全国高中数学联赛试题及解答.doc
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二○○一年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为
（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定
【答】（ C ）
【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．
2．命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;
命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
【答】（ B ）
【解】 只有命题1对．
3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
【答】（ D ）
【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．
4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=（B）0【答】（ D ）
【解】 根据题设，△ABC共有两类如图．
易得k=或05．若的展开式为，
则的值为
（A）（B）（C）（D）
【答】（ C ）
【解】 令x=1可得=；
令x=可得0=；
（其中，则=1且++1=0）
令x=可得0=．
以上三式相加可得=3（）．
所以=．
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同 （D）不确定
【答】（ A ）
【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝．
则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.
所以2x-3y==0，即2x>3y．
也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．
7．椭圆的短轴长等于．
【解】故．从而．
8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．
【解】 由3z1-2z2==
可得．本题也可设三角形式进行运算．
9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是．
【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．
10.不等式的解集为．
【解】等价于或．
即或．
此时或或．
∴解为x>4或0即解集为．
11．函数的值域为．
【解】 ．
两边平方得，从而且．
由或．
任取，令，易知，于是且．
任取，同样令，易知，
于是且．
因此，所求函数的值域为．
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有732种栽种方案．
【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．
考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法．
考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法．
故总计有108+432+192=732种方法．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1【解】 设所求公差为d，∵a10．由此得
a12（a1+2d）2=（a1+d）4
化简得2a12+4a1d+d2=0
解得d=（）a1.………………………………………………………………5分
而<0，故a1<0．
若d=（）a1，则；
若d=（）a1，则；…………………………………………10分
但存在，故|q|<1．于是不可能．
从而．
所以a1=，d=（）a1=（）（）=．……………………20分
14．设曲线C1：
（a为正常数）与C2：
y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．
⑴求实数m的取值范围（用a表示）；
⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0⑴ 【解】由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0．①
设f（x）=x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
1°Δ=0得m=．此时xp=-a2，当且仅当-a<-a22°f（a）·f（-a）<0当且仅当–a3°f（-a）=0得m=a．此时xp=a-2a2，当且仅当-a综上可知，当0当a≥1时，-a⑵ 【解】ΔOAP的面积S=ayp．
∵00，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a．
当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a．
下面比较a与a的大小：
令a=a，得a=.
故当0当15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？
证明你的结论．
【解】设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………………………………………5分
证明如下
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：
则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2．
R1
R3
R2
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为RAB：
．
R3
R4
R1
R2
显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD：
．
若记，．则S1、S2为定值．
于是．
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R44°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6E
而由3°，要使RCD最小，应使R4G
这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分
图3
R1
A
R2
R4
R6
R3
R5
B
C
D
F
G
E
二○○一年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次．
一．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．
求证：
（1）OB⊥DF，OC⊥DE．
（2）OH⊥MN．
【证明】
（1）∵A，C，D，F四点共圆，
∴∠BDF=∠BAC．
又∵∠OBC=（180°-∠BOC）=90°-∠BAC，
∴OB⊥DF．
同理OC⊥DE．………………………10分
（2）∵CF⊥MA，
∴MC2-MH2=AC2-AH2．……①
∵BE⊥NA，
∴NB2-NH2=AB2-AH2．……②
∵DA⊥BC，
∴BD2-CD2=BA2-AC2．……③
∵OB⊥DF，
∴BN2-BD2=ON2-OD2．……④
∵OC⊥DE，
∴CM2-CD2=OM2-OD2．……⑤………………………………………………30分
①-②+③+④-⑤，得
NH2-MH2=ON2-OM2．
MO2-MH2=NO2-NH2．
所以OH⊥MN．…………………………………………………………………………50分
二．设（i=1，2，…，n），且，求的最大值与最小值．
【解】先求最小值，因为≥1，
等号成立当且仅当存在i使得xi=1，xj=0，j≠i．
∴的最小值为1．………………………………………………………………10分
再求最大值，令，
∴．…………①
设M==．
令
则①．………………………………………………………30分
令an+1=0，则M=
=．
由柯西不等式得
M．
等号成立
．（k=1，2，…，n）
由于，从而
，即．
所求最大值为．……………………………………………50分
三．将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
【解】记所求最小值为f（m，n），可以证明f（m，n）=m+n-（m，n）．（*）
其中（m，n）表示m和n的最大公约数．………………………………………………10分
事实上，不妨设m≥n．
（1）关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为m+n-（m，n）．
当m=1时,命题显然成立．
假设当m≤k时，结论成立（k≥1）．当m=k+1时，若n=k+1，则命题显然成立．若n
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