初三数学初中数学概念课教学模式案例简析共3页Word格式.docx
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以下是教学过程(
1探究数学概念产生的实际背景
教师活动:
课前准备:
(1)在生产、生活实际中,一切事物间的数量关系都能用一次式表示吗?
(2)有关新概念“代数式”的发生、发展史料收集(
课前:
(1)布置探究问题;
(2)提供查询方向,将学生探索的结果进行引导、加
工、组合(
学生活动:
(1)学生课前根据教师的问题通过多渠道查询(如网络、图书馆、个人资料、小组讨论、请教他人等等),准备答案及素材;
(2)亲身体验有趣而丰富的调查研究结果的过程,并形成一定的观点、看法;
(3)学生之间交流、讨论并与教师交流所获得的信息,加工信息,写出结论(
简析:
使学生通过收集和思考问题,尽快地投入到对新概念的探究中去(从而激
发学生好奇、探究和创造欲望,将获得的材料、信息在自己的大脑中进行比较分类,分析概括,从而提高学生的心理品质与思维能力,使学生养成一种喜欢探究问题的良好习惯(
教学活动:
学生举例收集(选择部分内容):
(1)运动员经,秒跑完400米,平均速度:
400,,米/秒;
(2)一个三角形的底边长为,,咼线
长为,,1,它的面积:
(1,2),(,,1);
(3)棱长为,的立方体,它的体积:
;
⑷
大米单价是每千克3(20元,食油单价是每千克8(40元,买,千克大米和,千克食油的总价:
3(20,,8(40,(元);
(5)梯形高线长,,上、下底分别为,和,,梯形面
积:
(1,2)(,,,),(
从实际问题出发,经过数学化,与学生共同从中提炼出上述问题的共性
特征:
用运算符号把数与字母连结而成的式子(称为代数式)(
2提出数学新概念
教师活动(电脑展示“代数式”的有关数学史料):
卡片1:
伟大的德国数学家莱布尼茨说过:
“符号的巧妙和利用符号的艺术,是人们绝妙的助手,因为它们使思考工作得到节约,在这里它以惊人的形式节省了思维(”
教师组织学生共同欣赏、领悟、体验概念发生、发展的合理性与必要性;
通过
交流、对比,完善新知识的产生,打破传统的教师讲,学生听的整齐划一模式(
学生活动:
资料获取的主人一一学生有表情地朗读:
经过联想、归纳等途径,形成对“代数式”发展史的一连串了解(卡片1:
收获一一代数式发明的意义)(
使学生享受创造的快乐和成功的喜悦,形成课堂上探究式学习的一次高
潮(
卡片2:
俄国数学家罗巴切夫斯基也说过:
“利用了符号,数学上的每一个论断,它所要描述的东西就可以更快地被别人所了解”(促进学生对数学概
念情感认识以及对“代数式”发展的认识与思考)(卡片3:
丢番图是最早自觉运
用一套符号,以使代数式的思路和书写更加紧凑,更加有效的人(卡片4:
代数式的真正创始人是法国数学家韦达,而笛卡儿、莱布尼茨等数学家发展和完善了代数式的表达方法(了解“代数式”表示的优越性;
学生收获一一数学家对代数式发展的贡献)(卡片5:
关于运算符号,我国到了清朝末年,数学家李善兰在翻译西方数学书时有较多的引用(全面接受西方近现代的代数式,大约是20世纪最初十年内的事,从某种意义上说,这也影响了我国数学的发展(及时自然地对学生进行我国数学史
知识的渗透)(
3揭示新概念的内涵与外延,以及与旧概念的联系
学生练习(请同学们利用代数式进行编题,看谁编得富于生活的气
息,更有实用的意义)(
开放性思维训练:
(1)通过学生的举例,结合,(68第3题的练习,思维的发散
性、广阔性品质得以锻炼,同时暴露了数学方法思维和形成的过程;
(2)让同学们了
解形形色色不同含义的问题,它们的代数式却有可能一样,反映了事物间的一种本质的联系(
学生甲:
2008年奥运会400米中长跑比赛,我国奥运健儿与另一国家运动员的跑步速度分别为(400,,)米/秒,(400,,,20)米/秒(学生乙:
两地相距400千米,一学生骑车从甲地到乙地,每小时行,千米,则所需时间为400,,小时,如果速度每小时加快20千米,则从甲地到乙地需(400,,,20)小时(
简析:
开放的思维形式使学生的想象力充分激发,列举的事例遍及了生活的方方面面;
加深了对“代数式”的认识、理解,形成了技能;
学生的想象力被充分激发,创意的气氛洋溢在整个教室(
教师活动:
设问(代数式与一次式有何区别与联系),教师总结点拨:
代数式的概念是代数式中最基本的概念,是一次式的扩展,是今后学习分式、根式等概念的基础(
学生个别回答,相互补充、完善新概念的内涵、外延及其与一次式的区别、联系(
通过揭示新概念内涵、外延及其与旧概念(一次式)的联系,使学生关注
“代数式”获得的途径;
这番阅历使学生所学知识变得生动、形象、感人(
列举不符合新定义的反例,,,(1,2),,,,2,;
是代数式吗?
