精算师考试金融数学1Word文件下载.docx
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n⎧⎧1−v（m）
现值:
=（m）⎪⎪1⎪i⎪期末付年金：
.......⎨（m）n
i⎪（1+i）−1（m）⎪=⎪（m）n⎪i⎪⎩
⎨n..（m）⎧1−v⎪a=（m）⎪⎪1⎪d
........⎪期初付年金：
⎨（m）（m）n..d⎪⎪终值:
s=（1+i）−1
n（m）⎪⎪i⎩⎩
（3）连续年金（注意：
与永续年金的区别）
⎧−
an=⎪⎪⎨−⎪s=n⎪⎩
∫∫
n0
1−vt
vdt=
δ（1+i）n−t
（1+i）n−1
dt=
δ
6、基本年金变化
（1）各年付款额为等差数列
3
⎧a−nvn
（现值）⎪V0=pa+Q
i⎪
..
a−na−nvn⎪
=⎪（Ia）=a+ii
a−nvnn−a⎪
=⎨（Da）n=nan−
ii⎪
⋅⋅
⎪期末付虹式年金：
V0=（Ia）n+v（Da）n-1=an⋅an
⋅⋅⎪n
⎪期末付平顶虹式年金:
V0=（Ia）+v（Da）=a⋅a⎪⎪⎩
（2）各年付款额为等比数列
1+kn⎧i
n⎪V0=不存在⎨i=k:
V0=
i−k1+i⎪
⎪⎩i>
k:
V0存在
7、更一般变化的年金：
（1）在（Ia）n的基础上，付款频率小于计息频率的形式
ann
−vn
ak
V0=
isk
（2）在（Ia）n的基础上，付款频率大于计息频率的形式
⎧n
a−nv⎪每个计息期内的m次付款额保持不变（Ia）（m）=nn⎪i（m）⎪
a−nvn⎪每个计息期内的m次付款额保持不变（I（m）a）（m）=n⎪⎩i（m）
（3）连续变化年金：
1：
有n个计息期，利率为i，在t时刻付款率为t,其现值为○
（Ia）n=
−−
a−nvn
2：
有n个计息期，利率为i，在t时刻付款率为f（t）,其现值为○
V（0）=
∫
f（t）vtdt
第三章收益率
1、收益率（内部收益率）由V（0）=
vtRt=0可求出
t=0
2、收益率的唯一性：
（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是
一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。
（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，
总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。
3、再投资收益率：
（1）情形一：
在时刻0投资1单位，t时刻的积累值:
1+isn
（2）情形二：
在标准金中,t时刻的积累值：
n+i（Is）n−1=n+i⋅
sn−nj
4、基金收益率：
A：
期初基金的资本量B：
期末基金的本息和I：
投资期内基金所得收入Ct：
t时刻的现金流（0≤t≤1）C：
在此期间的现金流之和C=∑Ct，
（1）i≈
（2）i≈
I
A+Ct（1−t）
2I
（现金流在0-1期间内均匀分布）
A+B−I
（3）i≈（其中k=∑t⋅（Ct/C））
kA+（1−k）B−（1−k）It
注意：
上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率
5、时间加权收益率
i=（1+i1）（1+i2）⋯（i+im）−1
6、投资组合法：
计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法：
按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：
yyy
⎧⎪C（1+i1）（1+i2）⋯（1+ik）......k≤m⎨（m为投资年法的年数，yyyy+m+1y+k
）.....（1+i）.....k>
m⎪⎩C（1+i1）（1+i2）⋯（1+im）（1+i
即若投资时间未满m年，利用投资年法计算收益；
若超过部分按投资
组合法计算收益率。
在y年投资第t年收益率记为ity）7、股息贴现模型
（1）每期末支付股息Dt，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：
p=
∞
n=1
Dn
（1+r）n
D1r−g
（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1
第四章债务偿还
1、分期偿还表（标准年金，贷款额an，年利率i，每期末还款额为
1）
第k期偿还款中的利息部分记为Ik；
本金部分为pk
Ik=1−v
n−k+1
pk=v
2、连续偿还的分期偿还表
⎧p
⎪Bt=at时刻的余额⎨−−
rt⎪Bt=a（1+i）−S⎩−
⎧I=δBt⎪
