中考压轴题复习特殊多边形存在性问题.docx

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中考压轴题复习特殊多边形存在性问题

2015初三加油站

特殊多边形存在性问题

目标一：

等腰三角形的存在性问题

【解题技巧】图形因动点的变化而变化，在变化的过程中构成等腰三角形的情况一定要分类讨论，有坐标系的动点问题中简单粗暴的方法是代数法，利用点的坐标直接把三角形的边都表示出来；纯几何图形中的动点问题一般利用三线合一或相似比快速解决问题。

学神的方法是数形结合，看图说话，以数解题。

例1（2012广西）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.

例2（2012朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。

（1）求点C的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；

（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；

（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

例3、如图已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转

点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成三角形ABC，设AB=x.

（1）求x的取值范围；

（2）若三角形ABC为等腰三角形，求x的值；

（3）探究：

三角形ABC的最大面积

【堂上练习】

1、（2010南通）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

2、（2012广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（－3，0）和点B（2，0）．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（－2，0）．问：

是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由

目标二：

直角三角形的存在性问题

【解题技巧】一个三角形有三个角，这三个角每个角都有可能成为直角，所以做这类题目时要分类讨论，直角三角形经常伴随着勾股定理出现，难一点的题目是结合圆，考虑直径对应的圆周角是直角。

例1、直线L与x轴、y轴分别交于点A（0,1），B（4,3），P是x轴上一点，

连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，点P的坐标为（）

A.（1，0），（3，0），（

，0），（11，0）B.（

，0），（11，0）

C.（

，0），（

，0），（1，0），（3，0）D.（

，0），（11，0），（1，0），（3，0）

例2、如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：

|OA|=5：

1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？

若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

例3、直线

和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

【堂上练习】

1、如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON

（1）求该二次函数的关系式.

（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.

（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①证明：

∠ANM=∠ONM

②△ANO能否为直角三角形？

如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.

2、（2014广东）在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：

四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？

若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。

目标三：

相似三角形的存在性问题

【解题技巧】两个三角形是否存在相似的情况，思考的第一要务是确定一组角相等，之后根据AA或SAS判定另一组角相等或对应边成比例时情况，普通人只考虑一种情况，学神总会把两种情况考虑周全。

例1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，

点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

（1）求AD的长；

（2）设四边形BFED的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出函数定义域；

（3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．

例2、如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，

OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）直接写出点A、B的坐标：

A（___，___）,B（___，___）；

（2）若抛物线y＝y=

x2+bx+c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是_______________；

（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使

△AMN与△ACD相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（4）当

≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．

【堂上练习】

1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程

x2-（m+5）x+6m=0的两个实数根.

（1）求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）.

（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线的方程C1:

与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.

（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值．

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积．

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与

△BCE相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

3、如图，已知二次函数

的图像过点A（－4，3），B（4，4）.

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：

△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

目标四：

平行四边形的存在性问题

【解题技巧】一般情况下是三个点固定，另外一个动点在动，稍难一点的是两个点在动。

如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：

以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况。

例1、如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．

（1）求∠PAC的正切值

（2）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。

变式、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

例2、已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点，（点P与A，B）不重合，过P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？

若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，说明理由.

例3、（2012福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）。

（1）直接用含t的代数式分别表示：

QB＝______，PD＝______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长。

【堂上练习】

1、已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是_____；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?

若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

3、（2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；

（3）若点P是

（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

目标五：

梯形的存在性问题

【解题技巧】与平行四边形不同，梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

如果是解等腰梯形的题目，往往会解得一个结果是等腰梯形，而另一个结果是平行四边形，应该把平行四边形舍去；如果是解一般梯形的存在性题，则通常利用平行直线的斜率相等的性质解题。

例1、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

例2、（2013广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.

（1）当OC=

时（如图），求证：

CD是⊙O的切线；

（2）当OC＞

时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.

①当D为CE中点时，求△ACE的周长;

②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？

若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。

例3、如图,已知二次函数y=

x²+bx+c的图像经过点A（4,0）和B（3，-2）,点C是函数图像与y轴的交点过C做直线CE//AB

（1）求这个二次函数图像的解析式

（2）求直线CE的表达式

（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D坐标；

【堂上练习】

1、（2014深圳）如图，已知抛物线

与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是_________；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？

若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

目标六：

面积间的等量关系

【解题技巧】动态题目中的面积表示一般有直接公式法和割补法，善于利用同底等高是关键，判断哪条边为底、哪条边为高是突破口，在做两个多边形面积的等量关系中，数形结合往往起到事半功倍的效果

例1、如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=

，点B的坐标为（7，4）．

（1）求点A、C的坐标；

（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；

（3）在第一象限内

（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且

与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?

若存在，

请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

例2、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）。

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第

（2）问中的一次函数的图象与x轴y，轴分别交于点C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：

？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【堂上练习】

1.如图，直线L经过点A（1，0），且与双曲线

（x>0）交于点B（2，1），过点

P（p,p-1）（p>1）作x轴的平行线分别交曲线

（x>0）和

（x<0）于M，N两点.

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y=2上，求证：

△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM？

若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由。

2.（2012河南）面直角坐标系中，直线

与抛物线y＝a

＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．