重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题docxWord文档格式.docx
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②由于线段
BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(
1)中的结论即可得到结果;
3)连接BM,
将△APM绕着点P顺时针旋转90°
得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,
根据全等三角形的性质得到
PN=PA=2
,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段
BN取得最大值,即可得到最大值为
2
2+4;
如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角
三角形的性质即可求得点
P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点
P在第四象限时也满
足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.
【详解】
(1)∵点
BC=a,AB=b,
∴当点
CB的延长线上时,线段
AC的长取得最大值,且最大值为
BC+AB=a+b,
故答案为
CB的延长线上,
a+b;
(2)①CD=BE,
理由:
∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°
,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
AD
AB
在△CAD与△EAB中,
CAD
EAB
AC
AE
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=BE;
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由
(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在
∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;
(3)如图1,
CB的延长线上,
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°
得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),
∴OA=2,OB=6,
∴AB=4,
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=2AP=2
∴最大值为22+4;
如图2,
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣4﹣2=2﹣2,
∴P(2﹣2,2).
如图3中,
根据对称性可知当点P在第四象限时,
P(2﹣
2,﹣
2)时,也满足条件.
综上所述,满足条件的点
P坐标(2﹣
2)或(2﹣
2,﹣2),AM的最大值为
22+4.
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.平面上,Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放,∠B=90°
,AC=2CE=m,BC=n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转,点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB,旋转角记为α(0°
≤α≤)180°
(1)当α=0°
时,连接DE,则∠CDE=°
,CD=;
(2)试判断:
旋转过程中BD的大小有无变化?
请仅就图2的情形给出证明;
(3)若m=10,n=8,当α=∠ACB时,求线段BD的长;
(4)若m=6,n=42,当半圆O旋转至与△ABC的边相切时,直接写出线段BD的长.
【答案】
(1)90°
,n;
(2)无变化;
(3)12
5;
(4)BD=2
10或2114.
5
3
试题分析:
1)①根据直径的性质,由
DE∥AB得CD
CE即可解决问题.
②求出
CB
CA
BD、AE即可解决问题.
(2)只要证明△ACE∽△BCD即可.
(3)求出AB、AE,利用△ACE∽△BCD即可解决问题.
(4)分类讨论:
①如图5中,当α=90时°
,半圆与AC相切,②如图6中,当
α=90°
+∠ACB时,半圆与BC相切,分别求出BD即可.
试题解析:
(1)解:
①如图1中,当α=0时,连接DE,则
∠CDE=90.°
∵∠CDE=∠B=90,°
∴DE∥AB,∴CE
CD=
1.∵BC=n,∴CD=1n.故答
案为90°
,1
n.
②如图2中,当α=180时°
,BD=BC+CD=
n,AE=AC+CE=
m,∴BD=n.故答案为
AEm
n.
m
(2)如图3
中,∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACE=∠BCD.∵CD
BC
n,
CE
BDBCn
∴△ACE∽△BCD,∴.
AEACm
(3)如图4中,当α=∠ACB时.在Rt△ABC中,∵AC=10,BC=8,
∴AB=
AC2
BC2
=6.在Rt△ABE中,∵AB=6,BE=BC﹣CE=3,
∴AE=
AB2
BE2
=62
BD
32=35,由
(2)可知△ACE∽△BCD,∴
=
8,∴BD=125.故答案为125.
∴
10
(4)∵m=6,n=4
2,∴CE=3,CD=22,AB=
2=2,①如图5
中,当α=90°
时,半圆与AC相切.在Rt△DBC中,BD=BC
CD
=(4
.
2)(2
2)=2
②如图6中,当α=90°
+∠ACB时,半圆与BC相切,作EM⊥AB于
M.∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°
,∴四边形BCEM是矩形,∴BM
EC
3,ME
4
∴AM=5,AE=
AM
2ME
2=57,由
(2)可知
DB
=22,∴BD=2
114.
故答案为210或2114.
点睛:
本题考查了圆的有关知识,相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,正确画出
图形是解决问题的关键,学会分类讨论的思想,本题综合性比较强,属于中考压轴题.
3.(探索发现)
如图,ABC是等边三角形,点D为BC边上一个动点,将ACD绕点A逆时针旋转
60得到AEF,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.
