高考数学理科高考真题+模拟新题分类汇编C单元 三角函数.docx

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高考数学理科高考真题+模拟新题分类汇编C单元三角函数

数学

C单元　三角函数

C1角的概念及任意角的三角函数

6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（　　）

图11

　　　A　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　D

6．C　[解析]根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像．

C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

16．、、[2014·福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.

（1）若0<α<，且sinα＝，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

16．解：

方法一：

（1）因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.

所以f（α）＝×－

＝.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋－

＝sin2x＋cos2x

＝sin，

所以T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

方法二：

f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋－

＝sin2x＋cos2x

＝sin.

（1）因为0<α<，sinα＝，所以α＝，

从而f（α）＝sin＝sin＝.

（2）T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

17．，，[2014·重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f＝，求cos的值．

17．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，

所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

因为－≤φ＜，

所以φ＝－.

（2）由

（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝＝＝.

因此cos

＝sinα

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×

＝.

C3三角函数的图象与性质

9．[2014·辽宁卷]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（　　）

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

9．B　[解析]由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．

3．[2014·全国卷]设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（　　）

A．a>b>cB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

3．C　[解析]因为b＝cos55°＝sin35°>sin33°，所以b＞a.因为cos35°<1，所以>1，所以>sin35°.又c＝tan35°＝>sin35°，所以c>b，所以c>b>a.

6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（　　）

图11

　　　A　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　D

6．C　[解析]根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像．

14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．

14．1　[解析]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ＝sinx，故其最大值为1.

17．，，[2014·重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f＝，求cos的值．

17．解：

（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，

所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

因为－≤φ＜，

所以φ＝－.

（2）由

（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，

所以sin＝.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos＝＝＝.

因此cos

＝sinα

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×

＝.

C4　函数的图象与性质

3．[2014·四川卷]为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动1个单位长度

D．向右平行移动1个单位长度

3．A　[解析]因为y＝sin（2x＋1）＝sin2，所以为得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度．

11．[2014·安徽卷]若将函数f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

11.　[解析]方法一：

将f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>0时，φmin＝.

方法二：

由f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.

14．[2014·北京卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

14．π　[解析]结合图像得＝－，即T＝π.

16．、、[2014·福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.

（1）若0<α<，且sinα＝，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

16．解：

方法一：

（1）因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.

所以f（α）＝×－

＝.

（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋－

＝sin2x＋cos2x

＝sin，

所以T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

方法二：

f（x）＝sinxcosx＋cos2x－

＝sin2x＋－

＝sin2x＋cos2x

＝sin.

（1）因为0<α<，sinα＝，所以α＝，

从而f（α）＝sin＝sin＝.

（2）T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

7．、[2014·广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

7．D　[解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．

17．、、、[2014·湖北卷]某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24）．

（1）求实验室这一天的最大温差．

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

17．解：

（1）因为f（t）＝10－2＝10－2sin，

又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sin，

故有10－2sin>11，

即sin<－.

又0≤t<24，因此

即10

故在10时至18时实验室需要降温．

16．、[2014·江西卷]已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ），其中a∈R，θ∈.

（1）当a＝，θ＝时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．

16．解：

（1）f（x）＝sin＋cos＝

（sinx＋cosx）－sinx＝cosx－sinx＝sin.

因为x∈[0，π]，所以－x∈，

故f（x）在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.

（2）由得

又θ∈，知cosθ≠0，

所以

解得

12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

12．C　[解析]函数f（x）的极值点满足＝＋kπ，即x＝m，k∈Z，且极值为±，问题等价于存在k0使之满足不等式m2＋34，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．

16．，[2014·山东卷]已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·b，且y＝f（x）的图像过点和点.

（1）求m，n的值；

（2）将y＝f（x）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．

16．解：

（1）由题意知，f（x）＝＝msin2x＋ncos2x.

因为y＝f（x）的图像过点和点，

所以

即

解得m＝，n＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝sin2x＋cos2x