高二数学圆锥曲线教案 新课标 人教版Word文档格式.docx
《高二数学圆锥曲线教案 新课标 人教版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学圆锥曲线教案 新课标 人教版Word文档格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第
（1）问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第
（2）问，利用函数的单调性求最值是常用方法.
（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1
∴椭圆的焦点为F1（－1,0）,F2（1,0）.
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±
即x=±
m.
∴A（－m,－m+1）,D（m,m+1）
考虑方程组
消去y得：
（m－1）x2+m（x+1）2=m（m－1）
整理得：
（2m－1）x2+2mx+2m－m2=0
Δ=4m2－4（2m－1）（2m－m2）=8m（m－1）2
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|==（xB－xA）·
|CD|=（xD－xC）
∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|（xB+xC）－（xA+xD）|
又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·
=||·
=（2≤m≤5）
故f（m）=，m∈［2,5］.
（2）由f（m）=，可知f（m）=
又2－≤2－≤2－
∴f（m）∈［］
故f（m）的最大值为，此时m=2;
f（m）的最小值为，此时m=5.
［例3］舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°
且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目.
线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.
答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上），还应对方位角的概念掌握清楚.
通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.
取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为（3，0）、（－3，0）、（－5，2）.
由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x－3y+7=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上.
直线与双曲线的交点为（8，5），此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.
据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°
于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°
.
设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则,
∴sin2θ=,∴仰角θ=30°
●锦囊妙计
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
（1）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式（组）求得参数的取值范围；
或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.
（2）对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；
当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★）已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于（）
A.3B.C.D.
2.（★★★★★）设u,v∈R，且|u|≤,v＞0,则（u－v）2+（）2的最小值为（）
A.4B.2C.8D.2
二、填空题
3.（★★★★★）A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使
∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________.
4.（★★★★）一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________.
5.（★★★★★）已知抛物线y=x2－1上一定点B（－1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.
三、解答题
6.（★★★★★）已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P（－2，0）及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
7.（★★★★★）已知抛物线C：
y2=4x.
（1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
（2）若M（m,0）是x轴上的一定点，Q是
（1）所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？
若有，求出其值；
若没有，说明理由.
8.（★★★★★）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.
［学法指导］怎样学好圆锥曲线
圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.
高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：
1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.
2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：
定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.
3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.
4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.
（1）方程思想
解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.
（2）用好函数思想方法
对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.
（3）掌握坐标法
坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.
参考答案
难点磁场
由方程组
消去y,整理得（a2+b2）x2－2a2x+a2（1－b2）=0①
则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间（0，1）内有两相异实根，令f（x）=（a2+b2）x2－2a2x+a2（1－b2）,则有
同时满足上述四个条件的点P（a,b）的存在区域为下图所示的阴影部分：
歼灭难点训练
一、1.解析：
由题意知A（1，1），B（m,）,C（4,2）.
直线AC所在方程为x－3y+2=0,
点B到该直线的距离为d=.
∵m∈（1,4）,∴当时，S△ABC有最大值，此时m=.
答案：
B
2.解析：
考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值.
C
二、3.解析：
设椭圆方程为=1（a＞b＞0）,以OA为直径的圆：
x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.
＜e＜1
4.解析：
由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x=时，y=－；
当x=0.8时，y=－.由题意知≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整数为13.
13
5.解析：
设P（t,t2－1），Q（s,s2－1）
∵BP⊥PQ,∴=－1,
即t2+（s－1）t－s+1=0
∵t∈R,∴必须有Δ=（s－1）2+4（s－1）≥0.即s2+2s－3≥0,
解得s≤－3或s≥1.
（－∞,－3∪1,+∞）
三、6.解：
设A（x1,y1）,B（x2,y2）.
由,得（1－k2）x2+2kx－2=0,
又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，
故有
解得－＜k＜－1
7.解：
由抛物线y2=4x,得焦点F（1,0）,准线l：
x=－1.
（1）设P（x,y），则B（2x－1,2y）,椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即（2x－2）2+（2y）2=2x（2x－2）,化简得P点轨迹方程为y2=x－1（x＞1）.
（2）设Q（x,y）,则|MQ|=
（ⅰ）当m－≤1,即m≤时，函数t=[x－（m－）2]+m－在（1，+∞）上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.
（ⅱ）当m－＞1,即m＞时，函数t=[x2－（m－）2]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|min=.
8.解：
（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2=1.
（2）设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得（1+5k2）x2+20kx+15=0.
Δ=（20k）2－4×
15（1+5k2）＞0,得k2＞.由图可知=λ
由韦达定理得
将x1=λx2代入得
两式相除得
①
M在D、N中间，∴λ＜1②
又∵当k不存在时，显然λ=（此时直线l与y轴重合）.
