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除了以下例外，几乎所有的经济增长模型都和总量生产函数密切相关。
亚当?
?
斯密（AdamSmith,1723—176>
90）、李嘉图（DavidRicardo,1772-1823）和马尔萨斯（ThomasRobertMalthus,1766-1834）等人的经济增长思想所组成的古典经济增长理论没有应用数学模型和生产函数探讨经济增长问题。
对哈罗徳一多马模型（Harrod-DomarModel）[1][2]而言，虽然当时他们并没有应用生产函数建立模型，但是后人都认为里昂惕夫生产函数（Lconticffunction）[3]符合他们的分析，而且应用这个生产函数形式重新解释了哈罗德一多马模型（Harrod-DomarModel）。
专业化分工内生经济增长模型回避了总量生产函数方法存在的问题，从由专业化水平决定的个人生产函数的角度说明经济的动态均衡特征。
贝克尔和墨菲（GaryS.Becker&
amp;
KevinMurphy,1992）[4]模型通过考察代表性企业、劳动分工、知识和协调成本，得到了劳动分工和增长直接的关系;
Yang,XiaokaiandJ.Borland（1991）[5]模型通过考察同时作为生产者和消费者的个人，直接建立了人均产出水平与专业化水平Z间的关系，从而避开了从微观的个人或企业的生产函数加总为总量生产函数所面临的困难；
纳尔逊和温特（RichardNelson&
SidneyWinter,1982）[6]从演化的视角，通过微观分析而不通过生产函数，也不假设企业利润最大化，而通过演化模拟得到了宏观经济增长模型。
采用总量生产函数方法构造经济增长模型的思路始于索洛
（Robert?
M?
Solow）1956年发表的经典论文"
AContributiontotheTheory
ofEconomicGrowth”[7],此后，总量生产函数在宏观经济学研究中得到了广泛的运用。
新古典经济增长理论和新增长理论（内生增长理论）的研究起点除了基于现实经济现象以外，还基于一些严格假设和一些数学分析工具，其中最重要的要数各种形式的生产函数。
例如常见的生产函数形式：
里昂惕夫生产函数（Leontieffunction）、线性生产函数（linearfunction）、科布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）>
恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution（CES）production）以及它们各自的很多扩展形式。
研究者也各自采用不同的生产函数形式构造了不同的经济增长模型来分析有关的经济增长问题。
是分析现实问题的不同需要，建立不同的经济增长模型而必须采用不同的牛产函数形式，还是由于采取了不同形式的生产函数而决定了不同的经济增长模型，从而决定了不同的经济增长理论分类呢？
在此，介绍常见的生产函数，运用这些函数的经济增长模型，并分析生产函数和经济增长模型之间的关系。
一、新古典性质的生产函数
（-）新古典生产函数的性质[8]
在建立新古典经济增长模型以及内生经济增长模型吋，研究者-•般都是在新古典生产函数的基础上探讨经济增长问题。
如果生产函数满足以下三个性质，就称它是新古典牛产函数。
第一，对所有和，呈现出对每一种投入的正且递减的边际产品，，。
第二，呈现出不变规模报酬，对所有。
不变规模报酬条件意味着产出可被写成：
，
是资木一劳动比率，是人均产出，函数被定义为等于。
所以这一结果意味着生产函数可以被表示为如下得集约形式（intensiveform）：
o
第三，随着资本（或劳动）趋于零，资本（或劳动）的边际产品趋于无穷大;
随着资本（或劳动）趋于无穷大，资本（或劳动）的边际产品趋于零，
最后这条性质被称为稻田条件，得名自稻田（KenichiInada,1964）[9][10]。
稻田条件意味着：
和。
。
（二）如何看待新古典生产函数的性质
从以上的性质中，我们可以看到新古典牛产函数隐含的假设：
一是，经济体足够大，专业化的收益已被穷尽；
二是，资本和劳动市场是完全竞争的；
三是，资本和劳动以外的投资和因素对经济增长是无关紧要的。
新古典性质的生
产函数隐含的这些假设就限制了新占典经济增长模型的解释力。
索洛（Robert?
