最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题Word文档下载推荐.docx
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7.等腰三角形的判定:
1.在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)
2.在同一三角形中,等角对等边
8.等边三角形定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形
9.等边三角形的性质:
⑴等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°
。
⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。
(四心合一)⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
10.等边三角形的判定:
⑴三边相等的三角形是等边三角形(定义)
⑵三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
(4)两个内角为60度的三角形是等边三角形
(5)说明:
可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
(6)等边三角形的性质与判定理解:
11、三角形中的中位线
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
等腰三角形的性质应用及判定
例1如图,△ABC中,D、E分别是位置关系:
可以证明两条直线平行。
数量关系:
可以证明线段的倍分关系。
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
例一:
AC、AB上的点,BD与CE交于点O.出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;
②∠BEO=∠CDO;
③BE=CD.
1.上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
2.选择第
(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形
例2如图,△ABC为等边三角形,延长BC到D,又延长BA到E,使AE=BD,连接CE,DE,求证:
△CDE为等腰三角形
例3如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折,若DE=a,则下列说法正确的个数有()
①DC
平分∠BDE②BC长为(
)a
③△BC
D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长
A.1个B.2个C.3个D.4个
例4如图,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角为120°
的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,则△AMN的周长是
追加练习:
1.如图所示.△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
角,角的两边分别交AB,AC于M,N,连接MN,求△AMN的周长.
2.如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。
例5已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为()
A.20°
B.120°
C.20°
或120°
D.36°
例6等腰三角形两边长分别为4和9,则第三边长为
等边三角形的性质应用及判定
例7如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,BD=AE,AD与CE交于点F.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求∠DFC的度数。
例8如图,分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边,在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF,连接BE,AF。
求证:
BE=AF
例9如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACD≌△DCB;
②CM=CN;
③AC=DN.其中正确结论的个数是
A.3个B.2个C.1个D.0个
例10如图,点C在线段AB上,在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN,连三角形ACM和BCN,连接AN,BN,若∠MBN=38°
,则∠ANB的大小等于。
例11已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形,求证:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形
等腰直角三角形的性质应用及判定
例12如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,∠ACB=60°
,D是BC延长线上一点,且AC=CD,则BC:
CD=
例13已知,如图,AB是等腰直角三角形ABC的斜边,AD是∠A平分线,求证:
AC+CD=AB
例14两个全等的含30°
,60°
的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E,A,C三点一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状,并说明理由
1.已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试说明△ADF是等腰三角形的理由.
2、如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,若AB=18,AC=16,求△AEF的周长?
3、已知BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,OE∥AB,OF∥AC,如果已知BC的长为a,你能知道△OEF的周长吗?
.
4、如图,在ΔABC中,AB=AC,点D在BC上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
DE+DF=AB
5、已知:
如图,△BDE是等边三角形,A在BE延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC。
DE+DC=AE。
6、等边三角形△ABC中,AD=CE,求∠BPC的度数。
7.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°
,则该三角形的一个底角为
8.在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,BC+AB=6cm,则AB=cm
5.已知:
等边△ABC中,如图,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗?
答