2011年上海市春季高考数学试卷答案与解析.doc
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2011年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是 （2，+∞） ．
【考点】对数函数的定义域．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】对数的真数大于0，可得答案．
【解答】解：
由x﹣2＞0，得x＞2，所以函数的定义域为（2，+∞）．
故答案为：
（2，+∞）．
【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题．
2．（4分）（2011•上海）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B= {x|1≤x≤2} ．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】求解二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：
由A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
所以A∩B={x|x≥1}∩{x|﹣2≤x≤2}={x|1≤x≤2}．
故答案为{x|1≤x≤2}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．
3．（4分）（2011•上海）在△ABC中，tanA=，则sinA= ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，解方程组求得sinA的值．
【解答】解：
在△ABC中，tanA=，则A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，
求得sinA=，
故答案为．
【点评】本题主要考查角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
4．（4分）（2011•上海）若行列式=0，则x= 1 ．
【考点】二阶行列式与逆矩阵；函数的零点．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．
【解答】解：
∵=0，
∴2×2x﹣4=0，即2x=2，
∴x=1．
故答案为：
1．
【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．
5．（4分）（2011•上海）若，，则x= （结果用反三角函数表示）
【考点】反三角函数的运用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用反正弦函数的定义，由角的范围为，故可直接得到答案．
【解答】解：
由于，根据反正弦函数的定义可得x=
故答案为
【点评】本题的考点是反三角函数的运用，主要考查反正弦函数的定义，应特别主要角的范围．
6．（4分）（2011•上海）（x+）6的二项展开式的常数项为 20 ．
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：
（x+）6的二项展开式的通项公式为Tr+1=•x6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r．
令6﹣2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为=20，
故答案为20．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
7．（4分）（2011•上海）两条直线l1：
x﹣y+2=0与l2：
x﹣y+2=0的夹角的大小是 ．
【考点】两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【分析】设两条直线的夹角为θ，求得tanθ=||的值，可得tan2θ的值，求得2θ的值，可得θ的值．
【解答】解：
由于两条直线l1：
x﹣y+2=0与l2：
x﹣y+2=0的斜率分别为、1，设两条直线的夹角为θ，
则tanθ=||=||==2﹣，
∴tan2θ==，∴2θ=，θ=，
故答案为．
【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
8．（4分）（2011•上海）若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2+a5=0，则= ﹣7 ．
【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．
【解答】解：
由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8
===﹣7
故答案为：
﹣7．
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．
9．（4分）（2011•上海）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是 ．
【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程
【解答】解：
双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）
∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，
∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）
∴a=3，c=
∴
∴椭圆C的方程是
故答案为：
【点评】本题考查双曲线、椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（4分）（2011•上海）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：
由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，
因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，
|OP|2+|PF|2的最小值为2．
故答案为：
2．
【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．
11．（4分）（2011•上海）根据如图所示的程序框图，输出结果i= 8 ．
【考点】循环结构．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】按要求一步步代入循环体，直到符合要求退出循环，即可得到结论．
【解答】解：
因为i=0，t=76；
不满足t≤0，∴t=76﹣10=66，i=0+1=1；
不满足t≤0，∴t=66﹣10=56，i=1+1=2；
不满足t≤0，∴t=56﹣10=46，i=2+1=3；
不满足t≤0，∴t=46﹣10=36，i=3+1=4；
不满足t≤0，∴t=36﹣10=26，i=4+1=5；
不满足t≤0，∴t=26﹣10=16，i=5+1=6；
不满足t≤0，∴t=16﹣10=6，i=6+1=7；
不满足t≤0，∴t=6﹣10=﹣4，i=7+1=8；
满足t≤0，输出结果i=8．
故答案为：
8．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：
①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：
不能准确理解流程图的含义而导致错误．
12．（4分）（2011•上海）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为 168 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解
【解答】解：
由题意知本题是一个分步计数问题，
解决这个问题得分三步完成，
第一步把三个学生分成两组，
第二步从8所学校中取两个学校，
第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A82=168
故答案为：
168．
【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．
13．（4分）（2011•上海）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是 ．
【考点】异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由图形补出正方体，可得所求的角即为ED与CD所成的角，在△CDE中，由余弦定理可得答案．
【解答】解：
该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，
如图：
可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角，
设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD=DE=，EC=，
由余弦定理可得cos∠CDE==，故∠CDE=，
故AB与CD所成的角为
故答案为：
【点评】本题考查异面直线所成的角，补出正方体是解决问题的关键，属中档题．
14．（4分）（2011•上海）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为 ．
【考点】根与系数的关系；复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】化简方程的左边，比较系数，求出a，b，再求方程的虚根．
【解答】解：
由题可知（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x﹣1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]
比较系数可得，∴
∴原方程的一个虚根为，中的一个
故答案为：
．
【点评】本题考查方程的根，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2011•上海）若向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
【解答】解：
由，则．
所以．
则．
故选C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
16．（5分）（2011•上海）f（x）=的图象关于（ ）
A．原点对称 B．直线y=x对称 C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称
【考点】奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．
【解答】解：
因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．
f（x）==，
则f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．
故函数f（x）的图象关于原点对称．
故选A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数奇偶性的图象关系，将函数进行化简是解决本题的关键．
17．（5分）（2011•上海）直线l：
y=k（x+）与圆C：
x2+y2=1的位置关系是（ ）
A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题；直线与圆．
【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离d，再根据d与半径r的大小关系，得出结论．
【解
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