独立重复试验与二项分布理提高 优质学案.docx

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独立重复试验与二项分布理提高优质学案

独立重复试验与二项分布

【学习目标】

1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．

2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、n次独立重复试验

每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。

在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。

要点诠释：

在次独立重复试验中，一定要抓住四点：

①每次试验在同样的条件下进行；

②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；

③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；

④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

要点二、独立重复试验的概率公式

1.定义

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：

（k=0，1，2，…，n）．

令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为

令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。

要点诠释：

1.在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．

2.独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．

要点三、n次独立重复试验常见实例：

1.反复抛掷一枚均匀硬币

2.已知产品率的抽样

3.有放回的抽样

4.射手射击目标命中率已知的若干次射击

要点诠释：

抽样问题中的独立重复试验模型：

①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；

②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；

③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

要点四、离散型随机变量的二项分布

1.定义：

在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是

，（）．

于是得到离散型随机变量的概率分布如下：

ξ

0

1

…

k

…

n

P

…

…

由于表中第二行恰好是二项展开式

中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．

要点诠释：

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：

其一是独立性。

即每次试验的结果是相互独立的；

其二是重复性。

即试验独立重复地进行了n次；

其三是试验的结果的独特性。

即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。

2．如何求有关的二项分布

（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；

（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；

（3）用表格形式列出随机变量的分布列。

【典型例题】

类型一、独立重复试验的概率

例1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．

【解析】

（1）5次预报中恰有2次准确的概率为

．

（2）5次预报中至少有2次准确的概率为

．

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为

．

【总结升华】解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．

举一反三：

【变式1】甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：

（1）有5次获利的概率；

（2）6次都获利的概率；

（3）至少5次获利的概率．

【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且

，

．

（1）他5次获利的概率约等于0.39．

（2）他6次都获利的概率约等于0.26．

（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．

由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以

P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．

故他至少5次获利的概率约等于0.65．

【变式2】（2015春大庆校级期中）若随机变量，则p（ξ＜3）=________

【答案】

∵，

∴

故答案为：

【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？

停几次概率最大？

【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

设从低层到顶层停次，则其概率为，

∴当或时，最大，即最大，

答：

从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

例2．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．

（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？

（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？

【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．

（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．

（2）中用同样的方法分类．

【解析】

（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。

则

．

（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则

．

【总结升华】本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：

1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．

举一反三：

【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。

（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；

（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。

【答案】

（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：

①记事件A1=“甲连胜四局”，

所以甲打完四局就获胜的概率为：

；

②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，

所以甲打完五局才获胜的概率为：

；

③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，

所以甲打完六局才获胜的概率为：

；

④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，

所以甲打完七局才获胜的概率为：

。

（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，

故离散型随机变量X的分布列为

X

4

5

6

7

P

类型二、离散型随机变量的二项分布

例3.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。

【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。

【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则

（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。

因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为

的分布列为

3

4

5

6

P

【总结升华】

①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。

②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。

举一反三：

【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

【答案】依题意，随机变量ξ～B（2，5%）．所以，

P（ξ=0）=（95%）=0.9025，P（ξ=1）=（5%）（95%）=0.095，

P（）=（5%）=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

ξ

0

1

2

P

0.9025

0.095

0.0025

【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。

（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

解：

（1）B（5,），ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4，5；

（2）η的分布列为P（η=k）=p（前k个是绿灯，第k+1个是红灯）=，k=0，1，2，3，4；P（η=5）=P（5个均为绿灯）=；

（3）所求概率=P（ξ≥1）=1－P（ξ=0）=1－≈0.8683.

【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．

【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．

∴X的分布列为

（k=10，11，…），

（表格略）

．

【变式4】某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．

【答案】

错解：

X的可能取值是1，2，3，4．

P（X=1）=0.8；；

；

．

所以X的概率分布列为

X

1

2

3

4

P

0.8

0.32

0.096

0.0256

错解分析：

错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．

正解X的可能取值是1，2，3，4．

P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；

P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．

所以X的概率分布列为

X

1

2

3

4

P

0.8

0.16

0.032

0.008

类型三、独立重复试验与二项分布综合应用

例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:

乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

【思路点拨】

本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是