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对数中真数的乘、除、乘方运算,可以转化为对数的加、减、乘法运算.当然,对于这一特征的理解,还是要结合指、对数的关系进行:

在指数式中,真数即为幂,对数即为指数,指数幂运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”,“指数相加”即为“对数相加”.

  数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数和自然对数.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础,利用此公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数,从而方便地求出这些对数.

  因此,本节课的教学重点是:

以“指数与对数的关系”为指引,学习和应用对数的运算性质以及换底公式.

  二、目标与目标解析

  1.目标:

  

(1)经历对数运算性质的形成过程,理解对数的运算性质,体会对数运算的降级特征;

  

(2)经历换底公式的形成过程,理解换底公式,体会换底公式在对数求值中的作用;

  (3)可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题,发展数学运算核心素养.

  2.目标解析:

  

(1)学生知道对数的运算与指数幂运算的关系,能在明晰指数幂的运算性质的基础上推导得出对数的运算性质,在应用的过程中结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征,理解数学家发明对数的初衷;

  

(2)学生能指出换底公式的作用,能推导得出换底公式;

  (3)学生会用对数的运算性质解决问题,能进行对数间的化简、运算,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.

  三、教学问题诊断分析

  本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导,学生对于对数的运算性质的困惑主要在于对于对数概念的不熟悉,为了解决此问题,还是要紧扣指、对数之间的关系,结合指数幂的运算性质进行学习.在三个运算性质中,教师可以引导第一个性质的推导,其余的性质由学生仿照得出,在推导的过程中,可以将指数幂和对数的运算性质对照列出,以便学生理解.

  第二个学习难点是对数的换底公式的推导,教科书为此设计了一组探究活动.教学时,可以充分利用这组探究活动,使得学生逐步感受提出换底公式的必要性,经历由特殊到一般的过程推导得出换底公式.

  四、教学过程设计

  

(一)探索对数的运算性质

  引导语:

研究数的基本套路应该是,先认识数,规定运算,然后研究性质以简化运算.

  问题1:

在引入对数之后,自然应研究对数的运算性质,我们已经知道了对数与指数间的关系,能否利用指数运算性质得出相应的对数运算性质呢?

  师生活动:

教师引导学生回忆指数运算性质以及指、对数的关系,学生初步感受对数运算与指数运算的联系.

  追问1:

利用对数与指数的关系,你能将指数幂的运算性质“

”中所有指数式转化为对数式吗?

看一看它们之间有什么关系,由此可得关于对数的什么关系?

先由学生尝试解决,然后进行展示,教师帮助或者由教师进行推导.

  追问2:

仿照上面的推导过程,对照指数幂另外两个运算性质,你能得出对数运算的其他性质吗?

请加以证明.

学生独立完成,集中进行展示、修改.

  指数幂的运算性质有:

现将各式化为对数形式可得:

  于是得到对数运算性质:

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么

  设计意图:

类比指数幂的运算性质得出对数的运算性质,培养学生从已有知识获得研究新知识的思路与方法的能力.

  

(二)性质的初步应用

  例1求下列各式的值:

  追问:

根据题目中运算对象的特点,应该选择哪条运算性质作为依据?

观察题目中运算对象的特点,

(1)题应该选择第3条性质,

(2)题应选择第

(1)个性质,之后根据化简的情况再进行选择.

  例2

类比例1,本题可以依据对数运算的哪些性质?

观察目标式,应该先选用对数运算的第2条性质,之后再选择第1条,最后选择第3条进行化简.

  (三)探索对数换底公式

  问题2:

根据对数的定义,你能用

(a>

0,且a≠1;

b>

0;

c>

0,且c≠1)吗?

学生独立思考,存在困难.

根据对数的定义,你能利用ln2,ln3表示

吗?

首先应该对哪个数进行变形?

变形的方向是什么?

学生尝试先对

进行转换,教师加以指导.

如果我们通过查表或者利用计算工具得知ln2,ln3的值,能否求得

的近似值呢?

学生借助以上关系进行求解.

  追问3:

现在,你能类比上述过程完成问题2了吗?

请你试一试.

学生仿照追问1中的变换过程由特殊到一般进行推导.

  我们把上式叫做对数换底公式.

  教师讲解:

数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.这样,如果能将其他底的对数转化为以10或e为底的对数,就能方便地求出这些对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意底的对数.

  追问4:

在4.2.1的问题1中,求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,就是计算x=log1.112的值,现在你可以通过哪些方式求得最后的结果?

学生独立思考得出解决办法,集中展示.教师提示学生设法利用刚获得的公式.

  可以借助计算器求解;

也可以借助对数换底公式将原对数换为常用对数或者自然对数,通过查表求解.例如

,由此可得,大约经过7年,B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.

借助对数的定义,在指、对数式互化的过程中由特殊到一般推导对数换底公式,同时使学生感受换底公式在对数求值中的作用.

  例3 

尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:

焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?

本题的求解对象是什么?

如何将此对象与已知条件建立关系?

本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即E的比值,条件中的E存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式.

  解:

设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.

  虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级,但前者释放出来的能量却约是后者的32倍.

  (四)归纳小结

  问题3:

回顾本节课的内容,回答下列问题:

  

(1)对数有哪些运算性质?

它们和指数幂的运算性质有什么联系?

  

(2)什么是对数的换底公式,它有什么作用?

  (3)指、对数之间有何关系?

利用这种关系可以帮助我们解决什么问题?

学生总结,教师完善。

  

(1)对数有三条运算性质,它们分别对应于指数幂的三条运算性质;

  

(2)式子

0,且c≠1)称为换底公式.利用它可将任意对数化为常用对数、自然对数以及需要的对数;

  (3)指、对数是等价的,指、对数式之间可以相互转化,利用这种关系可以结合指数幂的结论研究对数的相关结论.

引导学生对所学知识进行梳理,通过回顾知识的形成过程归纳运算性质的学习思想和方法,培养学生从已有知识中发现和验证新知识的能力.

  (五)目标检测设计

  证明:

检验学生对于对数换底公式的掌握情况.

  五、布置作业

  习题4.3第3,4,5,6,7题.

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