中考压轴题复习特殊多边形存在性问题.docx
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中考压轴题复习特殊多边形存在性问题
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特殊多边形存在性问题
目标一:
等腰三角形的存在性问题
【解题技巧】图形因动点的变化而变化,在变化的过程中构成等腰三角形的情况一定要分类讨论,有坐标系的动点问题中简单粗暴的方法是代数法,利用点的坐标直接把三角形的边都表示出来;纯几何图形中的动点问题一般利用三线合一或相似比快速解决问题。
学神的方法是数形结合,看图说话,以数解题。
例1(2012广西)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(-2,3),且抛物线与y轴交于点B(0,2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是x轴上任意一点,则当PA-PB最大时,求点P的坐标.
例2(2012朝阳)已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)。
(1)求点C的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;
(4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC(P为上述(3)问中使S最大时点)为等腰三角形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
例3、如图已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1,以A为中心顺时针旋转
点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成三角形ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若三角形ABC为等腰三角形,求x的值;
(3)探究:
三角形ABC的最大面积
【堂上练习】
1、(2010南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若
,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
2、(2012广西)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0).直线y=h(h为常数,且0<h<6)与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BE,求h为何值时,△BDE的面积最大;
(3)已知一定点M(-2,0).问:
是否存在这样的直线y=h,使△OMF是等腰三角形,若存在,请求出h的值和点G的坐标;若不存在,请说明理由
目标二:
直角三角形的存在性问题
【解题技巧】一个三角形有三个角,这三个角每个角都有可能成为直角,所以做这类题目时要分类讨论,直角三角形经常伴随着勾股定理出现,难一点的题目是结合圆,考虑直径对应的圆周角是直角。
例1、直线L与x轴、y轴分别交于点A(0,1),B(4,3),P是x轴上一点,
连接AP,BP.当△ABP是直角三角形时,点P的坐标为()
A.(1,0),(3,0),(
,0),(11,0)B.(
,0),(11,0)
C.(
,0),(
,0),(1,0),(3,0)D.(
,0),(11,0),(1,0),(3,0)
例2、如图,抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:
|OA|=5:
1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
例3、直线
和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.
①求S与t的函数关系式;
②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?
若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.
【堂上练习】
1、如图,顶点为P(4,-4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,OA交其对称轴于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON
(1)求该二次函数的关系式.
(2)若点A的坐标是(6,-3),求△ANO的面积.
(3)当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:
①证明:
∠ANM=∠ONM
②△ANO能否为直角三角形?
如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标,如果不能,请说明理由.
2、(2014广东)在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB点D,BC=10cm,AD=8cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:
四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?
若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由。
目标三:
相似三角形的存在性问题
【解题技巧】两个三角形是否存在相似的情况,思考的第一要务是确定一组角相等,之后根据AA或SAS判定另一组角相等或对应边成比例时情况,普通人只考虑一种情况,学神总会把两种情况考虑周全。
例1、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.在线段BC、CD上有动点F、E,点F以每秒2cm的速度,在线段BC上从点B向点C匀速运动;同时点E以每秒1cm的速度,在线段CD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时,
点E同时停止运动.设点F运动的时间为t(秒).
(1)求AD的长;
(2)设四边形BFED的面积为y,求y关于t的函数关系式,并写出函数定义域;
(3)点F、E在运动过程中,如△CEF与△BDC相似,求线段BF的长.
例2、如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,
OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.
(1)直接写出点A、B的坐标:
A(___,___),B(___,___);
(2)若抛物线y=y=
x2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是_______________;
(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N.问是否存在点M,使
△AMN与△ACD相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)当
≤x≤7,在抛物线上存在点P,使△ABP的面积最大,求△ABP面积的最大值.
【堂上练习】
1.已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程
x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.
(1)求m的值及AC、BC的长(BC>AC).
(2)在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出CD的长;若不存在,请说明理由.
2、如图,已知抛物线的方程C1:
与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值.
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积.
(3)在
(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标.
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与
△BCE相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
3、如图,已知二次函数
的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:
△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
目标四:
平行四边形的存在性问题
【解题技巧】一般情况下是三个点固定,另外一个动点在动,稍难一点的是两个点在动。
如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点:
以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点;如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况。
例1、如图,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P.
(1)求∠PAC的正切值
(2)若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
变式、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,点M在这条抛物线上,点P在y轴上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
例2、已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A,B两点,其中A点坐标为(3,4),B点在y轴上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点,(点P与A,B)不重合,过P作x轴的垂线,与这个二次函数的图象交于E点,设线段PE的长为h,点P的横坐为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?
若存在,求出此时P点的坐标;若不存在,说明理由.
例3、(2012福州)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ,点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0)。
(1)直接用含t的代数式分别表示:
QB=______,PD=______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长。
【堂上练习】
1、已知抛物线y=x2+1(如图所示).
(1)填空:
抛物线的顶点坐标是(______,______),对称轴是_____;
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?
若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
3、(2012黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,点C的坐标为(-18,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式;
(3)若点P是
(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
目标五:
梯形的存在性问题
【解题技巧】与平行四边形不同,梯形是一组对边平行,另一组对边不平行的四边形。
如果是解等腰梯形的题目,往往会解得一个结果是等腰梯形,而另一个结果是平行四边形,应该把平行四边形舍去;如果是解一般梯形的存在性题,则通常利用平行直线的斜率相等的性质解题。
例1、如图,已知抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由
例2、(2013广州)已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.
(1)当OC=
时(如图),求证:
CD是⊙O的切线;
(2)当OC>
时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.
①当D为CE中点时,求△ACE的周长;
②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?
若存在,请说明梯形个数并求此时AE·ED的值;若不存在,请说明理由。
例3、如图,已知二次函数y=
x²+bx+c的图像经过点A(4,0)和B(3,-2),点C是函数图像与y轴的交点过C做直线CE//AB
(1)求这个二次函数图像的解析式
(2)求直线CE的表达式
(3)如果点D在直线CE上,且四边形ABCD是等腰梯形,求点D坐标;
【堂上练习】
1、(2014深圳)如图,已知抛物线
与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=________,点Q到AC的距离是_________;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?
若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C时,请直接写出t的值.
目标六:
面积间的等量关系
【解题技巧】动态题目中的面积表示一般有直接公式法和割补法,善于利用同底等高是关键,判断哪条边为底、哪条边为高是突破口,在做两个多边形面积的等量关系中,数形结合往往起到事半功倍的效果
例1、如图,在平面直角坐标系xoy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上,BC∥OA,OC=AB.tan∠BA0=
,点B的坐标为(7,4).
(1)求点A、C的坐标;
(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式;
(3)在第一象限内
(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得经过点P且
与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?
若存在,
请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
例2、如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)。
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;
(3)第
(2)问中的一次函数的图象与x轴y,轴分别交于点C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:
?
若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【堂上练习】
1.如图,直线L经过点A(1,0),且与双曲线
(x>0)交于点B(2,1),过点
P(p,p-1)(p>1)作x轴的平行线分别交曲线
(x>0)和
(x<0)于M,N两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:
△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM?
若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由。
2.(2012河南)面直角坐标系中,直线
与抛物线y=a
+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?
若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.