上海高考数学理科试卷带详解.doc

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2013年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

一、填空题

1．计算：

.

【测量目标】数列极限的运算.

【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】根据极限运算法则，．

2．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则.

【测量目标】复数的基本概念.

【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m的值.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】．

3．若，则.

【测量目标】行列式的初步运算.

【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出的大小.

【难易程度】容易

【参考答案】0

【试题解析】．

4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________.（结果用反三角函数值表示）

【测量目标】余弦定理，反三角函数.

【考查方式】利用余弦定理解出角C，再用反三角函数值表示.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】，

故．

5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则.

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】，故．

6．方程的实数解为________.

【测量目标】指数方程.

【考查方式】给出了指数方程，化简求值.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】原方程整理后变为．

7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________.

【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.

【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】联立方程组得（步骤1），

又，故所求为．（步骤2）

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）.

【测量目标】古典概型，随机事件的的概率

【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．

9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________.

【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.

【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得（步骤1），得．（步骤2）

10．设非零常d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差.

【测量目标】随机变量的期望和方差.

【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】

（步骤1）

．（步骤2）

11．若，则.

【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.

【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】，，故

．

12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________.

【测量目标】奇函数的性质.

【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出a的范围.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】，故（步骤1）；当时

（步骤2）

即，又，故．（步骤3）

13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作、所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.

第13题图

【测量目标】合情推理.

【考查方式】给出了封闭图形，利用祖暅原理求出其体积.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．

14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则.

【测量目标】反函数，函数零点的求解与判断.

【考查方式】给出了反函数的解析式，在特定定义域内求出它的反函数解析式并求出新函数的解.

【难易程度】中等

【参考答案】

【试题解析】根据反函数定义，当时，（步骤1）；时，，而的定义域为（步骤2），故当时，的取值应在，故若，只有．（步骤3）

二、选择题

15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）

A B C D

【测量目标】集合的基本运算，解一元二次不等式.

【考查方式】给出两个集合，根据它们的并集求出a的取值范围.

【难易程度】中等

【参考答案】B

【试题解析】当时，（步骤1）

若，则1，，（步骤2）

当时，易得,此时成立，（步骤3）

当时，，，

若，则a显然成立（步骤4）

∴；综上a的取值范围是，故选B（步骤5）

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：

“不便宜”是“好货”的（）

A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件

【测量目标】充分必要条件.

【考查方式】给出日常生活问题，判断命题的充分必要性.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．

17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）

A18 B28 C48 D63

【测量目标】指数函数模型.

【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】，而，故不同数值个数为18个，选A．

18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中

,则满足（）.

A B C D

【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.

【考查方式】根据平面几何中的向量性质，容易求出答案.

【难易程度】中等

【参考答案】D

【试题解析】由题意记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，利用向量的数量积公式，只有，其余均有，故选D．

三、解答题

19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

第19题图

【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积.

【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公式求出答案.

【难易程度】容易

【试题解析】因为ABCDA1B1C1D1为长方体，，

故ABC1D1为平行四边形，故（步骤1），显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得（步骤3）

而中，，故

所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．（步骤4）

20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求最大利润.

【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值.

【考查方式】给出实际问题建立函数模型，求出其最值.

【难易程度】容易

【试题解析】

（1）根据题意，

又，可解得（步骤1）

（2）设利润为元，则

故时，元．（步骤2）

21．（6分+8分）已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：

在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.

【考查方式】将三角函数进行变化求出的取值范围；将三角函数进行平移和变换求出零点进而求出答案.

【难易程度】中等

【试题解析】

（1）因为，根据题意有

（步骤1）

（2），

或，

即的零点相离间隔依次为和，（步骤2）

故若在上至少含有30个零点，

则的最小值．（步骤3）

22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；

（3）求证：

圆内的点都不是“C1—C2型点”．

第22题图

【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.

【考查方式】给出了“C1—C2型点”的概念，证明3个命题的正确性.

【难易程度】较难

【试题解析】：

（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1C2型点”，

且直线可以为；（步骤1）

（2）直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须；（步骤2）

直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1C2型点”.（步骤3）

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故

化简得，①（步骤4）

若直线与曲线C1有交点，则

（步骤5）

化简得，②

由①②得，（步骤6）

但此时，因为，即①式不成立；

当时，①式也不成立

综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，

即圆内的点都不是“C1C2型点”．（步骤7）

23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.

（1）若，求及；

（2）求证：

对任意，；

（3）是否存在，使得成等差数列？

若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.

【测量目标】间接证明，等差数列的综合应用.

【考查方式】给出函数解析式及数列，间接证明出命题的正确，利用等差数列的综合应用证明是否存在.

【难易程度】较难

【试题解析】

（1）因为，，故，

（步骤1）

（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，

即只需证明（步骤2）

若，显然有成立；（步骤3）

若，则显然成立

综上，恒成立，即对任意的，（步骤4）

（3）由

（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有

此时，

即（步骤5）

故，