上海高考数学文科试题含答案.doc

上海高考数学文科试题含答案.doc

《上海高考数学文科试题含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海高考数学文科试题含答案.doc（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2013年上海高考数学试题（文科）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式的解为．

【解答】

2．在等差数列中，若，则．

【解答】

3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．

【解答】．

4．若，，则．

【解答】

5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是（结果用反三角函数值表示）．

【解答】，故．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．

【解答】

7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．

【解答】，故．

8．方程的实数解为．

【解答】原方程整理后变为．

9．若，则．

【解答】，

10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．

【解答】

作下底面圆心O’，联结OO’，AO’，直线OA与OO’所成角的大小为，

所以

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．

【解答】7个数中，3个偶数，4个奇数，所以为偶数的概率是

12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为．

【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．

13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．

【解答】

14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．

【解答】向量数量积的最小值在于两个向量的模相等，而方向恰好相反。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．函数的反函数为，则的值是（）

（A） （B） （C） （D）

【解答】

16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（）

（A） （B） （C） （D）

【解答】

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：

“好货”是“不便宜”的（）

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件

【解答】“好货”推得“不便宜”，“不便宜”不一定推得“好货”。

答案：

A

18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（）

（A）0 （B） （C）2 （D）

【解答】当x+y取得最大值时，点（x，y）必在第一象限。

，答案：

D

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．

O’

D

【解答】由已知条件可知，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，经计算得底面的面积为，所以该三棱锥的体积为。

设是正三角形的中心，由正三棱锥的性质可知，垂直于平面。

延长交于，得，，又因为，所以正三棱锥的斜高。

故侧面积为。

所以该三棱锥的表面积为

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．

（1）求证：

生产千克该产品所获得的利润为元；

（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该如何选取何种生产速度？

并求此最大利润．

【解答】

（1）生产千克该产品所用的时间是小时，所获得的利润为，所以，生产千克该产品所获得的利润为元。

（2）生产900千克该产品，获得利润为，。

设利润为元，则

故时，元．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数，其中常数．

（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．

【解答】

（1）。

所以，既不是奇函数，也不是偶函数

（2）根据平移之后，得到

令，得

因为恰含10个周期，所以，

当a是零点时，在上零点个数为21个；

当a不是零点时，也都不是零点，区间上恰有两个零点，故在上有20个零点。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知函数．无穷数列满足．

（1）若，求，，；

（2）若，且，，成等比数列，求的值；

（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？

若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

【解答】

（1）

（2）

①当时，，所以，得（舍去）或。

②当时，，所以，得。

综合①②得或。

（3）假设这样的等差数列存在，那么。

由得（*）

以下分情况讨论：

①当时，由（*）得，与矛盾；

②当时，由（*）得，从而

所以是一个等差数列；

③当时，则公差，因此存在使得，此时，矛盾。

综合①②③可知，当且仅当时，构成等差数列。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如图，已知双曲线：

，曲线：

．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；

（3）求证：

圆内的点都不是“型点”．

【解答】：

（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；

（2）直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须；

直线与C2有交点，则

，若方程组有解，则必须

故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则

直线与圆内部有交点，故

化简得，。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

①

若直线与曲线C1有交点，则

化简得，。

。

。

。

。

②

由①②得，

但此时，因为，即①式不成立；

当时，①式也不成立

综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，

即圆内的点都不是“C1-C2型点”．