Solow,1956）斯旺（Swan,1956）[11]以及其他新古典经济增长理论学家就是假设生产函数满足以上性质，运用资本动态方程并设置一些约束条件来进行讨论的。
还有，拉姆齐一卡斯一库普曼斯模（Ramsey-Cass-KoopmansModel）[12][13][14][15]和戴蒙德模型（DiinondModel）[16]以及它们的扩展形式也属于新古典经济增长理论。
在新古典模型中，人均数量，，在稳态中都不增长。
而总量，，在稳态中以的速率增长。
也就是说，在长期里，技术水平、储蓄率、人口增长率和折旧率的变化不影响人均产出、资木和消费的稳态增长率，从而新古典模型也就不能对长期的经济增长找到动力。
这样的结论可以从生产函数的假设中找到答案，因为，和规模报酬不变，这说明随着一个经济体的人均资本的积累，它的边际人均资本是递减的，当资本积累到边际人均资本抵消折I口和人口增长时就会停止，这吋经济增长也就陷入了停滞。
不过根据跨国数据验证新古典模型对各个国家的条件收敛能够解释，而对绝对收敛不能够解释。
就是因为新古典模型的这种缺陷，导致新古典经济增长理论在20世纪70年代淡出了主流研究。
研究者开始寻求经济增长的源泉，并开始假设规模报酬递增，改变生产函数的形式，并对技术创新，政府支付，产品质量提升，产业组织结构等因素开始研究。
20世纪80年代中期，经济增长理论研究又开始兴起，形成了今天我们称之为的内生经济增长理论。
不过大部分内牛经济增长模型也采用了新古典性质的牛产函数，只是引入了屮间产品部门、人力资本生产部门、研发部门以及制度因素使得生产函数的投入要素的质量得以提升，从而产生了内生增长。
但是内生增长也不会是无限制的增
长，因为新古典生产函数要是投入的边际报酬递减约束了增长的速度和极限。
二、常见生产函数和经典的经济增长模型
可以验证，里昂惕夫生产函数（Leontieffunction）不是具有新古典性质的生产函数，科布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）的基本形式满足新古典生产函数的性质，而它的有些扩展形式不能满足这些性质，恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution（CES）production）的各种形式都不能完全满足新古典性质。
也就是这些生产函数的形式不同才使它们拥有了不同的性质，从而决定了应用它们的不同经济增长模型的性质。
研究者也把它们分别应用到不同的模型屮来分析不同的问题，以得到不同的结论。
在此，只是介绍各种经济增长模型所采用的生产函数，说明生产函数及其性质与经济增长理论模型有着及其密切的关系，并不具体介绍各种经济增长模型本身。
还有，从生产集到生产函数，生产技术必须满足很好的性质。
不同的生产函数就满足了不同的牛产技术，也就拥有了不同的性质，从而在某种程度上也决定了应用这种生产函数的模型的结论和性质以及解释现实的能力。
（一）里昂惕夫生产函数（Leontieffunction）
此函数的基本形式为，，和，由于是WassilyLeontief（1941）率先使用，所以叫里昂惕夫或固定比例牛产函数，在微观经济学牛产理论和宏观经济学以及经济增长理论屮也常常被使用。
哈罗德（R・FHarrod,1939）,多马（EvseyD.Domar,1946）就是本质上应用它来构造经济增长模型。
由于比例固定，如果，即可以利用的资本存量和劳动力恰好都被利用。
如果，那么只有数量的资本被利用，剩余的资木被闲置。
如果，那么只有数量的劳动力被使用，剩余的劳动力被闲置。
由于里昂惕夫生产函数（Leontieffunction）假设资本和劳动力之间无替代性，从而导致了经济的“刀锋式”增长，一旦有保证的增长率和实际的增长率不等于劳动力的自然增长率，经济增长就会越来越偏离自然的均衡增长，造成灾难性后果。
可以说这个模型是经济增长理论发展史上的一个革命，它开启了应用数理模型研究经济增长的先河，并从动态的角度分析问题。
可他们的错误就在于选择了一个静止的生产函数作为分析工具来研究分析动态的经济增长问题，所以得到了与现实不符的结论。
但是这符合了当时的经济情况，当时经济大危机正席卷西方发达资木主义社会，一方面资木品大量闲置，而另一方面劳动力大量失业。
而且这个生产函数也在某一点上说明了资本和劳动的技术比例，体现了在一个静止时间点的技术，只不过而这些点是不连续的，导致了资本和劳动之间无法取代。
不过这也给以后的生产函数和经济增长理论的进一步发展提供了契机和方向。
（二）vonNeumannfunction[17]
大都认为vonNeumarm（1937）是第一个使用线性生产函数的经济学家。
