电子科大图论课件——第7章.ppt

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第七章第七章图图的的着着色色7.1图的边着色图的边着色设设A,B是两个集合，是两个集合，是是A到到B的一个映射，记为的一个映射，记为：

AB，对，对,令令（A）=（a）|aA，1（B）=x|（x）B特别地当特别地当Bb时，时，1（B）也记为也记为-1（b）。

定义定义1给定图给定图G=（V,E）,称映射称映射：

E1,2,k为为G的一个的一个k-边着色，简称边着色，称边着色，简称边着色，称1,2,k为色集。

为色集。

若若为为G的边着色且的边着色且，当，当相邻时，相邻时，则称该着色是，则称该着色是正常的正常的。

图。

图G的正常的正常k-边着色的最小边着色的最小k值称值称为为G的的边色数边色数，记为，记为，简记为，简记为。

下图中的下图中的（a）,（b）表达了一个图的两个表达了一个图的两个3-边着色，其中边着色，其中（b）为正常为正常3-边着色，边着色，（a）（b）c易知该图有易知该图有=3若若图G存在一个正常存在一个正常k-边着色，着色，则称称G是是k-边可着色的边可着色的。

设设A是一个集合。

是一个集合。

A的一个子集族的一个子集族A1,A2,Ak若满足当若满足当ij时，时，AiAj=,并且并且A1A2Ak=A，我们则称我们则称A1,A2,Ak为为A的一个的一个分划分划。

边着色问题，也是边集的分划问题。

边着色问题，也是边集的分划问题。

即将即将E分划为分划为子子集族集族A1,A2,Ak,使使Ai的边全的边全着着i色色（称称Ai为色组为色组）.很明显任何正常边着色中和任一顶点关联的各很明显任何正常边着色中和任一顶点关联的各边必须着不同色，由此推知边必须着不同色，由此推知c（1.1）易知易知,若着色是正常的且若着色是正常的且G无环，则每个非空色无环，则每个非空色组均为组均为E的匹配的匹配.证明证明设设Km,n的互补顶点子集为的互补顶点子集为X=x0,x1,xm-1和和Y=y0,y1,yn-1。

假定。

假定mn,此时此时n.令令：

E（Km,n）0,2,n-1例例1给出给出Km,n的一个正常的一个正常-边着色，由此证明边着色，由此证明c（Km,n）=（）nmjiKEyx,记为使使,（xiyj）=（i+j）（modn）inj任取任取Km,n中两条邻边中两条邻边xiyj和和xiyk,jk。

若。

若（xiyj）=（xiyk）,则则inj=ink,从而从而jk，矛盾。

所以，矛盾。

所以（xiyj）（xiyk）。

同理，对邻边同理，对邻边xiyj和和xkyj,也有也有（xiyj）（xkyj）。

以上。

以上表明表明是正常边着色。

从而是正常边着色。

从而cc（Km,n）ncc（Km,n）=再连同再连同（1.1）式便得式便得设设是图是图G的某个子图的边着色，对的某个子图的边着色，对G的点的点u，如果，如果与与u相关联的边的着色未用到颜色相关联的边的着色未用到颜色i,那么我们称那么我们称u缺缺i色色。