小明是这样想的:
(1)请参考小明的思路写出证明过程;
(2)直接写出线段CD,CF,AC之间的数量关系:
______________;
(理解运用)
如图,在ABC中,ADBC于点D.将ABD绕点A逆时针旋转90得到AEF,延
长FE与BC,交于点G.
(3)判断四边形ADGF的形状,并说明理由;
(拓展迁移)
(4)在(3)的前提下,如图,将AFE沿AE折叠得到AME,连接MB,若
AD6,BD2,求MB的长.
(1)详见解析;
(2)CDCFAC;
(3)四边形ADGF是正方形;
(4)
213
(1)根据旋转得:
△ACE是等边三角形,可得:
AB=BC=CE=AE,则四边形ABCE是菱形;
(2)先证明C、F、E在同一直线上,再证明△BAD≌△CAF(SAS),则∠ADB=∠AFC,
BD=CF,可得AC=CF+CD;
(3)先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°
,证明得四边形ADGF是矩形,由邻边相等可得四边形ADGF是正方形;
(4)证明△BAM≌△EAD(SAS),根据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】
(1)证明:
∵ABC是等边三角形,
∴ABBCAC.
∵ACD绕点A逆时针旋转60得到AEF,
∴CAE60,ACAE.
∴ACE是等边三角形.
ACAECE.
ABBCCEAE.
∴四边形ABCE是菱形.
(2)线段DC,CF,AC之间的数量关系:
CDCFAC.
(3)四边形ADGF是正方形.理由如下:
∵RtABD绕点A逆时针旋转90
得到
AEF,
∴AF
AD,DAF
90.
∵AD
BC,
∴ADCDAF
F90.
∴四边形ADGF是矩形.
∵AFAD,
∴四边形ADGF是正方形.
(4)如图,连接DE.
∵四边形ADGF是正方形,
∴DGFG
ADAF
6.
∵ABD绕点A逆时针旋转
90
BAD
EAF,BD
EF
2,∴EGFGEF624.
∵将
AFE沿AE折叠得到
AME,
MAE
FAE,AF
AM.
∴BADEAM.
∴BADDAMEAMDAM,即BAMDAE.
∵AFAD,∴AMAD.
在BAM
和
EAD
中,
BAM
DAE,
∴BAMEADSAS.
∴BMDEEG2DG24262213.
本题属于四边形综合题,主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质,依据图形的性质进行计算求解.
4.已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM
上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°
得到△BCE,连接
DE.
(1)如图
1,猜想:
△CDE的形状是
三角形.
(2)请证明(
1)中的猜想
(3)设
OD=m,
①当6<m<10时,△BDE的周长是否存在最小值?
若存在,求出若不存在,请说明理由.
△BDE周长的最小值;
②是否存在
m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,请直接写出
m的值;
若不存在,
请说明理由.
(1)等边;
(2)详见解析;
(3)①23+4;
②当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
(1)由旋转的性质猜想结论;
(2)由旋转的性质得到∠DCE=60°
,DC=EC,即可得到结论;
(3)①当6<m<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当
CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;
②存在,分四种情况讨论:
a)当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形;
b)当0≤m<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°
,∠BDE<60°
,求得∠BED=90°
,根据等边
三角形的性质得到∠DEB=60°
,求得∠CEB=30°
,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m;
c)当
6<m<10
时,此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质得到∠DBE=60°
,求得∠BDE>60°
,于是得到m=14.
(1)等边;
(2)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°
得到△BCE,∴∠DCE=60°
,DC=EC,∴△CDE
是等边三角形.
(3)①存在,当6<t<10时,由旋转的性质得:
BE=AD,
△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE
1
△CDE
是等边三角形,
∴DE=CD
∴C
,由(
)知,
=CD+4,由垂线段最短可知,当
CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD=2
3,
∴C△DBE
∴△BDE的最小周长=CD+4=2
3+4;
a)∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意;
b)当0≤m<6时,由旋转可知,∠ABE=60°
,∠BDE<60°
,∴∠BED=90°
,由
(1)可知,
△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°
,∴∠CEB=30°
∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°
∵∠CAB=60,°
∴∠ACD=∠ADC=30,°
∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴m=2;
c)当6<m<10时,由∠DBE=120°
>90°
,∴此时不存在;
d)当m>10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°
,又由
(1)知∠CDE=60°
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°
+∠BDC,而∠BDC>0°
,∴∠BDE>60°
,∴只能∠BDE=90,°
从而∠BCD=30°
,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14.