t时刻偿还的本金利息⎨−
⎪⎩pt=1−I=1−δB
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息k次（偿还频率小于计息频率）
（2）若每计息期偿还嗲款m次（偿还频率大于计息频率
4、偿债基金表
第五章
1、债券价格
债券及其定价理论
p:
债券的价格N:
债券的面值C：
债券的赎回值
r:
票利率Nr：
票息额g:
修正票息率g=Nr/C（N=C时，g=r）i:
收益率n:
票息到期支付次数K=Cvn
G:
基础金额G=Nr/it1：
所得税率
（1）所得税后的债券价格：
⎧基本公式：
p=Nr（1−t1）an+Cvn⎪
溢价、折价公式：
p−c=[Nr（1−t1）−Ci]an⎪⎪
⎨基础金额公式：
p=G（1-t1）+[C-G（1-t1）]vn⎪
⎪Makeham公式：
p=K+g（1−t1）（C−K）⎪i⎩
（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：
（1−t2）K+（1−t1）（g/i）（C−K）
p=p−t2（c−p）v←⎯→p=
1−t2K/C
'
n'
（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp）
NrNrNr+C
tp=+⋯w1+wn−1+w
（1+i）（1+i）（1+i）
2、溢价与折价
本金调整：
溢价摊销或折价积累期次票息利息收入本金调整0g12
⋮
账面值
1+p=1+（g−i）n1+（g−i）an−11+（g−i）an−2⋮
1+（g−i）an−t⋮
1+（g−i）a1gg
i[1+（g−i）an]i[1+（g−i）an−1]⋮
i[1+（g−i）an−t+1]⋮
i[1+（g−i）a2]
（g−i）vn（g−i）vn−1⋮
（g−i）vn−t+1⋮
（g−i）v2（g−i）v1（g−i）n=p
g
n-1g
ng合计ng
i[1+（g−i）a1]
ng-p
3、票息支付周期内债券的估价
fB债券的平价：
t+k
扣除应计票息后的买价称为市价：
Bt+k
m
公式：
B
f
t+kmfB=B=B+Nrk或t+kt+k-Nrk
t+k
⎧
⎪Btf+k=Bt（1+i）k⎪
（1+i）k−1⎪
（1）理论法：
⎨Nrk=Nr
k
⎪m（1+i）−1kB=B（1+i）−Nr⎪t+kt⎩i
⎧Btf+k=Bt（1+ki）⎪
（2）实务法：
⎨Nrk=kNr
⎪m
⎩Bt+k=Bt（1+ki）−kNr
⎧Btf+k=Bt（1+i）k⎪
（3）混合法：
⎪mkB=B（1+i）−kNr⎩t+kt
4、收益率的确定由p=C+C（g−i）an
g−
k=
P−C
可导出C
kk
n+1i≈i≈或（=1/2）12n1+k1+k
2n2
⎧i
4、可赎回债券计算收益率时：
⎨
⎩i>
g（折价发行）:
赎回日尽可能晚
5、系列债券：
系列债券的价格∑pt=
t=1
gm
Kt+（∑Ct−∑Kt）
it=1t=1
g=Nr/C
其中：
∑Kt:
所有现金流现值之和
Ct：
所有现金流之和∑t=1
第二篇利率期限结构
第六章：
利率期限结构理论
（1+yi+j）i+j
1、远期利率：
（1+fi,j）=
（1+yi）
2、Macaulay久期与修正久期：
N
⎪久期Dmac=∑ti×
wti
i=1⎨
⎪修正久期D=D/（1+y）⎩modmac
其中wti=
F:
第i次现金流的现值在现金流总和中所占的比例ti
p（1+y）
wti=1∑i
=1
11
3、Macaulay凸度与修正凸度：
∂Dmod⎧
凸度C=mac⎪∂y⎪⎨
1⎪修正凸度C
mod=⎪p⎩
i=1
ti（1+ti）Cti
（1+y）ti+2
p−p⎧
有效久期：
D=E⎪2p0∆⎪4、⎨
⎪有效凸度：
C=p++p-−2p0
E2⎪p（∆）0⎩
其中p0、p+、p-表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少∆时对应的价格
第七章随机利率模型
rsds）1、t时刻银行账户的价值βt=e∫0
（
tt
rsds）∫0
2、随机折现因子D（t,T）=e
（−
3、连续复利收益率
B（t,T）:
T时刻到期的零息债券1单位面值在t时刻的价格R（t,T）：
连续复利收益率
R（t,T）（T−t）⎧e（Bt,T）=1⎪⎨-R（t,T）（T−t）B（t,T）=e⎪⎩
4、远期单利Fl（t,T,S）与远期复利Fe（t,T,S）,t时刻期限为[T,S]1B（t,T）⎧F（t,T,S）=（−1）l⎪S−TB（t,S）⎪⎨
⎪Fe（t,T,S）=1lnB（t,T）⎪S−TB（t,S）⎩
5、远期瞬时利率f（t,T）=−
∂lnB（t,T）
∂T
T
⎧-∫f（t,u）du
Bt,T）=et