以后也有经济学家用线性生产函数对经济增长问题进行研究。
Rebelo,Sergio（1991）[18]假设生产函数为一是每个吋间的技术水平，也可以说是生产效率。
是广泛意义上的资本，它包括物资资本、人力资本和知识存量，甚至社会资本。
Jones,LarryE.andRodolfoE.Manuelli（1990）[19]设计了函数和科布一道
格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）的组合。
方程为:
科布一道格拉斯牛产函数是指由美国经济学家科布（C・W.Cobb）和道格拉斯（P.II.Douglas）在20世纪20年代后期做了大量实证研究并获得广泛使用的一种生产函数，这种生产函数是幕函数，其形式如下：
这种牛产函数在经济上和数学上有许多优点。
在微观和宏观中这个函数及其变形得到广泛的应用。
研究者也应用经济运行中的实际数据來验证函数解释现实的能力，并确定了美国的值，大体在0.75左右。
当然不同国家的数值是不同的。
由于函数的一次齐次性，函数代表的生产技术是规模报酬不变的，而口资本和劳动的边际报酬是递减的。
因为在新古典经济增长理论屮，经济增长率是外生决定的，即取决于模型的外生变量。
所以研究者就继续探求影响经济增长的内生因素，并变换函数的形式和参数。
以科布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）为基础，引进其他因素研究经济增长问题的变形生产函数为数众多。
以下就简单介绍几个经典模型：
1、罗默（PaulM.Romer,1986）“干中学”和知识外溢模型[20]
如果生产函数采取科布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）则:
对第个厂商生产函数:
对于整个社会的生产函数则是：
,然后根据一些约束条件方程讨论经济增长问题。
虽然生产函数满足新古典生产函数性质。
但由于做了两个假设，第一、“干中学”需要靠每个企业的投资获得。
第二、每个企业的知识都是公共品，任何其他的企业都能无成本获得。
所以，虽然资本和劳动的边际报酬是递减的，但是“干中学”和知识的外溢作用抵消了这种趋势，当后者的递增作用人于前者的递减趋势时，经济就会持续内生增长，而不是像新古典经济增长模型一样资本和劳动的边际报酬会随着投资的增加会趋于零，经济增长只有依赖于模型的外牛变量。
2、人力资本模型[21][22]
（1）简单的具有物质和人力资本模型（具有物质和人力资本的单部门模型）
，为物质资木，是人力资木，可以理解为工人数目乘以代表性工人的人力资本。
（2）宇泽一卢卡斯（HirofumiUzawa—RobertE.Jr.Lucas）的两部门人力资本模型
模型采取如下牛产函数形式：
人力资本的外部性，代表性工人的人力资木，为工人数目，为代表性工人把自己的人力资本用于生产的部分，是一个常量，即当时的技术水平。
这个生产函数就违背了新古典生产函数的性质，从而使生产函数本身拥有了规模报酬递增的性质，再把人力资本做为一个投资，虽然人力资本投资的冋报是边际递减的，但是人力资本对于生产的作用是边际递增的。
从而解决了新古典经济增长模型而临的困境。
3、巴罗（RobertJ.Barro,1990）的公共品模型[23]
他把政府的支付引入生产模型，对第个厂商生产函数：
,其实这个生产函数和罗默（Paul\LRomer,1986）干中学和知识外溢模型很类似，只是把罗默（PaulM.Romer,1986）干中学和知识外溢模型中产生外溢和外部性的整体社会资木存量换成政府的支付。
所以分析也是类似的。
牛产函数满足新古典生产函数性质。
由于政府通过基础建设投资以及运用各种手段对经济活动进行干预，所以政府的支付会对私人投资有外部性。
当然外部性会有正有负,就看政府行为的定性了，一般情况下我们假设政府的作用是积极的。
因此，虽然私人的资木和劳动的边际报酬是递减的，但是政府支付的正的外部性作用抵消了这种趋势，当后者的递增作用大于前者的递减趋势时，经济就会内生持续增长，而不是像新古典经济增长模型一样资本和劳动的边际报酬会随着投资的增加会趋于零，经济增长只有依赖于模型的外牛变量。
这些都是在经济增长理论发展中很经典的模型，另外还有很多变种模型，这里不一一介绍了。
而且后面详细介绍的内生经济增长模型，也采用了类似的生产函数。
这也说明科布一道格拉斯生产函数（Cobb-Douglasfunction）因其良好的数学性质而被研究者广泛使用。
（四）恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution（CES）product!
