rt△CBE,
•/ADE=/BEC
v/AED+/ADE=90o,
•/AED+/BEC=90o.
•/DEC=180o—90o=90o.
•△DEC是一个等腰直角三角形，
12
c
它的面积等于2.
又v/DAE=90o,/EBC=90o,
•AD//BC
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2
1a
•2
•a2
a、b，斜边长为c.把它过C作AC的延长线交DF于
【证法
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为们拼成如图那样的一个多边形，使DE、F在一条直线上.点P
八、、■・
vD、E、F在一条直线上，且Rt△GEF幻Rt△EBD,
•/EGF=/BED
v/EGF+/GEF=90°
•/BED+/GEF=90°
•/BEG=180—90o=90o.
-AB=BE=EG=GA=c,G
•ABEG是一个边长为c的正方形.
•/ABC+/CBE=90o.
-Rt△ABC幻Rt△EBD,
abHa
/ABC=/EBD
•/EBD+/CBE=90o.
即/CBD=90o
又v/BDE=90o,ZBCP=90o,
BC=BD=a.
•••BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则
c2S
2ab
2,b2c2.
（项明达证明）
•a2
【证法6】
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，直线上.E
过点Q作QP//BC交AC于点P.
过点B作BMLPQ垂足为M；
再过点
F作FNLPQ垂足为N
v/BCA=90o,QP//BC
•/MPC=90o,
vBM丄PQ
•/BMP=90o,
•BCPM是一个矩形，即/MBC=9（
v/QBM+/MBA=/QBA=90o,
/ABC+/MBA=/MBC=90o,
•/QBM=/ABC
又v/BMP=90o,/BCA=90o,BQ=BA=c,
•Rt△BMQ坐Rt△BCA
同理可证Rt△QNF坐Rt△AEF
从而将问题转化为【证法4】
（梅文鼎证明）.
【证法7】
（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、在一条直线上，连结BFCD过C作CLLDE交AB于点M交DE于点
L.
vAF=AC,AB=AD,
/FAB=/GAD
•△FAB坐△GAD
a
v△FAB的面积等于2
△GAD勺面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
•矩形ADLM勺面积二a
同理可证，矩形MLEE的面积
v正方形ADEB勺面积
A
P
b
ba
a、b（b>
a）使E、A、
的正方形，把它们拼成如图所示形状，使
C
，斜边长为C三点在一条
=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB的面积
.c2a2b2，即a2b2c2.
【证法8】
（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边AGBC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过
点C作CDLAB垂足是D在AADC和AACB中,
v/ADC=/ACB=90o,/CAD=/BAC
•••AADCsAACB
AD：
AC=AC:
AB,即AC2AD?
AB.
同理可证，ACDBsAACB从而有BC2BD?
AB.AC2BC2ADDB?
ABAB2，即a2b2c2.
a、b（b>
a）,斜边长为c.过A作AF丄ACAF交GT
【证法9］（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形
于F,AF交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E,DE交AF于H
v/BAD=90o,ZPAC=90o,
•/DAH=/BAC
又v/DHA=90o,/BCA=90o,AD=AB=c,
•RtADHA坐RtABCA
•DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知，PBCA是一个矩形,所以RtAAPB坐RtABCA即PB=CA=b,AP=a,从而PH=b—a.
vRtADGT坐RtABCA,RtADHA坐RtABCA
•RtADGT坐RtADHA.
•DH=DG=a,/GDT=/HDA.又v/DGT=90o,/DHF=90o,
/GDH=/GDT+/TDH=/HDA+/TDH=90o,
•DGFH是一个边长为a的正方形.
•GF=FH=a.TF丄AF,TF=GT—GF=b—a.
•TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP=b,高FP=a+（b—a）
用数字表示面积的编号（如图）
SiS2S3S4S5
则以c为边长的正方形的面积为
①
S8
S3
S4-b
b2-ab
S3S4b—abb2s
2=bSl
把②代入①，得
=b2S2S9=b2a2.
.a2b2c2.
【证法10】
（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>
a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使AE、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
v/TBE=/ABH=90o,
./TBH=/ABE又v/BTH=/BEA=90o,
BT=BE=b,
.Rt△HBT坐Rt△ABE
.HT=AE=a.
