中国石油大学高数22历年期末试题参考答案docx文档格式.docx
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的质量；
（C）向量场F=z2k穿过曲面E指定侧的通量；
（D）向量场F=z2k沿2：
边界所做的功.
11.若级数Zc"
（x+2）"
在x=-4处是收敛的，则此级数在x-1处（D）n=l
（A）发散；
（B）条件收敛；
12.级数y^-4—的敛散性为（a）
„=in
（A）当p〉?
时，绝对收敛；
（C）当0时，绝对收敛；
（C）绝对收敛；
（D）收敛性不能确定.
（B）当p〉?
时，条件收敛；
（D）当0时，发散.
三、解答题：
13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.（本题满分6分）设x+y+z=e~（x+y+z）确定z=z（x,y）,求全微分Hz.
解：
两边同取微分dx+dy+dz=e~（x+y+z）•（-1）•（dx+dy+di）,整理得dz=-dx-dy.
\2v2z2—Qy=n
14.（本题满分8分）求曲线｛—在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.
9一4-
--
1）O
1^-3-
z（\1^云也一公<
」
2x-3y+5z-4=0
c人dy人dzc
2x+2yF2z.——3
dxz/y
两边同时关于X求导axax，解得＜
2—3空+5臣=0
、dxdx
—Q1x—1v—1z—1
所以切向量为：
T={1,—,——},切线方程为：
一=」=—；
1616169-1
法平面方程为：
16（x-l）+9（v-l）-（z-l）=0,即16x+9y—z—24=0.
15.（本题满分8分）求蓦级数£
（2”+1）x”的和函数.
n=0
求得此幕级数的收敛域为（—1,1）,£
（2”+1）x"
=£
2mc"
+£
x"
n=0n=0n=0
£
2nxn=2尤£
nxn~x,设A（x）=£
nxn~x,贝!
J
n=0n=ln=\
cx00rx00yAJ-V1
JA（x）火=双”I火==,（—1〈尤＜1）；
..・A（x）==~-7,
n=ln=l1—x\l-xj（1—x）-
002Y
即V2nxn=2xA（x）=
2x11+x
T~l=r（1-x）21-x（1-x）2
8（1-4
（2»
+l）x"
=£
2nxn+£
x”n=0n=0n=0
16.（本题满分6分）计算/=JJ（x+y+z）dS,其中£
为曲面y+z=5被柱面x2+v2=25所截下£
的有限部分.
/=JJ（x+y+z）dS=jj（x+5）t/5
£
=^xdS（£
关于yoz平面对称，被积函数工是x的奇函数）+5打心£
=O+5jjjS=5^2jjdxdy=5皿.25兀=125皿兀.
x2+y2<
25
17.（本题满分8分）计算积分/=£
（2x2+4^）Jx+（2x2-y2）Jy,其中L为曲线
3,5。
5
（x一；
）+（V—；
）=；
上从点A（l,l）到3（2,4）沿逆时针方向的一段有向弧•
303P—►—►
・..孝=4尤=丁，.・.积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，Oxdy
l,——-[x=x,l<
x<
2—-fx=2,dx=Q
其中C（2,l）,AC-.\,CB:
\
y=l,dy=o=l<
yV4
「・/=L（2x2+4xy）dx+（2x2-y2）dy
=j_（2x2+4xy）rfx+（2x2-y2）dy+j_（2x2+4xy）rfx+（2x2-y2）dy
=L（2尤2+4x）火+J]（8-y2）dy=?
18.（本题满分8分）计算/=yzdydz+y（x2+z2）dzdx+xydxdy,£
是由曲面4-y=x2+z2
与平面y=0围成的有界闭区域Q的表面外侧.
P=yz,Q=y（x2+z2）,R=xy,芈+华+半+z?
，由高斯公式,dxdydz
/=Eyzdydz+y（x2+z2）dzdx+xydxdy-jjj（x2+z2）dxdydz
。
z=cos3
（利用柱面坐标变换<
x=sin。
，贝！
JQ:
0<
2ti.0<
r<
2,0<
4-r2.）y=y
=「汕「"
费=也.
JoJoJo3
222
19.（本题满分8分）在第I卦限内作椭球面二+仁+二=1的切平面，使切平面与三个坐标面所围
abc
成的四面体体积最小，求切点坐标.
