概率论与数理统计第三版课后答案习题1文档格式.docx
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BB
且
C
o
（AB）（A
A（AB）
ABAB
5.设
a,
b,c
是三事件，且
p（A）=P（B）
=P（C）
P（AB）P（BC）0,P（AC）
1
8,求a,
b,
少有一个发生的概率。
解•/ABCAB•••0厶P（ABC）厶P（AB）=O，故p（ABC）=O
•••所求概率为
P（A
C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
1110100
4428
6.从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构
成一个三位数。
试求下列事件的概率:
（2）三位
（1）三位数是奇数;
数为5的倍数;
（3）三位数为3的倍数;
（4）三位
数小于350。
解设A表示事件“三位数是奇数”，B表示事件
“三位数为5的倍数”，
C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事
件“三位数小于350”。
基本事件总数为
2
VdA42
Va
A：
3,
P（A）
Vb
Vc
1,
P（B）
3!
a23
36
60
a21
12
43!
24
A；
必P（D）「
0.6
0.2
0.4
330.55
7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人
随意将这些油漆发给顾客。
问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少
解随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有
C；
7种交货方式。
其中符合定货要求的有C：
0•C3•C3
种，故所求概率为
252
2431
C4C3C2
——
C17
8.在1700个产品中有500个次品、1200个正品。
任取200个。
（1）求恰有90个次品的概率；
（2）求至少有2个次品的概率。
解
（1）试验E为1700个产品中任取200个，共
200
有C1700种取法，其中恰有90个次品的取法为
90110
C500•C1200,故恰有90个次品的概率为
厂90「110
C500C1200
C200
C1700
（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1
个次品，C表示没有次品，则A=S-（BUC），且BC邛，B
P（A）=P[S-（B
C）]=P（S）-[P（B）+P（C）]
1199200
1C500C1200C12001C200
9.把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。
解VQ=Pi0=10!
设所论事件为A,则
10.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少
解也=C4io,设A表示事件“4只鞋中至少有2只
考虑取4只鞋的次序，所以被4!
除）。
10864
3的概率。
鸡蛋的最大个数分别为1,2，
解依题意知样本点总数为53个。
以A（i=1,2,3）表示事件“杯子中鸡蛋的最大个
八3
数为i”则A表示每杯最多放一只鸡蛋，共有A5种放
法，故
C3C5C4种
P（A3）c
5
25
12•把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解设所论事件为A,线段a被分成的三段长
度分别用X,y和a-x-y表示，则样本空间Q为：
0<
x
L（）
<
a,0vy<
a,0vx+y<
a,其面积为有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即
a.
a
2,
13.甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船
的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。
若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小
时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。
解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y,则Q为：
0wxw24,0wyw24,^
L（Q）=242，设所论事件为A则有利于A的情形分别为:
（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上,
（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上,
即x-y>
2或ywx-2;
122
-（232222）
220.879
242。
11
4，p（b|a）3，p（Ab）
43
求P（B）,P（AB）。
解由乘法公式知
P（AB）P（B|A）P（A）11—
3412
P（AB）P（A|B）P（B）
1/12
P（B）證
P（AB）P（A）P（B）P（AB）
123
1/2
的概率。
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）
一只是正品，一只是次品;
（4）第二次取出的是次品。
品“，因为不放回抽样,
16.在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检
查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0.95,认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件
解设Ai表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”
故这组钢筋不能用于做构件。
17.某人忘记了密码锁的最后-个数字,
他随意地
拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。
若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少
解设以a表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3）,
a表示“不超过三次打开”，则有
aaA1A2A1A2a3
易知：
A1,A1A2,A1A2A3是互不相容的。
P（AA2）P（AAA3）
P（A）P（AiAA2A1A2A3）P（A）
P（Ai）P（Ai）P（A2|Ai）P（Ai）P（A2|Ai）P（A3）|AA2）
丄？
1281
10109109810
同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是
P1414313
5545435
18.袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。
8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。
问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少个。
解设以A（i=1,2,…8）表示事件“第i个人取到的是红球”。
则P（A1）
又因A=AiA2AiA2，由概率的全概公式得
P（A2）P（A1A2）P（A1A2）
62212
87874
类似地有
P（Ai）p（A2|Ai）
P（Ai）
P（A2|Ai）
8）
P（Ai）-（i34
4
19.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少
解设A,B分别表示取出的第一件和第二件为正
品，则所求概率为
500#的概率为0.9,达到600#的概率为，现取一水泥
块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。
解设A表示事件"
水泥达到500#”,B表示事件
“水泥达到600#”。
则P（A）=,P（B）=,又BA,即P（AB）=所
P（Ba）P（AB）/P（A）0.3/0.913。
21.以A,B分别表示某城市的甲、乙两个区在某
一年内出现的停水事件，据记载知
P（A）
=,P（B）=，并知条件概率为P（AB）
=，试求:
两个区至少有一个区发生停水事件的概率。
（2）所求概率为
只红球；
乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取-只球。
问取到白球的概率是多少
P（A2|Ai）
p（A2iA）p（A）
Nm
NM1mn
P（A2）P（A2|ai）P（A）
N1n
NM1nm
mNn（N1）
（NM1）（nm）
23.盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。
第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。
第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。
解设Bi（i
o,1,2,3）表示事件“第一次比赛时用
了i个新球”，用
A表示事件“第二次比赛时取出的球
都是新球”。
则有
c9c3i
Cgi
P（Bi）
'
33，P（ABi）
亠3
C12
C12。
由全
概公
式
有
作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2:
l•若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少
解设事件H表示原发信息为AC表示收到信息为A,则H表示原发信息是B。
H,H是S的一个划分。
依题意有
0.01
—1—P（H）—,P（H）—,P（C|H）0.98,P（C|H）
33
由贝叶斯公式有
25•甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：
甲组是，乙组是，丙组是，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任
取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。
解设A1,A2,A3分别表示事件“零件是甲、乙、
丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”
取一只，作不放回抽样。
试求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解设事件A表示“取到第一箱”，则A表示“取到第二箱”，B1,B2分别表示第一、二次取到一等品。
（1）依题意有:
-1P（A）P（A）2,
P（Bi1A）
10
50
由全概率公式
P（Bi|A）
18
30
P（Bi）P（B1IA）P（A）P（B|A）P（A）
1312
P（B1B2|A）
5252
109
49
P（B1B2|A）
1817
3029
P（B1B2）P（B1B2IA）P（A）P（B1B2IA）P（A）
549
3171
5292
P（B1B2）
P（B2|B1）-PBT-
31712
—/—
52925
0.4856
27.设有四张卡片分别标以数字
1,2，3.4.今
任取一张.设事件A为取到4或2,
事件B为取到4或
3,事件C为取到4或1，试验证
P（AB=P（A）P（B）,P（BC）=P（B）P（C）,
P（CA）
=p（C）p（A〕，
（ABCP〔A〕P（B）P（C）。
样本空间中有4个样本点，而A
中均含有2个样本点，故
P（AC）=P（A）P（C）
P（BC）=P（B）P（C）
又ABC中有
1个样本点取到4
P（ABC）1
1P（A）P（B）
P（C）
P：
AB1）P（B2|A）
28.假设Bi,B2关于条件A与A都相互独立，求
P（ABiB2）P：
AB1）P（B2|A）P（A|B1）P：
B2A）
证由B1,B2关于条件A与A是相互独立的，故
P（B1B2A）P（B1A）P（B2A）,P（B1B2A）P（B1A）P（B2A）
