E 不等式文科.docx

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E不等式文科

E　不等式

E1　不等式的概念与性质

10．B11、B12、E1[2012·浙江卷]设a>0，b>0，e是自然对数的底数（　　）

A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b

B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a

C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b

D．若ea－2a＝eb－3b，则a

10．A　[解析]本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由ea＋2a＝eb＋3b，有ea＋3a>eb＋3b，令函数f（x）＝ex＋3x，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∵f（a）>f（b），∴a>b，A正确，B错误；

由ea－2a＝eb－3b，有ea－2ab，当a，b∈（ln2，＋∞）时，由f（a）

7．E1、B6、B7[2012·湖南卷]设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：

①＞；②ac＜bc；③logb（a－c）＞loga（b－c）．

其中所有的正确结论的序号是（　　）

A．①B．①②

C．②③D．①②③

7．D　[解析]本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：

转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y＝xc（c<0）在（0，＋∞）上单调递减，又a＞b＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb（a－c）＞logb（b－c），又由对数的换底公式可知logb（b－c）＞loga（b－c），所以logb（a－c）＞loga（b－c），故选项D正确．

[易错点]本题易错一：

不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：

指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：

对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．

1．E1、E3[2012·北京卷]已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x－3）>0}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，－1）B.

C.D．（3，＋∞）

1．D　[解析]本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．

因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，

B＝{x|x<－1或x>3}＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），

所以A∩B＝（3，＋∞），答案为D.

6．D3、E1[2012·北京卷]已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

A．a1＋a3≥2a2

B．a＋a≥2a

C．若a1＝a3，则a1＝a2

D．若a3>a1，则a4>a2

6．B　[解析]本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．

对于A选项，当数列{an}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如an＝（－1）n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a＋a≥2|a1a3|＝2a，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a1（q2－1）>0，而a4－a2＝a2（q2－1）＝a1q（q2－1）的符号还受到q符号的影响，不一定为正，也就得不出a4>a2，故D错误．

E2绝对值不等式的解法

9．E2[2012·天津卷]集合A＝中的最小整数为________．

9．－3　[解析]将|x－2|≤5去绝对值得－5≤x－2≤5，解之得－3≤x≤7，∴x的最小整数为－3.

E3　一元二次不等式的解法

13．E3[2012·江苏卷]已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．

13．9　[解析]本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．

由条件得a2－4b＝0，从而f（x）＝2，

不等式f（x）

故两式相减得＝3，c＝9.

12．E3[2012·湖南卷]不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．

12．{x|2≤x≤3}　[解析]本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式．

解不等式得（x－2）（x－3）≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}．

[易错点]本题易错一：

把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x|2

没把解集写成集合或区间的形式，导致无分．

14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷]已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2，若∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0，则m的取值范围是________．

14．（－4,0）　[解析]本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．

由已知g（x）＝2x－2<0，可得x<1，要使∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0，必须使x≥1时，f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3）<0恒成立，

当m＝0时，f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3）＝0不满足条件，所以二次函数f（x）必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f（x）＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈（－4,0）．

1．E1、E3[2012·北京卷]已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x－3）>0}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，－1）B.

C.D．（3，＋∞）

1．D　[解析]本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．

因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，

B＝{x|x<－1或x>3}＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），

所以A∩B＝（3，＋∞），21．B12、E3[2012·广东卷]设00}，B＝{x∈R|2x2－3（1＋a）x＋6a>0}，D＝A∩B.

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f（x）＝2x3－3（1＋a）x2＋6ax在D内的极值点．

21．解：

（1）x∈D⇔x>0且2x2－3（1＋a）x＋6a>0.

令h（x）＝2x2－3（1＋a）x＋6a，

Δ＝9（1＋a）2－48a＝3（3a－1）（a－3）．

①当

∴∀x∈R，h（x）>0，∴B＝R.