.GH=GT—HT=b—a.
又v/GHF+/BHT=90o,
/DBC+/BHT=/TBH+
vDB=EB—ED=b—a,
/HGF=/BDC=90o,
.Rt△HGF坐Rt△BDC即S7S2.
过Q作QMLAG垂足是M由/BAQ=/BEA=90o，可知/ABE=/QAM而AB=AQ=c，所以Rt△ABE幻Rt△QAM.又Rt△HBT幻
Rt△ABE所以Rt△HBT幻Rt△QAM.即S8S5.
由Rt△ABE坐Rt△QAM又得QM=AE=a，/AQM=/BAE
v/AQM+/FQM=90q/BAE+/CAR=90o,ZAQM=/BAE./FQM=/CAR
又v/QMF=/ARC=90o,QM=AR=a,
.Rt△QM
］皆
Rt△ARC即S4S6.
--c2
S1
S2
S3S4S5aS1S6
bS3S7S8
又vS7
S5S4S6
.Ia
b2
S6S3S7S8
=S1
_2
S4S3S2S5
即a2
=c
c2.
11】
（利
1用切割线定理证明）
在Rt△
ABC中,
设直角边BC=a,AC=
=b,斜边AB=c.
如图，以B为圆心a为半
径作圆，交AB及AB的延长线分别于DE,贝SBD=BE=BC=a.因为/BCA=90o,点C在。
B上，所以ACM©
B的切线.由切割线定理，得
.过点A作AD//CB
过点B作BD//CA则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
/.a2b2c2.
【证法13】
（作直角三角形的内切圆证明）
在Rt△ABC中，设直角边BC=a,AC=b，斜边AB=c.作Rt△ABC的内切圆©
O,切点分别为DE、F（如图），设©
O的半径为r.
vAE=AF,BF=BD,CD=CE,
-4rrc4Sabc
••>
-4r2rc2ab
a2b22ab2abc2/.a2b2c2
>
・
【证法14】
（利用反证法证明）
如图，在Rt△ABC中，设直角边ACBC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB垂足是D
BC「AB2，则由
BD=AB?
ADAB?
BD
AB?
BD.即AD:
AOACAB或者BD:
BOBCAB
假设a2b2c2，即假设AC2
AB2AB?
AB二ABAD
可知AC2AB?
AD，或者BC2在厶ADCF"
ACB中,
vZA=ZA,
.若AD:
AOAGAB」
ZADC^ZACB在厶CDBF"
vZB=ZB,
.若BDBC^BCAB,贝S
ZCDB^ZACB又vZACB=90o,
.ZAD字90o,ZCD字90o.
AC2BC2AB2的假设不能成立.
这与作法CD!
AB矛盾.所以，
【证法15】
（辛卜松证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD把正方形
ab2
a2
a、
H、M三点在一条直线上.用数字表
a），斜边的长为c.做两个边长分别为
E、
b的正方形（b>
a）,把它们拼成如图所示形状，使示面积的编号（如图）.
在EH=b上截取ED=a，连结DADC贝卩AD=c.
vEM=EH+HM=b+a,ED=a
.DM=EM—ED=ba—a=b.
又v/CMD=90oCM=a,/AED=90o,AE=b,
•Rt△AED坐Rt△DMC
•/EAD=/MDCDC=AD=c.
-/ADE+/ADC+ZMDC=180o
/ADE+ZMDC=ZADE+ZEAD=90o,
•ZADC=90o.
•作AB//DCCB//DA则ABCD^一个边长为c的正方形.
-ZBAF+ZFAD=ZDAE+ZFAD=90o,
•••/BAFNDAE
连结FB,在厶ABF和厶ADE中，
vAB=AD=c,AE=AF=b，/BAF玄DAE
•△ABF刍△ADE
•/AFB=/AED=90o,BF=DE=a.
•点B、F、G、H在一条直线上.
在Rt△ABF和Rt△BCG中,
vAB
=BC
=c
1
BF=
CG=
a，
•Rt
△AB
二g
Rt
△BCG.
vc
S4
S5，
S1S2S6，
aS3S7
S5
S6
S7，
•a
S7
S2S6
=S2
=c2
2b2
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