设切点坐标为3o，无，Zo），则切平面的法向量为｛学，奈，号｝，
切平面方程为*xf+片（r°
）+m（z—z°
）=o,即昔+晋+芳=1，
1a-b-c2
则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为¥
=-■-—
6Xo.&
Zo
令L（x0,y0,z0,2）=Inx0+Iny0+Inz0+2（-^-+-+——1）a~b~c~
故切点坐标为（彳,g,戛）.
V3'
V3V3
20.（本题满分6分）设/（x）,g（x）均在[a,b]±
.连续，试证明柯西不等式:
[「r（x）dx][，g2（x）dx]2[，/'
（x）g（x）dx]2.
JaJaJa
证：
设D\a<
b,a<
y<
b.^A
[J：
r（x）dx][j：
g2（x）必;
]=jjy2（x）g2（y）而D关于v=x对称）=jjf2（y）g2（x）6/xt/y
=；
[jj产（X）妒（y）dxd;
y+jj产（y）g2（x）dxdW=；
jj[/'
2（x）g2（y）+y2（y）g2（xWxdy
ZDDLD
2；
jj[2y（x）g（x）•f（y）g（y）]dxdy=jj[f（x）g（x）-f（y）g（y）]dxdy
LDD
=「/（x）g（x）<
7xffe/（v）g（v）t/v=[「y（x）g（x）dx]2.
2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案
1.选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1.设三向量a.b.c满足关系式axb=axc,贝!
j（D）.
（A）必有白=6;
（B）必有方-c=6;
（C）当时，必有b=c;
（D）必有。
=40—。
）（人为常数）.
2.直线号=〉等=；
与平面4x-2y-2z=3的关系是（A）.
（A）平行，但直线不在平面上；
（B）直线在平面上；
（C）垂直相交；
（D）相交但不垂直.
^xy
3.二兀函数y）=<
+'
'
）在点（0,0）处（A）
0,（号）=（0,0）
（A）不连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在
（C）连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在
4.已知攵旦业孚尖为某二元函数的全微分，则。
=（D）.
（x+j）2
（A）-1;
（B）0；
（C）1;
（D）2.
5.设/（«
）是连续函数，平面区域D:
-l<
l,0<
j<
Jl-x②.，则jj/（x2+y^dxdy=（D
（A）+y2）dy;
（B）f（x2+y2）dx;
（C）J。
d0^/（r2）rt/r;
（D）J。
f（r2）dr.
3（1
6.设。
为常数，则级数£
（一1）"
（1—cos—）（B）.
,=i"
（B）绝对收敛；
（C）条件收敛；
（D）收敛性与。
的值有关.
2.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
1.设函数"
（尤,y,z）=1+++盘■,向量〃={1,1,1},点*）（1,2,3）,
m3"
V3
则P=—・
dnP3
q
2.若函数/（x,v）=lx1+ax+xy-+2y在点（1,一1）处取得极值，则常数。
=-5.
3.Z为圆x2+y2=l的一周，则血"
2—/）*=o,
/700/q
4.设lim&
=2,级数Yanx2'
-'
的收敛半径为—.
—an«
=i二—
5.设f（x）=J】e~y2dy,则^xf（x）dx=.
2,—1<
jv<
0
6.设f（x）是以2为周期的周期函数，它在区间（-1,1]±
的定义为/Xx）=[j,0<
%<
1
3
则f（x）的以2为周期的傅里叶级数在x=l处收敛于-.
3.解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.
1.（本小题6分）
解题过程是：
令"
=处，则^
XOX
0.
2.（本小题6分）计算二重积分J"
]'
。
%#,,其中D=（x,j）|x2+j2<
1,x>
0}.
Q关于x轴对称，被积函数一关于>
是奇函数，.•」[—dxdy=Q,l+x2+v2l+x2+r-
故=h—=o+j：
"
「牛=孔2.
l+x2+V2-JJl+x2+y2-l+x2+y2J-fJ«
l+r22
3.（本小题6分）设曲面z=z（x,y）是由方程x3y+xz=l所确定，求该曲面在点M0（l,2,-l）处的切平面方程及全微分dz|（“）.
令F（x,y,z）=x3y+xz-1,F'
=3x2y+z,F'
-x3,£
=x,则所求切平面的法向量为：
云={球球月圳气={5,1,1},切平面方程为：
5x+y+z-6=0.dzF'
3x2y+zdzF；
,,dz,dz,-,,
二=一~=>
-^―=—-=—x>
•■-dz\=—dx+—dy=-5dx-dy.
