2010年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

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2010年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（　　）

A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}

【考点】交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】集合．

【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．

【解答】解：

∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，

∴P={0，1，2}，

∵M={x∈Z|x2＜9}，

∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴P∩M={0，1，2}，

故选B．

【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．

2．（5分）（2010•北京）在等比数列{an}中，a1=1，公比q≠1．若am=a1a2a3a4a5，则m=（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4a5，求得am=a1q10，根据等比数列通项公式可得m．

【解答】解：

am=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11

【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

3．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有

【专题】立体几何．

【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．

【解答】解：

由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，

由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．

故选：

C．

【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．

4．（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（　　）

A．A88A92 B．A88C92 C．A88A72 D．A88C72

【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有

【专题】排列组合．

【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：

用插空法解决的排列组合问题，

将所有学生先排列，有A88种排法，

然后将两位老师插入9个空中，

共有A92种排法，

∴一共有A88A92种排法．

故选A．

【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．

5．（5分）（2010•北京）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（　　）

A．两个圆 B．两条直线

C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线

【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有

【专题】坐标系和参数方程．

【分析】由题中条件：

“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．

【解答】解：

方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，

ρ=1是半径为1的圆，

θ=π是一条射线．

故选C．

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

6．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有

【专题】简易逻辑．

【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．

【解答】解：

，

如，则有，

如果同时有，则函数f（x）恒为0，不是一次函数，因此不充分，

而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．

故答案为B．

【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算．

7．（5分）（2010•北京）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（　　）

A．（1，3] B．[2，3] C．（1，2] D．[3，+∞]

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=ax的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．

【解答】解：

作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，

由得到点C（2，9），

当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，

而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．

故选：

A．

【点评】这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．

8．（5分）（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）

A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关

C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】立体几何．

【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．

【解答】解：

从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，

而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．

故选D．

【点评】本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2010•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为　（﹣1，1）　．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标．

【解答】解：

∵，

∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）

故答案为：

（﹣1，1）

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标．

10．（5分）（2010•北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=　1　．

【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有

【专题】解三角形．

【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．

【解答】解：

在△ABC中由正弦定理得，

∴sinB=，

∵b＜c，

故B=，则A=

由正弦定理得

∴a==1

故答案为：

1

【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．

11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：

厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=　0.03　．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为　3　．

【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有

【专题】概率与统计．

【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．

【解答】解：

∵直方图中各个矩形的面积之和为1，

∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，

解得a=0.03．

由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．

其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，

所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．

故答案为：

0.03，3．

【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．

12．（5分）（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=　5　；CE=　　．

【考点】圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有

【专题】立体几何．

【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．

【解答】解：

首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，

于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，

故BE为直径，因此∠C=90°，

由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，

故CE=．

故填：

5；．

【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．

13．（5分）（2010•北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为　（4，0），（﹣4，0）　；渐近线方程为　y=x　．

【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．菁优网版权所有

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．

【解答】解：

∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，

b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x

故答案为：

（4，0），（﹣4，0）；y=x

【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．

14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为　4　；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为　π+1　．

【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有

【专题】函数的性质及应用．

【分析】正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

【解答】解：

从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，

这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．

下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，

P点从x轴上开始运动的时候，首先