下文的边着色均指正常边着色。

下文的边着色均指正常边着色。

定理定理1若若G图是偶图，则图是偶图，则cc=证明证明对边数对边数m用归纳法。

用归纳法。

当当m1时，时，1，有，有cc=1。

设设G是至少两条边的偶图。

取是至少两条边的偶图。

取uvE（G），令，令G=G-uv。

由归纳假设。

由归纳假设cc（G）（G）。

因因（G）（G），故，故G存在一个存在一个（G）-边着色边着色。

在。

在G中，中，对着色对着色,因边因边uv未着色，故未着色，故u和和v均至少缺少一种色。

均至少缺少一种色。

设设u缺缺i色。

若色。

若v也缺也缺i色，则可给色，则可给uv着着i色色,从而得到一个从而得到一个G的一个的一个（G）-边着色。

边着色。

设设v不不缺缺i色，而缺色，而缺j色色（ji）。

令。

令H（i,j）是由着是由着i色的边和色的边和着着j色的边导出的的子图。

因色的边导出的的子图。

因H（i,j）的点在的点在H（i,j）中最多关联中最多关联两条边，故两条边，故H（i,j）的分支是路或圈。

因的分支是路或圈。

因v缺缺j色色而而不缺不缺i色色，故在故在H（i,j）中中v的度为的度为1。

这表明。

这表明H（i,j）的含的含v的分支是以的分支是以v为为起点的路起点的路。

我们说点我们说点u不在不在中。

这是因，一方面中。

这是因，一方面是由着是由着i色与着色与着j色的边交替组成，另一方面色的边交替组成，另一方面u缺缺i色。

所以若色。

所以若u在在中，中，则则u只可能是只可能是的终点。

这样，的终点。

这样，的长为偶。

从而的长为偶。

从而+uv是是G中个奇圈，这与中个奇圈，这与G是偶图无奇圈矛盾。

是偶图无奇圈矛盾。

引引理理1设设G是是简简单单图图，x与与y1是是G中中两两个个不不相相邻邻的的顶顶点点，是是G的的一一个个正正常常k-边边着着色色。

若若对对该该着着色色，x,y1以以及及与与x相相邻邻的的点点均均至至少少缺缺少少一一种种颜颜色色，则则Gxy1也也是是k-边可着色的。

边可着色的。

（证明略证明略）在在中交换中交换i色与色与j色，再对边色，再对边uv着着i色便得色便得G的一个的一个（G）-边着色。

这表明边着色。

这表明cc（G）（G），再由，再由（1.1）式知式知cc（G）=（G）定理定理2若若G是简单图，则是简单图，则cc=或或cc=+1证明证明由由（1.1）式，只须证式，只须证cc+1即可。

即可。

设设G是具有是具有m条边的简单图，对条边的简单图，对m用归纳法。

用归纳法。

当当m1时，时，1，cc=1，有，有cc+1。

设设m2,取取G中一条边中一条边xy,令令G=Gxy。

由归纳假设。

由归纳假设cc（G）（G）+1。

因。

因（G）（G），故，故cc（G）（G）+1cc（G）k=（G）+1。

设设（G）+1=k,故存在故存在G的正常的正常k-边着色边着色。

在。

在G中，中，对对，显然每个点至少缺少一种颜色。

于是由引理，显然每个点至少缺少一种颜色。

于是由引理1G+xy=G是是k-边可着色的，从而边可着色的，从而cc（G）（G）+1=（G）-1+1=（G）推推论论1设设G是是（G）0的的简简单单图图。

若若G中中恰恰有有一一个个度度为为（G）的的点点，或或G中中恰恰有有两两个个度度为为（G）的的点点并并且且这这两两个个点点相相邻邻，则则cc（G）=（G）证明证明设设G中恰有的两个度数等于中恰有的两个度数等于（G）的点为的点为x与与y,且且x与与y相邻。

令相邻。

令G=G-xy，显然，显然（G）=（G）-1，由，由定理定理2，从而存在从而存在G的正常的正常（G）-边着色边着色。

因对。

因对=（G）-1故对故对G，在，在下每个点均至少缺少一种颜色，由引理下每个点均至少缺少一种颜色，由引理1可可知知G+xy=G是是（G）边可着色的。

从而边可着色的。

从而cc（G）（G），所以，所以cc（G）=（G）。

当当G中恰有一个度中恰有一个度为（G）的点的点x时，可任取一个与，可任取一个与x相相邻的点的点y,令令G=G-xy，仿前也可推得，仿前也可推得cc（G）=（G）推论推论2设图设图G=（V,E）是是n阶简单图，若阶简单图，若n=2k+1且边数且边数mk,则则cc=+1。

证明证明因因G是简单图，由边着色的定义可知，对是简单图，由边着色的定义可知，对G的任一的任一正常边着色，着同色的边最多正常边着色，着同色的边最多=k条条21-n（）2112-+k所以若所以若cc=，则，则G的边数最多的边数最多k，即，即mk，这与已知这与已知mk矛盾，故矛盾，故cc。