on）[24]
从索洛（Robert?
Solow,1956）开始使用恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution（CES）production）o至今，经济学家们构造了几种类似的函数形式，并且也对函数参数的涵义进行了探讨，进而把它们运用到不同的经济增长模型中来分析不同的问题。
其中最为有名和常用的是以下四种：
Solow,1956）并没有明确说明,的经济含义和、的变
化对函数的影响，及其对分析的经济增长模型屮的变量的影响。
有的学者认为，、分别是很资本和劳动有关的常数并依赖于的选择，但也没有给出它们的真正的经济含义。
Arrow,K.J.,Chenery,H.B.,Minhas,B.S.andSolow,R.M.（1961）[25]则稍微改动了基础形式并引进了别的参量。
替代参量，分配参量（），效率参量，并认为效率代表的是希克斯中立型（Hicksneutral）技术进步，而没有包括哈罗德中立型（Harrodneutral）技术进步和非中性技术进步的情况。
David,P.A.andvandeKlundert,T.（1965）[26]引进代表资本和劳动效率水平的参量、，并分别被解释为劳动扩展型和资本扩展型进步。
巴罗和萨拉伊马丁（BarroandSala-i-Martin,1995）[27],也综合了以上的函数形式和参数提出了自己的函数形式，并具体分析了函数的性质。
其实以上生产函数在本质上都是一样的，虽然它们的形式的变化是从简单到复杂，研究者采用不同形式分析问题时也分别给予不同的参数以不同的含义。
这里也可以给出以下三个更具一般意义的牛产函数形式:
为制度因素，为地理环境因素，我们都把它们引进生产函数之中。
、、、分别表示资本（capital劳动（labor）>
制度环境（institutionalenvironment）和地理环境（geographicenvironment）因素在牛产中所占重要程度的权重，也可以说是分配参数，参数越大就表示在生产屮重要程度越大。
、、和分别表示资本、劳动、制度环境和地理环境的效率参数，参数越大就表示在生产中要素使用的效率越高，对于制度环境来说就是制度环境越有利于生产，对于地理环境来说就是地理环境有利于生产。
而我们制度这四种因素就包含了几乎所有的生产因素，不同模型的区别就在于对其中某些因素的具体讨论。
我们可以用一个通用的函数形式得到另外其它的函数形式。
函数
（1）、
（2）、
（3）可以统一起来，
（1）可变化为：
所以，令EMBEDEquation.DSMT4和和是相同的。
令EMBEDEquation.DSMT4和和也是相同的。
只是可能它们参数的大小有别而己。
可以变为:
和比较可知，是的一个特例。
根据、、、、我们可以引进新的参数进一步得到、、。
从后面减少参数和改变参数的假设我们也可以依次得到前面的函数形式八由于要素增多大于两个，技术替代率和替代弹性的计算也要两两要素分别计算，也就变得更为复杂。
三、替代弹性、技术替代率（TRS）及其经济内涵
在二维的情况下，技术替代率正好是等产量线的斜率。
在维的情形下，技术替代率是按特定方向度量的等产量曲面的斜率。
或，这就是给定一个特定的点的两种要素之间的技术替代率。
这是用隐函数的方法得到的,也可以用全微分的方法得到同样的结论。
替代弹性度量等产量线的曲率。
即替代弹性度量当产量保持不变时，要素比率的百分比变动除以技术替代率的百分比变动。
表示要素比率的变动，表示技术替代率的变动，我们可以将替代弹性表示为：
，如果我们认为百分比变动很小，当趋于0吋，取以上表达式的极限。
，也可以写为"
技术替代率和替代弹性的大小也决定了各种要素之间的替代关系，从而也决定了经济增长理论屮很多问题的讨论，比如均衡增长问题，增长收敛和收敛速度问题，均衡增长所处状态以及各种参数的水平等很多问题。