*乩xdyEdyMo
4.（本小题6分）计算三重积分jjj』亍+,2dxdydz,其中Q是由柱面y=Vl-x2及J=0,z=0,
Q
x+y+z=4所围成的空间区域.
PPP/~o厂「兀r1or4一r（cos6+sin0）
利用柱面坐标变换，jjj+ydxdydz=r^rJ0dzQ
=J；
j0[4,之一,3（cos0+sin=J：
—：
（cos0+sin0}]dO=寻一:
.
5.（本小题6分）求jj（2x+z）dydz+zdxdy,其中£
为曲面z=x2+（0<
z<
1）,方向取下侧.
补汁：
z=l,（x,y）eD={x2+y2<
l}.
与Ej所围立体为Q：
0V6<
2〃，0<
1,r2<
z<
l.
由高斯公式，得皿（2x+z）dydz+zdxdy
下+习上
jjj（2+0+l）dxdydz=3J。
J。
rdr^2dz=—
q°
°
'
2
ff（2x+z）dydz+zdxdy=—-（J（2x+z）dydz+ztZxtfy=—-0-jj1dxdy=—-^=—.z2g*2o22
6.（本小题7分）求慕级数的收敛域及和函数.
”1n
因为R=lim4=lim"
*"
+?
=1,故收敛区间为（—1,1）；
〃T8an+1〃T8n（〃+1）+]
n2+1
x=±
l时，极限lim。
0,级数均是发散的；
于是收敛域为（-1,1）,
Q/X孑"
2+1
S（x）=>
x
n=in
x
1-x
X
=-ln（l-x）,xe（-l,l）.
（1-x）2
7.（本小题7分）例1
计算/=jj（x2+）72）rfs,£
为立体「尤2+,2<
1的边界.
解题过程是:
设£
]+乙，其中£
|为锥面z=7x2+v2,O<
l,L2^z=1,x2+v2<
1部分,
i，d在叫X面的投影为力:
X2+y2<
1.dS1=
raz?
dxdy=yfldxdy,dS2=dxdy,
.../=jj（x2+y2）dS=j]（x2+v2）dS+JJ（x2+v2）dS=jj（x2+y2）^2dxdy
+Jj+y2）dxdy
]£
2。
_（扼+1）〃
=（V2+1）jj（x2+y2）dxdy=（V2+1）丁。
廿可。
r3drD
四.证明题（8分）.
设函数/（X,V）在（-8,+8）内具有一阶连续导数，％是上半平面（y>
Q）内的有向分段光滑曲线，其
l+y—（xy）人,x[y2f（xy）-l]/
cue\cry,
起点为（a,b）,终点为（c,d）,记/=J
L
（1）证明曲线积分/与路径£
无关；
（2）当。
b=cd时，求/的值.
证明:
⑴记=03）=**,
yy
迎=[2质⑴+舟'
（叫「]11+3（加]=/（%y）_J_+加⑴；
dyy-y
孚="
⑴—I顼v=f（功+oxyy
...空=义成立，积分/与路径£
无关.
dydx
（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点（。
力）起至点（c,b）,再至终点（c,d）,则
[=J：
：
P（x,y）dx+JQ（.X,y）dy=J；
g+bf（bx^dx+J：
[cf（cy）-
=S+Jg）妇J
v2
V2
cdcCl
f（t）dtab=cd）=.
abdb
cd~iccca
fQ）dt+=+
沥dbdb
2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案
一、填空题（6x5分=30分）
1.若向量a,b,c两两互相垂直，且同=5,时=12,甘=13,贝版+片+*13扼.
2.设函数z=A^sinJ,求尤y——=2z.
xdxdy
3.设函数f（x,y）为连续函数，改变下列二次积分的积分顺序：
p1「』2-矿pipV%pV2pV2-X2
Jo—Jk了（x,y）dx=J（）dxJof（x,y）dy+Jif（x,y）dy.
r（1,2）c7
4.计算/=J（00）（"
+尤）赤+（尤"
一2y）dy=e2.
5.慕级数£
4J”的收敛域为：
（-V3,V3）.
n=l°
6.设函数f（x）=7rx+x2（-7T<
7T）的傅里叶级数为：
—+^（<
7ncosnx+bnsinnx）,
2n=l
则其系数打=—.
