高考数学全国卷1答案与解析Word格式.docx
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因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段
分层抽样.
C
4.已知双曲线：
（）的离心率为，则的渐近线方程为
A.B.C.
1
yxD.
双曲线的性质
由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.
5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于
A.[3,4]B.[5,2]C.[4,3]D.[2,5]
程序框图
有题意知，当时，，当时，，
∴输出s属于[-3,4].
A
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内
注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）
A.
500
3
cmB.
866
cmC.
1372
cmD.
2048
cm
球的体积的求法
设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
，解得R=5，∴球的体积为
cm.
7.设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13，则m（）
A.3B.4C.5D.6
等差数列
有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，
=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．168B．88C．1616D．816
三视图
由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为
2长方体，故其体积为=.
9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最
大值为，若13a7b，则m（）
A.5B.6C.7D.8
二项式的展开式
由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.
10.已知椭圆
22
xy
E:
1（ab0）
ab
的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆于A,B两点。
若AB
的中点坐标为（1,1），则E的方程为（）
4536
B.
3627
C.
2718
D.
189
椭圆的概念与性质
设，则=2，=－2，
①②
①－②得，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，
=18，∴椭圆方程为.
11.已知函数f（x），若||≥，则的取值范围是
A．B．C．[2,1]D．[2,0]
解不等式组，对数函数
∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C.
12.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3,，若
b1c1,b1c12a1，
caba
nnnn
a1a,b1,c1，则（）
A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列
C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
S的求法
n
略
二．填空题：
本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°
，c＝ta＋（1－t）b，若b·
c=0，则t=_____.
向量的数量积
=====0，解得=.
=
14.若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.
等比数列
当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－（）=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
15.设当x时，函数f（x）sinx2cosx取得最大值，则cos______
求三角函数的最值
∵==
令=，，则==，
当=，即=时，取最大值，此时=，
∴===.
===
16.若函数=的图像关于直线x2对称，则的最大值是______.
图像的性质
由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈（－∞,）∪（－2,）时，＞0，
当∈（,－2）∪（,+∞）时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单
调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，=
=16.
16
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°
，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝
90°
，求PA；
（2）若∠APB＝150°
，求tan∠PBA
（1）若PB=
余弦定理，正弦定理
（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30
o，在△PBA中，由余弦定理得=
=，∴PA=；
，
（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，
6
化简得，，
∴=，∴=.
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°
.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。
线与线垂直证明，线与面所成角的求法
（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB
⊥面，
∴AB⊥；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，
∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建
立如图所示空间直角坐标系，
有题设知A（1,0,0）,（0,,0）,C（0,0,）,B（－1,0,0）,则=（1,0，）,==（－1,0,
）,=（0,－,）,⋯⋯9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
7
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4件作检验，
这4件产品中优质品的件数记为n。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批
产品通过检验；
如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；
其他情
况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品
相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所
需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望。
求事件发生的概率、期望
设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为
事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品
通过检验为事件E，根据题意有E=（AB）∪（CD）,且AB与CD互斥，
∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）=+=.
（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且
P（X=400）=1-=，P（X=500）=，P（X=800）==，
∴X的分布列为
X4058
00000
P
EX=400×
+500×
+800×
=506.25
20.（本小题满分12分）已知圆:
圆:
动圆与外切并且与
圆内切，圆心的轨迹为曲线C.
8
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
椭圆的概念，直线与椭圆位置关系
由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为（1,0）,半径=3.
设动圆的圆心为（，），半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），
其方程为.
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，
0），∴设：
，由于圆M相切得，解得.
当=时，将代入并整理得，解得=
，∴|AB|==.
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=.
21.（本小题满分共12分）已知函数＝，＝，若曲线和曲
线都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求，，，的值；
（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。
求函数的导数、解不等式
9
（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；
⋯⋯4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，
即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而=
=≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
（2）若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在（－2,+∞）单调递增，而=0，
（3）若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1,].
22．（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在
圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：
DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外
接圆的半径。
弦切定理，三角形的性质，三角形与外接圆的关系等
（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.
由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，
又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.
10
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=.
设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，
∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于.
22.（本小题10分）选修4—4：
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（为
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
参数方程与极坐标方程的转化，直角坐标与极坐标的转化
将消去参数，化为普通方程，
即：
，将代入得，
∴的极坐标方程为；
（Ⅱ）的普通方程为，
由解得或，∴与的交点的极坐标分别为（），
23.（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数=,=.
（Ⅰ）当=2时，求不等式＜的解集；
（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，）时，≤,求的取值范围.
含有绝对值不等式的解法
当=-2时，不等式＜化为，
11
设函数=，=，
其图像如图所示
从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是.
（Ⅱ）当∈[，）时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，）都成立，故，即≤，
∴的取值范围为（-1，].
12
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