⎪零息债券价格：
（⎨1T⎪连续复利收益率:
（Rt,T）=f（t,u）du∫tT−t⎩
12
6、Ho-Lee模型的应用
短期利率满足：
rt+1=rt+a（t）∆t+随机变量ε在u出现时取+1，在d出现时取-1
7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
⎧drt=u（t,rt）dt+σ（t,rt）dWt⎪
⎛∂B∂B⎞⎨1∂2B2∂BdB=+u（t,r）+σ（t,r）dt+σ（t,rt）dWt⎜tt⎟2⎪2∂r∂t⎝∂t∂t⎠⎩
其中u（t,rt）:
漂移项σ（t,rt）：
波动项Wt：
标准布朗运动B=B（t,T）=B（t,T,,rt）
8、利率风险市场价格（λt）
用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合Π然后选择适当的头寸Φ使得Π的风险为零Π=B（t,T1,rt）+ΦB（t,T2,rt）
⎫
m（t,T）−rt⎪
∂B（t,T1,rt）∂B（t,T2,rt）⎬⇒λt=
v（t,T）+Φ=0⎪
∂r∂r⎭
1⎛∂B∂B1∂2B2⎞
其中m（t,T）=⎜+u（t,rt）+σ（t,rt）⎟
B⎝∂t∂t2∂r2⎠1∂B
σ（t,rt）B∂t
9、Vasicek模型及其下的债券定价
v（t,T）=
模型：
drt=α（u-rt）dt+σdWt⋯⋯α、u、σ为正的常数模型的解为：
rt=r0e−αt+u（1−e−αt）+σ∫0e−α（t−u）dWu零息债券的价格：
B（t,T）=ea（τ）−b（τ）rt
1−e−αt
τ=T−t,b（τ）=
α
λσσ2λσσ2σ2−2ατ
a（τ）=b（τ）（u−−）−（u−−τ+（1−e）3
αα2α2α24α
9、CIR模型及其下的债券定价
drt=α（u-rt）dt+σt⋯⋯α、u、σ为正的常数该模型下风险的市场价格为：
λ（t,rt）=
第三篇金融衍生工具定价理论
第八章金融衍生工具介绍
⎧F=S0ert⎪
1、远期的定价⎨F=S0e（r−q）t...........q：
连续复利率
⎪F=（S−I）ert.......I：
离散红利
0⎩2、t时刻持有远期合约的价值：
（0≤t≤T）
⎧ft=（Ft−F0）e−r（T−t）
⎪−r（T−t）
⎧-（S0−I）ert⎨⎪中间收入I：
ft=Fte
⎪如果有中间收入⎨−r（T−t）（r−q）t
提供红利q:
f=Fe-Se⎪⎩tt0⎩
3、远期利率平价公式
i、i*:
本币和外币的利率（假定借款利率=贷款利率）St:
外币的以本币标价的即期汇率（St本币/外币）
外币远期的价格为F（t,T）F（t,T）1+iT⇒=（一般不超过一年故采用单利）
St1+i*TF（t,T）1+iT>
（持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）
St1+i*T
4、远期利率协议
（1）结算时金额：
∆=N
|S-F|×
T
1+S×
S：
目标利率；
F：
远期价格，T：
远期期限
（2）远期价格F=ft,t+T
满足：
（1+rtt）（1+ft,t+TT）=[1+rt+T（t+T）]5、期货合约的盈亏：
∆=nN0|Zt+1−Zt|
期货合约保证金账户盈亏代数和为：
N0|St−Z0|无论盈亏都只需交N0Z0
6、利率期货
（1）短期利率期货：
（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）
1若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如○
94.79→94.80或94.78），则一份合约的买方或卖方将支付25远。
对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：
100×
0.01%×
=25（）4
1+rT1
r2T2−rT112远期利率f满（1+rT○）（1+0.25f）=（1+rT）⇒f=4×
1122
3套期保值原理（N：
被保资产金额D：
保质期限S存款利率变动○
的基点n：
合约的份数）
n=
ND×
×
S90
（2）长期利率期货1国债期货：
○
点数价值：
价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额2转换因子：
指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债○
券的价格。
如：
若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：
CF=[
333100+3
+++]/100
（1+4%）（1+4%）2（1+4%）3（1+4%）4