33
二、选择题（4x5分=20分）
1.直线号=土=亍与平面3x+4y-z=2的位置关系是（A）
（A）直线在平面内；
（B）垂直；
（C）平行；
2.设函数/（x,y）=4（x-y）-x2-y2,则f（x,j）（C）
（A）在原点有极小值；
（B）在原点有极大值；
（0在（2,-2）点有极大值；
（D）无极值.
3.设％是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，％的方向为逆时针方向,
贝岫竺言=（C）
yx+y
（A）0；
（B）m；
（C）271；
（D）-2ti.
4.设。
为常数，则级数Z判竺一一r（B）
n=lI〃yJn）
（A）绝对收敛；
（B）发散；
（C）条件收敛；
（D）敛散性与。
值有关.
三、计算题（7+7+7+7+6+8=42分）
1.设y（x,y）=<
y+y4,3，力一（°
，°
），讨论在原点（0,0）处是否连续，并求出两个
、0,（x,v）=（0,0）.
偏导数无（0,0）和尤（0,0）.（7分）
如4k
令x=^y2,iimy（^,y）=lim_=-—,随*的取值不同，其极限值不同，k'
y^+y4k'
+l
:
.lim/（x,v）不存在，故/（x,y）在原点不连续；
x-0y—0
/；
（0,0）=limf（0+M0K0,0）=lim宜=0,
（0,0）=lim川，0+颂）一川，0）=lim宜=。
颂—0△》—（）
2.计算I—jjjyjx2+y2+z2dh/ydz其中。
是由上半球面z=yj2-x2-y2和锥面
z=^x2+y2所围成的立体.（7分）
作球面坐标变换：
x=psin^cos0.y=psin^sin6.z=pcoscp.贝!
！
dxdydz=p2sin（pdOd（pdp,Q:
^<
2^,0<
-,0<
p<
V2.
I=jjjJ/+,2+z2dxdydz=jd。
jjsin（pd（p^p3dp=Q-）兀.
2尤所割下部分的曲面面积.（7分）心5.4.'
<
3.求锥面Z=J/+y2被柱面X2+y2=
y_'
2|2x+y
锥面£
：
z=yjx2+y2,（x,y）eD}
•••S=JJdS=JI』l+z'
\-+Zy2dxdy=V2jjdxdy-V271.
D》y2y
4.计算曲面积分/=l^j*y2zdxdy+z^xdydz+j^ydzdx,其中£
是由z=x2+y2,x2+y2=1,£
x=O,y=O,z=0围在第一卦限的立体的外侧表面.（7分）
设。
为£
所围立体，P=z2x,Q=x2y,R=y2z,++=x2++z2,由Gauss公式,
oxoyoz
/=Uy2zdxdy+z2xdydz+x2ydzdx=jjj（x2+y2+z2）dxdydz
Q
作柱面坐标变换：
x=rcos0,y=rsin0.z=z.贝!
7A,c
dxdydz=rdOdrdz,Q:
^<
—,0<
r<
l,0<
r2.
25
.l=\d0\rdr\（r2+z2）dz=——71.
J0J0Jo48
001
5.讨论级数Z晔的敛散性.（6分）
Tn2
y「7Inn「Inn八InnA,
vlimn4-—=lim—=0,5——收敛.
±
〃一>
8A—
O471=1o
8
6,把级数习一亍，，-1的和函数展成x—1的幕级数.的分）
勺（2h-1）!
22"
设级数的和函数为S（x）,则
S3）空节"
计=£
号混|j"
=沥闵
xe（—8,+00）.
即S3）=sin
sm
x-11
~ir+2
.x-11x-1.1
=sincos—+cossin—
2222
=‘启2上吠
2念（2«
）!
x-1
2n
1<
（一1）"
+cos—〉
2e（2"
+l）!
2n+l
•1/（T）"
/W"
1—（一1）"
]、％+1,、
=sin—■>
（x-1）-+cos—•〉（x-1）-,xe（_8,+8）.
2R（2»
-22f,2幺（2»
-22f,+1
四、设曲线Z是逆时针方向圆周（x-tz）2+（j-a）2=l,仞（x）是连续的正函数，
证明：
[flx"
—Y（p（x）dx22几.（8分）
）dxdy—ff（^?
（x）H^dxdy（而。
关于y=x对称）3y（p（y）
]dxdy=2\
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