于是D＝A∩B＝A＝（0，＋∞）．

②当a＝时，Δ＝0，此时方程h（x）＝0有唯一解

x1＝x2＝＝＝1，

∴B＝（－∞，1）∪（1，＋∞）．

于是D＝A∩B＝（0,1）∪（1，＋∞）．

③当00，此时方程h（x）＝0有两个不同的解

x1＝，

x2＝.

∵x10，

∴B＝（－∞，x1）∪（x2，＋∞）．

又∵x1>0⇔a>0，

∴D＝A∩B＝（0，x1）∪（x2，＋∞）．

（2）f′（x）＝6x2－6（1＋a）x＋6a＝6（x－1）（x－a）．

当0

x

（0，a）

a

（a,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

①当

由表可得，x＝a为f（x）在D内的极大值点，x＝1为

f（x）在D内的极小值点．

②当a＝时，D＝（0,1）∪（1，＋∞）．

由表可得，x＝为f（x）在D内的极大值点．

③当0

∵x1＝

＝

≥[3＋3a－（3－5a）]＝2a>a且x1<<1，

x2＝

＝

>＝1，

∴a∈D,1∉D.

由表可得，x＝a为f（x）在D内的极大值点．

答案为D.

2．E3[2012·重庆卷]不等式<0的解集为（　　）

A．（1，＋∞）

B．（－∞，－2）

C．（－2,1）

D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

2．C　[解析]原不等式等价于（x－1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜1，选C.

[点评]分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：

（1）>0⇔f（x）g（x）>0；

（2）<0⇔f（x）g（x）<0.

10．A1、E3、B6[2012·重庆卷]设函数f（x）＝x2－4x＋3，g（x）＝3x－2，集合M＝{x∈R|f（g（x））>0|，则N＝{x∈R|g（x）<2}，则M∩N为（　　）

A．（1，＋∞）B．（0,1）

C．（－1,1）D．（－∞，1）

10．D　[解析]因为f（g（x））＝[g（x）]2－4g（x）＋3，所以解关于g（x）不等式[g（x）]2－4g（x）＋3＞0，得g（x）＜1或g（x）＞3，即3x－2＜1或3x－2＞3，解得x＜1或x＞log35，所以M＝（－∞，1）∪（log35，＋∞），又由g（x）＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x＜log34，所以N＝（－∞，log34），故M∩N＝（－∞，1），选D.

E4简单的一元高次不等式的解法

11．E4[2012·江西卷]不等式>0的解集是________．

11．{x|－33}　[解析]原不等式可化为（x＋3）（x－3）（x－2）>0，利用穿针引线法可得{x|－33}．

17．B12、E4[2012·重庆卷]已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[－3,3]上的最小值．

17．解：

因f（x）＝ax3＋bx＋c，故f′（x）＝3ax2＋b.

由于f（x）在点x＝2处取得极值c－16.

故有

即化简得

解得a＝1，b＝－12.

（2）由

（1）知f（x）＝x3－12x＋c；

f′（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2）．

令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈（－∞，－2）时，f′（x）>0，故f（x）在（－∞，－2）上为增函数；

当x∈（－2,2）时，f′（x）<0，故f（x）在（－2,2）上为减函数；

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（2，＋∞）上为增函数．

由此可知f（x）在x1＝－2处取得极大值f（－2）＝16＋c，f（x）在x2＝2处取得极小值f

（2）＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.

此时f（－3）＝9＋c＝21，f（3）＝－9＋c＝3，f

（2）＝－16＋c＝－4，

因此f（x）在[－3,3]上的最小值为f

（2）＝－4.

E5　简单的线性规划问题

2．E5[2012·天津卷]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为（　　）

A．－5B．－4

C．－2D．3

2．B　[解析]概括题意画出可行域如图．

当目标函数线过可行域内点A（0,2）时，目标函数有最小值z＝0×3－2×2＝－4.

8．E5[2012·四川卷]若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋4y的最大值是（　　）

A．12B．26

C．28D．33

8．C　[解析]由已知，画出可行域如图，

可知当x＝4，y＝4时，z＝3x＋4y取得最大值，

最大值为28.

10．E5[2012·上海卷]满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．

10．－2　[解析