各种牛产函数替代弹性是不同的。
恒替代弹性生产函数（consentelasticityofsubstitution（CES）produclion）
当,，
恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution
（CES）production）就退化为里昂惕夫（Leontieffunction）
恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution
（CES）production）就退化为科布一道格拉斯（Cobb-Douglasfunction）
恒替代弹性生产函数（constantelasticityofsubstitution（CES）production）就退化为vonNeumarmfunction
在现实经济运行屮，很多因素可以决定替代弹性和技术替代率。
既然这两个指标都是衡量不同要素之间的替代程度的变量，任何可能改变生产函数中所引入生产要素流动的因素都能改变它们的大小，从而决定了运用不同生产函数形式的增长理论模型的性质。
这些影响因素大体有法律制度、文化习俗、宗教信仰、组织效率、地理位置和自然资源等其它因素。
如果法律制度和各种组织越有效率，越能给各种生产要素的流动提供一个有效的平台，则替代弹性和技术替代率就越大，也就越有利于经济的增长，经济运行也就越能达到均衡增长路径，经济增长的收敛速度也会越大。
如果文化习俗和宗教信仰越有利于生产要素的流动和经济的增长，地理位置越优越和各种自然资源越丰富，则替代弹性和技术替代率也会越大，也就越有利于经济的增长，经济运行也就越能达到均衡增长路径，经济增长的收敛速度也会越大。
反之，则作用相反。
四、简评生产函数和经济増长模型
从以上介绍可以看到，生产函数和经济增长模型之间有着密切的关系。
从生产函数的形式变化就可以找到经济增长理论发展演变的逻辑主线。
所以，可以说生产函数是经济增长理论发展演变的一条逻辑主线。
不同的经济增长理论和经济增长模型为我们理解经济增长现实提供了不同的可供参考的解释，也为我们调节经济运行和政策决策提供了理论依据。
不过在理解和运用这些模型时，我们需要注意以下几点：
一是，一位诺贝尔经济学奖获得者说经济学本质上是一种智力游戏。
从某种意义上说他所言极是。
从以上介绍的生产函数和与各种生产函数相联系的经济增长理论模型可以看出，研究者者运用不同的工具和生产函数只是向经济现实逐渐靠近，由于各种原因理论永远都无法和现实相符。
述有，理论可以在完全脱离现实，而在自己假设的基础之上，在理想和虚幻的世界里进行着自己的推理。
二是，从所选生产函数可以看出，不同时期的经济增长模型从考虑单个资本,到考虑资本的各种形式；
劳动力也从简单的劳动变化到复杂的劳动；
后来又把制度和经济运行中的各种组织形式考虑进来；
乂进一步把文化和政府的作用考虑进来。
从而分析这些因素对经济增长的影响和决定作用。
以及不同国家之间这些因素的不同而造成的经济增长率和收敛速度的差别。
从而采取生产函数作为重要分析工具的经济增长理论也就一步步发展。
所以，我们要根据所面临的约束环境选择经济增长模型分析不同国家和地区的经济増长问题。
三是，从以上也可以看到经济增长理论面临的尴尬。
就是生产函数本身存在的内在缺陷：
经济学家通过设定一些假设和变量，构造一定的生产函数，然后通过选择数据来验证生产函数，如果生产函数没有很好地和数据吻合，就再修正生产函数的参数来吻合数据，然后得到一个比较吻合现实数据的函数形式，用这个函数分析和预测经济运行。
在这个逻辑过程屮，可以看到缺陷Z处，一就是数据是过去的，是经过使用者运用一定的标准精心选择的。
二是数据的可靠性、真实性有待考证和检验。
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