2015年北京高考数学文科试题及答案.doc
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：
共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合则（）
（A）（B）（C）（D）
（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
（3）下列函数中为偶函数的是（）
（A）（B） （C）（D）
（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）
（A）90（B）100（C）180（D）300
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
（6）设是非零向量，“”是“//”的（）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
（A）1（B）（B）（D）2
（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）复数的实部为 ．
（10）三个数中最大数的是 ．
（11）在中，则．
（12）已知是双曲线的一个焦点，则 ．
（13）如图，及其内部的点组成的集合记为D，为D中任意一点，则的最大值为 ．
（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ．
②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最小值。
（16）（本小题13分）已知等差数列满足
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足；问：
与数列的第几项相等？
（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
（18）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，,且,分别为的中点。
（Ⅰ）求证:
//平面;
（Ⅱ）求证：
平面⊥平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
（19）（本小题13分）设函数。
（I）求的单调区间和极值；
（II）证明：
若存在零点，则在区间上仅有一个零点。
（20）（本小题14分）已知椭圆：
过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点。
（1）求椭圆的离心率；
（II）若垂直于轴，求直线的斜率；
（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A
（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）（11）（12）（13）（14）乙数学
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（13分）解：
（Ⅰ）
的最小正周期为.
（Ⅱ）
当时，即时，取得最小值.
所以在上的最小值为
（16）（共13分）解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为.
又
（Ⅱ）设等比数列的公比为.
由
与数列的第63项相等.
（17）（共13分）解：
（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，
另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。
（18）（共14分）解：
（Ⅰ）因为分别为的中点，
所以
又因为平面,
平面
所以平面
（Ⅱ）因为，为的中点，
所以.
又因为平面平面，且平面，
平面平面
所以平面，又因为平面
所以平面平面
（Ⅲ）在等腰直角中，
所以
所以正的面积
又因为平面，
所以,
又因为,所以.
（19）（共13分）
解：
（Ⅰ）由
所以的定义域为
令解得
与在区间上的情况如下：
减
增
所以，的单调减区间为，单调增区间为；
在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.
因为存在零点，所以，所以.
①当时，在区间上单调递减，且.
所以是在区间上的唯一的零点.
②当时，在区间上单调递减，且
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知：
若存在零点，则在区间上仅有一个零点。
（20）（共14分）
解：
（Ⅰ）椭圆的标准方程为
所以
所以椭圆的离心率
（Ⅱ）因为直线过点且垂直于轴，所有可设
直线的方程为.
令，得.
所以直线的斜率.
（Ⅲ）直线与直线平行，证明如下：
①当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.
又因为的斜率所以
②当直线的斜率存在时，设其方程为
设则直线的方程为
令，得点.
由得
所以
直线的斜率.
因为
所以，所以
综上所述，直线与直线平行.
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