全国高中数学联赛浙江赛区竞赛试卷.doc

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2012年浙江省高中数学竞赛试题

参考解答与评分标准

说明：

本试卷分为A卷和B卷：

A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（每题5分，共50分）

1．已知数列{an}满足3an+1+an=4（n≥1），且a1=9，其前n项之和为Sn。

则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）

A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值

C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数

3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）

A．1 B．-1 C．2+ D．-2+

4．已知=（cosπ,sinπ）,,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）

A．1 B． C．2 D．

5．过椭圆C：

上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）。

当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c（b≠1），且，都是方程logx=logb（4x-4）的根，则△ABC（）

A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形

C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形

7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依

次记为：

若程序运行中

输出的一个数组是则数组中的（）

A．64B．32C．16D．8

8.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（）

A.4B.8C.16D.32

9.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（）

A.BC.D.

10.已知，则的解为（）

A.或B.或C.或D.

二、填空题（每题7分.共49分）

11．若log4（x+2y）+log4（x-2y）=1，则|x|-|y|的最小值是_________.

12．如果：

（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}

（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a

（3）a是a,b,c,d中的最小数

那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

13．设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

14．若对|x|≤1的一切x，t+1>（t2-4）x恒成立，则t的取值范围是_______________.

15．我们注意到6!

=8×9×10，试求能使n!

表示成（n-3）个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.

16．对每一实数对（x,y），函数f（t）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+f（xy）+1。

若f（-2）=-2，试求满足f（a）=a的所有整数a=__________.

17．已知a,b,c∈R+，且满足≥（a+b）2+（a+b+4c）2，则k的最小值为__________.。

三、解答题（每题17分，共51分）

18．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。

求∠MAN的度数。

19．已知a>0，函数f（x）=ax-bx2,

（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明：

a≤2；

（2）当b>1时，证明：

对任意x∈[0,1],|f（x）|≤1的充要条件是：

b-1≤a≤2；

（3）当0

对任意x∈[0,1],|f（x）|≤1的充要条件。

20.已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。

若以MN为直径的圆恰好过，求a的值。

附加题（每题25分，共50分）

21.如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：

线段PQ平分△ABC的周长。

E

A

D

C

P

Q

B

22.（50分）求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：

（x2+x+1）f（x2-x+1）=（x2-x+1）g（x2+x+1）。

参考答案

一、选择题

1．由递推式得：

3（an+1-1）=-（an-1），则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，∴Sn-n=（a1-1）+（a2-1）+…+（an-1）==6-6×（-）n，∴|Sn-n-6|=6×（）n<，得：

3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

2．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα）·PS·sinβ。

另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：

PQ·PR·PS·sinβ=d（PQ·PR+PR·PS+PQ·PS），即=常数。

故选D。

3．xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan（αn+）,∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。

故选A。

4．设向量=（x,y），则，

即，即.∴或，∴S△AOB==1。

5．设P（x1,y1），Q（x,y），因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为（3,y）。

又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：

，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。

故选C。

6．由logx=logb（4x-4）得：

x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA（1-4sin2A）=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。

因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B。

7.经计算。

正确答案为B

8.平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有

由此计算动点所形成平面区域的面积为4。

正确答案为A

9.问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。

正确答案为C

10.不等式的左端看成的一次函数，

由或。

正确答案为C。

.

二、填空题

11．。

由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+（4-u）2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16（u2-3）≥0。

12．46个。

abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。

abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。

abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

13．解考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}．

P中任何4个不同元素之和不小于（n-1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2，所以k≥n+3．

将M的元配为n对，Bi=（i，2n+1-i），1≤i≤n．

对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于

A（i1、i2、i3两两不同）．

又将M的元配为n-1对，Ci（i，2n-i），1≤i≤n-1．

对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，

这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3

14．。

①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由>x（|x|≤1）恒成立，得,t+1>t2-4,t2-t-s<0解得，从而

②若t2-4=0，则t=2符合题意。

③若t2-4<0，即-2-t2+4;t2+t-3>0，解得：

t<或t>，从而

综上所述，t的取值范围是：

15．23．。

16．1或-2。

令x=y=0得f（0）=-1；令x=y=-1，由f（-2）=-2得，f（-1）=-2，又令x=1,y=-1可得f

（1）=1，再令x=1，得f（y+1）=f（y）+y+2 ①，所以f（y+1）-f（y）=y+2，即y为正整数时，f（y+1）-f（y）>0，由f

（1）=1可知对一切正整数y，f（y）>0，因此y∈N*时，f（y+1）=f（y）+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f（t）>t，由①得f（-3）=-1,f（-4）=1。

下面证明：

当整数t≤-4时，f（t）>0，因t≤-4，故-（t+2）>0，由①得：

f（t）-f（t+1）=-（t+2）>0，

即f（-5）-f（-4）>0，f（-6）-f（-5）>0，……，f（t+1）-f（t+2）>0，f（t）-f（t+1）>0

相加得：

f（t）-f（-4）>0，因为：

t≤4，故f（t）>t。

综上所述：

满足f（t）=t的整数只有t=1或t=2。

17．解：

因为（a+b）2+（a+b+4c）2=（a+b）2+[（a+2c）+（b+2c）]2≥

（2）2+（2+2）2=

4ab+8ac+8bc+16c。

所以

≥。

当a=b=2c>0时等号成立。

故k的最小值为100。

三、解答题

18．以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为（x,0），点A（k,λ），⊙Q的半径为r，则：

M（x-r,0）,N（x+r,0）,P（2,0）,PQ==1+r。

所以x=±,∴tan∠MAN=

，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+（1-nh）r=，两边平方，得：

m2+2m（1-nh）r-（1-nh）2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由

（1）

（2）式，得m=0,k=0，由（3）式，得n=。

由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。

所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q（0,0）,r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

19．

（1）证：

依题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1。

∵f（x）=-b（x-）2+，∴f（）=≤1，∵a>0,b>0,∴a≤2。

（2）证：

（必要性），对任意x∈[0,1]，|f（x）|≤1-1≤f（x）据此可推出-1≤f

（1）即a-b≥-1，∴a≥b-1。

对任意x∈[0,1]，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b>1，可推出f（）≤1。

即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。

（充分性）：

因b>1