单独的一
个数或一个字母也是代数式(
完善代数式概念:
说明为何要补充的理由(训练学生思维的缜密性)(
学生抢答、发表见解,将概念扩展深入再探究(发现“代数式”的概念并非一步到位,有明显的阶段性和层次性(
4运用新概念解决问题
根据给定的各个数量之间的和、差、积、商、倍、分等数量关系列代数式(
例1用代数式表示:
(1),的3倍与,的差;
(2),除以;
、,两数的和所得的商;
(3),与,2两数的平方和(
题型变式:
(1),与3,的差;
的平方与,的差;
与,的平方的差;
(2),、,的和除,,,所得的商;
(3),与,2两数和的平方(
分析:
(1)数字与字母相乘,省略乘号,数字写在字母前面;
(2)除法结果用分数线表示;
(3)理清运算顺序(
点评(深化学生的交流结果):
(1)列代数式要注意关键词(如:
大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分等的意义;
(2)理清文字语言中体现的运算顺序,分清层次
(
学生交流探索,并回答各类变式问题,从而形成合乎逻辑的论点(
引进“变式训练”教学:
(1)不但将学生的练习巩固,化整为零,同时进行了整理分化以达到对“代数式”概念的明确、清晰的描述(
(2)“变式”带来的
“对比式”教学:
通过对比教学,让学生认识到代数式表达的优越之处,在学生认知的最近发展区内,实施知识的迁移,领会蕴含其中的方法要点,熟练掌握代数式数学语言运用的两个方面:
代数式的实际意义与列出代数式(
根据小学已经学过的图形的周长和面积公式,时间、速度与距离,
工作效率、工作总量
与工作时间等数量关系列出代数式(所列周长,,2,,2n,,面积,,2,,,冗,是不是代数式)(
例2有一个半径为,的圆及一个长、宽分别为,与2,的矩形,如果其中的圆可以剪截,请你利用这两块不同图案组合,设计出你认为最美丽而又易于计算周长与面积的花坛(图形可以叠合)(
设计分层启发式教学:
(1)这些设计中,谁的花坛最美?
(2)谁设计的花坛周长最短(意味着造价低)?
(3)谁设计的花坛面积最大?
展开浓烈的好奇的设计,热烈的小组讨论;
作品展示(
引进“开放式训练”教学:
克服了学生常见的思维定势,凸现了“代数式”的优势;
使学生自始至终参与教学活动的全过程,美育渗透与活泼的创造情趣紧紧地扣住了学生的心理;
强烈的想象氛围,自然引出了学生强烈的探索欲望;
思维
的变式、发散、求异等优秀的思维品质在这一开放训练中落到了实处(
5小结反思新概念形成过程
小结:
重要概念一一代数式内涵、外延与旧知识一次式的联系区别;
猜测、类
比、联想、探究、创造等思维活动的开展,以变式、开放训练为载体的对学生能力
的全面培养(
作业:
(略)
参考文献
1岑申主编(九年义务教育初级中学课本(试用)数学第二册(杭州:
浙江教育出
版社,1998
2瑜文琪(要注重概念和知识的发展过程的教学(中学数学教学参考,2000,12
3张维忠(周晓虹(培养学生创新意识的初中数学课堂教学案例简析(中学数学
教学参考,2001,4
实用工具:
常用数学公式
公式分类公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|?
|a|+|b||a-b|?
|a|+|b|
|a|?
b<
=>
-b?
a?
b
|a-b|?
|a|-|b卜|a|?
|a|
一元二次方程的解-b+?
(b2-4ac)/2a-b-?
(b2-4ac)/2a根与系数的关系
X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注:
韦达定理判别式
b2-4ac=0注:
方程有两个相等的实根
b2-4ac>
0注:
方程有两个不等的实根b2-4ac<
方程没有实根,有共轭复数根三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=?
((1-cosA)/2)sin(A/2)=-?
((1-cosA)/2)cos(A/2)=?
((1+cosA)/2)cos(A/2)=-?
((1+cosA)/2)tan(A/2)=?
((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-?
((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=?
((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-?
((1+cosA)/((1-cosA))和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+・+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+•+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14"
+(2n)=n(n+1)
13+23+33+43+53+63+•n3=n2(n+1)2/4
12+22+32+42+52+62+72+82"
++n2=n(n+1)(2n+1)/6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+"
+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:
角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:
(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h
斜棱柱侧面积S=c'
*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'
正棱台侧面积S=1/2(c+c'
)h'
圆台侧面积S=1/2(c+c'
)l=pi(R+r)l
球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>
0扇形公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'
L注:
其中,S'
是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式
V=s*h圆柱体V=pi*r2h