上海市青浦区高考数学一模试卷解析版.doc

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2017年上海市青浦区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则　　．

2．已知集合，则A∩B=　　．

3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是　　．

4．等轴双曲线C：

x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于　　．

5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=　　．

6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=　　．

7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为　　．

8．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为　　．

9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为　　．（精确到0.01）

10．已知点A是圆O：

x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=　　．

11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：

对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　　．

12．已知数列{an}满足：

对任意的n∈N*均有an+1=kan+3k﹣3，其中k为不等于0与1的常数，若ai∈{﹣678，﹣78，﹣3，22，222，2222}，i=2，3，4，5，则满足条件的a1所有可能值的和为　　．

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．已知f（x）=sinx，A={1，2，3，4，5，6，7，8}现从集合A中任取两个不同元素s、t，则使得f（s）•f（t）=0的可能情况为（　　）

A．12种 B．13种 C．14种 D．15种

14．已知空间两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：

①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；

②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒n⊥α；

③m∥n；m∥α⇒n∥α

④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．

其中正确的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M={（x，y）|y=}；

②M={（x，y）|y=log2x}；

③M={（x，y）|y=2x﹣2}；

④M={（x，y）|y=sinx+1}．

其中是“垂直对点集”的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17．在如图所示的组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．

（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．

18．已知函数f（x）=sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．

（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；

（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=，求的值．

19．如图，F1，F2分别是椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P是椭圆C上异于点、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：

k1•k2是定值．

20．如图，已知曲线及曲线，C1上的点P1的横坐标为．从C1上的点作直线平行于x轴，交曲线C2于Qn点，再从C2上的点作直线平行于y轴，交曲线C1于Pn+1点，点Pn（n=1，2，3…）的横坐标构成数列{an}．

（1）求曲线C1和曲线C2的交点坐标；

（2）试求an+1与an之间的关系；

（3）证明：

．

21．已知函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）．

（1）当a=2时，解关于x的不等式﹣3＜f（x）＜5；

（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；

（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．

2017年上海市青浦区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1．已知复数z=2+i（i为虚数单位），则　=3﹣4i　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把复数z代入z2，然后展开，再求出得答案．

【解答】解：

由z=2+i，

得z2=（2+i）2=3+4i，

则=3﹣4i．

故答案为：

3﹣4i．

2．已知集合，则A∩B=　[﹣1，3）　．

【考点】交集及其运算．

【分析】利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．

【解答】解：

集合A中的不等式变形得：

2﹣1≤2x＜24，解得：

﹣1≤x＜4，

∴A=[﹣1，4）；

由集合B中函数得：

9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：

﹣3＜x＜3，

∴B=（﹣3，3），

则A∩B=[﹣1，3）．

故答案为：

[﹣1，3）

3．在二项式（x+）6的展开式中，常数项是　4320　．

【考点】二项式定理的应用．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．

【解答】解：

二项式（x+）6的展开式的通项公式为Tr+1=•6r•x6﹣2r，

令6﹣2r=0，求得r=3，可得常数项为=4320，

故答案为：

4320．

4．等轴双曲线C：

x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于　4　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a即可得出．

【解答】解：

抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．

联立，解得．

∴4=|AB|=，

解得a2=4．

∴a=2．

∴双曲线C的实轴长等于4．

故答案为：

4．

5．如果由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，则实数a=　﹣2　．

【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，得到，即可求出a．

【解答】解：

∵由矩阵=表示x，y的二元一次方程组无解，

∴，

∴a=﹣2．

故答案为﹣2．

6．执行如图所示的程序框图，若输入n=1的，则输出S=　log319　．

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行，当n=19时满足条件n＞3，退出循环，可得：

S=log319，即可得解．

【解答】解：

模拟程序的运行，可得

n=1

不满足条件n＞3，执行循环体，n=3，

不满足条件n＞3，执行循环体，n=19，

满足条件n＞3，退出循环，可得：

S=log319．

故答案为：

log319．

7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为　16π　．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．

【解答】解：

∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，

母线与底面所成的角为，可得①

∵侧面积是20π，

∴πrl=20π，②

由①②解得：

r=4，l=5，故圆锥的高h===3

则该圆锥的体积为：

×πr2×3=16π

故答案为：

16π．

8．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为　（﹣3，+∞）　．

【考点】数列的函数特性．

【分析】数列{an}是单调递增数列，可得∀n∈N*，an+1＞an，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．

【解答】解：

∵数列{an}是单调递增数列，

∴∀n∈N*，an+1＞an，

（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，

化为：

b＞﹣（2n+1），

∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，

∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，

∴b＞﹣3．

即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．

故答案为：

（﹣3，+∞）．

9．将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′中最短边的边长为　3.62　．（精确到0.01）

【考点】斜二测法画直观图．

【分析】由题意，正三角形ABC的高为5，利用余弦定理求出△A′B′C′中最短边的边长．

【解答】解：

由题意，正三角形ABC的高为5，

∴△A′B′C′中最短边的边长为≈3.62．

故答案为3.62．

10．已知点A是圆O：

x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则•=　4　．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，

∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求•=||||cos45°．

【解答】解：

由|+|=|﹣|⇒（+）2=（﹣）2⇒•=0，∴AO⊥BO，

∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则•=||||cos45°=2×=4．

故答案为：

4

11．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：

对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是　[，+∞）　．

【考点】函数与方程的综合运用．

【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

【解答】解：

解：

∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，

∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，

作出g（x）和f（x）的图象，

若h（x）≥g（x）恒成立，

则h（x）在直线f（x）的上方，

即g（x）在直线f（x）的下方，

则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=