（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）
卖方在债券的现货市场上可以以P+A价格买到债券（P：
债券净价，A：
应计利息）；
在期货交割时卖方将收到买方现金CF×
Z+A（Z：
债券期货的价格），同时支付债券。
显然A不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：
P−CF×
Z
（4）国债的定价类似于：
F=（S0−I）ert.
例题：
假设某国债期货党的CTD债券的票息率为12%；
CF=1.4.假定在270天后交割，债券每半年计息一次；
当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;
债券报价为120；
可按如下方法计算期货的价格Z：
解：
（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）
120+
60
×
6=121.978182
−132
0.1365
（2）计算期货的现金价格：
（121.978-6×
e125.095−6×
）×
e
2700.1365
=125.095
（3）计算以CTD债券为基础资产的期货价格：
148
=120.242183
（4）利用转换因子CF计算国债期货的价格：
Z=
120.242
=85.8871.4
（5）国债期货套期保值原理
基点价值bpv：
收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。
面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv为：
[***********]0000
bpv=（∑+）−（+∑t3t3
（1+10%）（1+10.01%）t=1（1+10%）t=1（1+10.01%）
7、看涨看跌期权平价公式
ct+Ke−r（T−t）=pt+St
其中ct：
t时刻的看涨期权的价格
看涨期权的执行价格K
pt：
t时刻的看跌期权的价格St：
t时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
（1）基础资产价格St：
对看涨期权St越大，价格越高
对看跌期权St越大，价格越低
（2）执行价格K对看涨期权K越大，价格越高
对看跌期权K越大，价格越低
（3）到期期限T：
对美式而言，T越长，价格越高
对欧式而言，不一定
（4）无风险率r：
r越高，价格越高
（5）基础资产价格波动率σs：
σs越大，期权价格越高。
9、期权价格的界
−r（T−t）
⎧≤ct≤St⎪涨权:
St−Ke
（1）欧式期权：
⎨−r（T−t）
-St≤pt≤Ke−r（T−t）⎪⎩权:
Ke
（2）美式期权：
⎪⎩权:
K-
St≤pt≤K
10、
、
第九章金融衍生工具定价理论
1、单期二叉树期权定价模型
设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：
或者股票价格上升至Su，或者股票价格下降至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布状。
在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>
1，d
[例8-1]设股票的现价（S）为$100,3月看涨期权的执行价格（K）为
$110。
在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？
解
：
资产目前成本与未来价值
$130×
δ-$20=$90×
δ（风险中性假定）δ=0.5
股票上涨：
VT=$130×
0.5-$20=$45股票下跌：
VT=$90x0.5=$45
根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。
换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值（$45）按无风险利率进行贴现后的现值。
假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：
V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.11
18
19
2、N期模型的通用公式
c=e
−rT
n!
jn−jjn−j
[（1−q）max（sud−k,0）]∑j!
（n−j）!
j=o
jn−jjn−j[（1−
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