，以及
P（A）P（BiA）P（ABi）P（Bi）P（ABi）
P（A）P（Bi|A）P（B2IA）
从而
P（ABiB2）P（A）P（Bi|A）P（B2|A）P（A）P（BiA）P（B2A）P（B）P（ABi）P（B2|A）
P（Bi）P（ABi）P（B2A）P（Bi）P（ABi）P（B2a）
P（ABi）P（B2A）
P（AB1）P（B2IA）P（A|B1）P（B2A）
29.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠
性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的
概率）是多少如果需要有一个可靠性至少为0.9999的
系统，则至少需要用多少只开关并联这里设各开关闭合
与否都是相互独立的。
解设n只开关并联，以Ai表示事件“在C发生
时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸A相互独立,
且P（Ai）=，从而知，当n=2时，系统的可靠性为
p（AA2）1p（A^A2）
1（10.96）2
又若使系统可靠性至少为，则必须
P（A1）p（A2）
0.9984
n
P（Ai）
i1
nn
P（Ai）1P（
i1i1
Ai）1[P（A）]n1（0.04）n
3999）2.86
Ig0.04
故至少需用
3只开关才能使系统的可靠性至少为。
30.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中
的概率分别为，，飞机被一人击中而被击落的概率为,被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
解设A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机,
Bi（i0,1,2,3）表示有i个人击中飞机，H表示飞机被
击落。
则A、A2、A独立，且
B0A1A2A3,
B2A1A2A3
B1a1a2a3AA2A5A1a2a3
B3A1A2A3
A1AA3
AlA2A3,
于是P（Bo）
（10.4）（1
0.5）（10.7）
0.09
P（Bi）0.40.5
0.3
0.5
0.30.6
0.50.7
0.36
P（B2）0.40.5
0.70.6
0.41
P（B3）
0.7
0.14
依题意有:
P（HB0）0,P（HB1）
02P（HB2）0.6,P（HB3）
于是，由全概公式有
P（H）0.090
0.360.20.410.60.141
0.458
31.在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋
中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。
试求恰有
3次取到非白球的概率。
解由题设知，取一个非白球的概率P=11/17，于
b（3;
5,11/17）C53（11/17）3（6/17）20.3375。
若视11/170.65，则可查表得
5,11/17）b（3;
5,0.65）0.3364。
32．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为，求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。
解设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”,则A的概率为p=,q=。
考察三个灯泡可视为n=3的贝努利试验，于是所求概率为
3302232
PC33p3q0C32p2q（0.2）33（0.2）20.80.104
33．某地区一年内发生洪水的概率为，如果每年发生洪水是相互独立的，试求：
1）洪水十年一遇的概率；
2）至少要多少年才能以99%以上的概
率保证至少有一年发生洪水。
遇”，则
P（A）C110p（1
9
p）910
0.2（0.8）90.2684
2）由题设，
（0.8）0.99成立，
解此不等式得n
21，
即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少
有一年发生洪水。
34．在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为%。
某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：
1）产生断桩的概率是多少2）甲组断两根的概率是多少
解设A表示事件“所打桩是甲组的”，B表示事
件“所打桩是乙组的”，C表示事件“在打桩施工
中产生断桩”。
P（CA）0.03,P（CB）0.012,P（A）5/15,P（B）10/15
（1）由全
P（C）P（A）P（CA）
P（B）P（CB）0.018
（2）是
利概型，这里
P（CA）
O.gn5，于是所求概率
PC5P
2“\3
（1P）
10（0.3）2（0.97）30.0082
n1,
n0.
35.某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为
ap
Pn1_aP_
1P
0P1,0a1P
公鸡和一只母鸡是等可能的，求证：
一天孵出k只母鸡的
2aPk
概率（2p）,又已知一天已孵出母鸡
，问还能孵出
一只公鸡的概率是多少
证设Ak是表示事件“一天中孵出
k只母鸡”，Bn
是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，
则Bn是互不相容事件，且
P（Bn）Pn
P（AkBn）
Cnk
（2）n
P（Ak）
P（Bn）P（AkBn）
n—k.1,nnkaPCn
（1）
a
（2）
n!
P、nk
k!
（k）
a
（1）k
2k!
（1x）
2apk
k1
（2P）
（2）某天已孵出一只母鸡，即
A发生，在此条件
下还孵出一只公鸡，即B2发生，因此所求概率为
P（B2Ai）
p（A|B2）p（B2）
C1/1\22
叫）aPP（2P）2
2ap4
（2P）2
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