综上所述:
当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
5.如图1,在Rt△ADE中,∠DAE=90°
,C是边AE上任意一点(点C与点A、E不重合),以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC,∠BAC=90°
,连接BE、CD.
(1)在图1中,若AC=AB,AE=AD,现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图2,那么线段BE.CD之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由;
(2)在图1中,若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α,得到图3,连接BD、CE.
①求证:
△ABE∽△ACD;
②计算:
BD2+CE2的值.
(1)BE=CD,BE⊥CD,理由见角;
(2)①证明见解析;
②BD2+CE2=170.
(1)结论:
BE=CD,BE⊥CD;
只要证明△BAE≌△CAD,即可解决问题;
(2)①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD.
②由①得到∠AEB=∠CDA.再根据等量代换得到
∠DGE=90°
,即DG⊥BE,根据勾股定理
得到BD
+CE=CB+ED,即可根据勾股定理计算.
BE=CD,BE⊥CD.
设BE与AC的交点为点F,BE与CD的交点为点G,如图2.
∵∠CAB=∠EAD=90,°
∴∠CAD=∠BAE.
ABAC
在△CAD和△BAE中,∵BAECAD,∴△CAD≌△BAE,∴CD=BE,
AEAD
∠ACD=∠ABE.
∵∠BFA=∠CFG,∠BFA+∠ABF=90,°
∴∠CFG+∠ACD=90,°
∴∠CGF=90,°
∴BE⊥CD.
(2)①设AE与CD于点F,BE与DC的延长线交于点G,如图3.
∵∠CABB=∠EAD=90,°
∴∠CAD=∠BAE.
∵CA=3,AB=5,AD=6,AE=10,∴AE=AD=2,∴△ABE∽△ACD;
②∵△ABE∽△ACD,∴∠AEB=∠CDA.
∵∠AFD=∠EFG,∠AFD+∠CDA=90°
∴,
∠EFG+∠AEB=90,°
∴∠DGE=90,°
∴DG⊥BE,
∴∠AGD=∠BGD=90
,°
∴CE=CG+EG,BD
=BG+DG,∴BD+CE=CG+EG+BG+DG
∵CG+BG=CB
,EG+DG=ED,∴BD+CE=CB+ED=CA+AB+AD+AD=170.
本题是几何综合变换综合题,主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用,运用类比,在变化中发现规律是解决问题
的关键.
6.如图,正方形ABCD中,点E是BC边上的一个动点,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°
,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.
(1)根据题意补全图形;
(2)判定AG与EF的位置关系并证明;
(3)当AB=3,BE=2时,求线段BG的长.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析;
(3)25.
(1)根据题意补全图形即可;
(2)先判断出△ADF≌△ABE,进而判断出点C,D,F共线,即可判断出△DFG≌△HEG,得出FG=EG,即可得出结论;
(3)先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.
(1)补全图形如图所示,
(2)连接DF,
由旋转知,AE=AF,∠EAF=90°
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD=AB,∠ABC=∠ADC=BAD=90,°
∴∠DAF=∠BAE,
∴△ADF≌△ABE(SAS),
∴DF=BE,∠ADF=∠ABC=90,°
∴∠ADF+∠ADC=180,°
∴点C,D,F共线,
∴CF∥AB,
过点E作EH∥BC交BD于H,
∴∠BEH=∠BCD=90,°
DF∥EH,
∴∠DFG=∠HEG,
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠CBD=45,°
∴BE=EH,
∵∠DGF=∠HGE,
∴△DFG≌△HEG(AAS),
∴FG=EG
∵AE=AF,∴AG⊥EF;
(3)∵BD是正方形的对角线,∴BD=2AB=32,
由
(2)知,在Rt△BEH中,BH=2BE=22,
∴DG=BD-BH=2
由
(2)知,△DFG≌△HEG,
∴D