再由定理。

再由定理2可得可得cc=+1例例2试确定图中所给出的试确定图中所给出的4个个5阶图的边色数。

阶图的边色数。

G1G2G3G4解解对对G1，点点数数n=5=22+1，边边数数m=9，=4，满满足足m=98=24,由由推推论论2,cc（G1）=+1=5。

对对G2，G3和和G4，它们都不满足推论，它们都不满足推论2但均满足推论但均满足推论1，故，故cc（G2）=4，cc（G3）=4，cc（G4）=3。

推论推论3设设G是奇阶是奇阶-正则简单图。

若正则简单图。

若0，则，则cc=+1。

证证明明因因G是是奇奇阶阶图图，故故可可设设G的的点点数数n=2k+1，边边数数为为m。

又又因因G是是-正正则则图图，每每个个点点的的度度均均为为，从从而而由由度度数数之和等于之和等于2倍边数得倍边数得n=2m（2k+1）=2m2k2mmkcc=+1（推论推论2）例例2试确定图中所给出的试确定图中所给出的4个个5阶图的边色数。

阶图的边色数。

G1G2G3G4例例3设设n=2k+1，k0。

求。

求cc（Cn）和和cc（Kn）,其中其中Cn为为n圈。

圈。

解解因因Cn是是2-正则简单图正则简单图,Kn是是（n-1）-正则简单图正则简单图,由推论由推论3，cc（Cn）=2+1=3,cc（Kn）=（n-1）+1=n。

定理定理22是是Vizing（1964）Vizing（1964）和和Gupta（1966）Gupta（1966）各自独立各自独立得出的一个重要定理。

实际上得出的一个重要定理。

实际上VizingVizing还证明一个比定还证明一个比定理理22更一般的定理。

更一般的定理。

定理定理3（Vizing定理）定理）设无环图设无环图G的最大重数为的最大重数为，则，则cc+例例4右图是一个边色数达到右图是一个边色数达到+的图，其中的图，其中=4,=2。

注注:

维津维津（Vizing）:

1937年出生于乌克兰的基辅。

年出生于乌克兰的基辅。

1954年开年开始在托木斯克大学学习数学，始在托木斯克大学学习数学，1959年大学毕业保送到莫斯年大学毕业保送到莫斯科斯特克罗夫研究所攻读博士学位，研究函数逼近论。

但科斯特克罗夫研究所攻读博士学位，研究函数逼近论。

但这不是他的兴趣所在，因此没有获得学位。

这不是他的兴趣所在，因此没有获得学位。

1966年在季科年在季科夫的指导下获得博士学位。

和大多数数学家一样，维津在夫的指导下获得博士学位。

和大多数数学家一样，维津在音乐方面具有一定才能。

音乐方面具有一定才能。

维津在攻读博士学位期间，发现并证明了上面的维津维津在攻读博士学位期间，发现并证明了上面的维津定理。

他当时把论文投向一家非常著名的杂志，但由于定理。

他当时把论文投向一家非常著名的杂志，但由于审稿人认为问题本身没有意义而遭到拒绝。

后来在另外审稿人认为问题本身没有意义而遭到拒绝。

后来在另外一家地方杂志发表时，定理早已出名。

一家地方杂志发表时，定理早已出名。

7.2顶点着色顶点着色定义定义1给定图给定图G=（V,E）,称映射称映射：

V1,2,k为为G的一个的一个k-点点着色，简称着色，称着色，简称着色，称1,2,k为色集。

为色集。

若若对对G中任意两个相邻顶点中任意两个相邻顶点u和和v均满足均满足（u）（v）,则则称该着色称该着色是是正常的正常的。

图。

图G的正常的正常k-着色的最小着色的最小k值称为值称为G的的色数色数，记，记为为cc（G），简记为，简记为cc。

维津认为：

一名数学家应该不断研究与发现新结果，然维津认为：

一名数学家应该不断研究与发现新结果，然后让时间来检验其重要性。

后让时间来检验其重要性。

若图若图G存在一个正常存在一个正常k-着色，则称着色，则称G是是k-可着色的可着色的。

设。

设是是G的一个着色，的一个着色，u为为G中的点，我们也称中的点，我们也称（u）为为u的着色，的着色，或或u着着（u）色。

色。

（a）（b）上图的上图的（a）,（b）表达了一个图的两个表达了一个图的两个3-着色，其中着色，其中（b）为为正常的，易知该图有正常的，易知该