2019-2020年高二数学圆锥曲线方程复习教案苏教版
一、本讲进度
《圆锥曲线方程》复习
二、本讲主要内容
1、三种圆锥曲线：
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。
2、直线和圆锥曲线位置关系。
3、求轨迹方程的常规方法。
三、复习指导
1、解析几何的基本问题之一：
如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：
一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；
二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：
椭圆、双曲线、抛物线。
2、三种圆锥曲线的研究
（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：
，其中F为定点，d为P到定直线的距离，F，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<
e<
1时，点P轨迹是椭圆；
当e>
1时，点P轨迹是双曲线；
当e=1时，点P轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：
椭圆：
{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>
|F1F2|>
0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>
2a>
0，F1，F2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：
几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
1定性：
焦点在与准线垂直的对称轴上
椭圆及双曲线中：
中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；
椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
2定量：
椭圆
双曲线
抛物线
焦距
2c
长轴长
2a
——
实轴长
短轴长
2b
焦点到对应
准线距离
P=2
p
通径长
2·
2p
离心率
1
基本量关系
a2=b2+c2
C2=a2+b2
（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）
举焦点在x轴上的方程如下：
标准方程
（a>
b>
0）
0，b>
y2=2px（p>
顶点
（±
a，0）
（0，±
b）
a，0）
（0，0）
焦点
c，0）
（，0）
准线
X=±
x=
中心
有界性
|x|≤a
|y|≤b
|x|≥a
x≥0
焦半径
P（x0，y0）为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
P在右支时：
|PF2|=-a+ex0
P在左支时：
|PF1|=-a-ex0
|PF|=x0+
总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
3、直线和圆锥曲线位置关系
（1）位置关系判断：
△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；
后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：
一是韦达定理；
二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；
二是建立不等式，通过解不等式求范围。
四、典型例题
例1、根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。
解题思路分析：
法一：
（1）双曲线的渐近线为
令x=-3，y=±
4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，
∴双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为，（a>
解之得：
∴双曲线方程为
（2）设双曲线方程为（a>
则
法二：
（1）设双曲线方程为（λ≠0）
∴
（3）设双曲线方程为
∴
k=4
评注：
与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>
0时，焦点在x轴上；
当λ<
0时，焦点在y轴上。
与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>
0，b2-k>
0）。
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>
|PF2|，求的值。
当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
当∠PF2F1=900时，由
得：
，
当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2
当∠PF2F1=900，
∴P（）
又F2（，0）
∴|PF2|=
∴|PF1|=2a-|PF2|=
当∠F1PF2=900，由
P（）。
下略。
由|PF1|>
|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。
例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。
根据题意，从点P的轨迹着手
∵||PM|-|PN||=2m
∴点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<
1）①
又y=±
2x（x≠0）②
①②联立得：
将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m的取值范围。
根据双曲线有界性：
|x|>
m，x2>
m2
又0<
m2<
∴1-5m2>
∴且m≠0
利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x2+y2=1，双曲线（x-1）2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：
①与双曲线交于不同两点；
②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线方程。
选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
当斜率不存在时，x=-1满足；
当斜率存在时，设：
y=kx+b
与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1
∴b2=k2+1①
由得：
（1-k2）x2-2（1+kb）x-b2=0
当k≠±
1且△>
0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
∴y0=kx0+b=
∵M在⊙O上
∴x02+y02=1
∴（1+kb）2+（k+b）2=（1-k2）2②
由①②得：
或
∴：
或
设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±
1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时，
代入（x-1）2-y2=1得：
（y02-x02）x2+2（x0-y0）2x-1=0
∵y02+x02=1
∴可进一步化简方程为：
（1-2x02）x2+2（x02+x0-1）x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：
∴
即2x03-x02-2x0+1=0
x0=±
1（舍），x0=
∴y0=。
下略
不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A、B是抛物线y2=2px（p>
0）上的两点，且OA⊥OB，
（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：
直线AB过定点；
（3）求弦AB中点P的轨迹方程；
（4）求△AOB面积的最小值；
（5）O在AB上的射影M轨迹方程。
解题思路分析：
设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）
（1）
∵OA⊥OB
∴kOAkOB=-1
∴x1x2+y1y2=0
∵y12=2px1，y22=2px2
∵y1≠0，y2≠0
∴y1y2=-4p2
∴x1x2=4p2
（2）∵y12=2px1，y22=2px2
∴（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）
∴直线AB：
∵
∴AB过定点（2p，0），设M（2p，0）
（3）设OA∶y=kx，代入y2=2px得：
x=0，x=
∴A（）
同理，以代k得B（2pk2，-2pk）
即y02=px0-2p2
∴中点M轨迹方程y2=px-2p2
（4）
≥
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立
评注：
充分利用
（1）的结论。
（5）法一：
设H（x3,y3），则
∴AB：
即代入y2=2p得
由
（1）知，y1y2=-4p2
x32+y32-2px3=0
∴点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0））
∵∠OHM=900，又由
（2）知OM为定线段
∴H在以OM为直径的圆上
∴点H轨迹方程为（x-p）2+y2=p2，去掉（0，0）
例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
升级会员 