八年级上数学第十二章学案Word格式文档下载.docx
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这条直线是对称轴。
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；
反
过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称
图形．
例1．我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案（）有别于其余三个图案．
思路分析：
所用知识点：
例2．如图是我国几家银
行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？
它们各有几条对称轴，你能画出来吗？
（小组讨论完成）
练习2：
1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？
如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
2、下列图形中，是轴对称的图形的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
3、下面的希腊字母中,是轴对称图形的是（）
ΧδλΨ
ABCD
4、下列图形中，不是轴对称图形的是（）
三、学习反思：
本节课你有哪些收获？
课题：
12.1轴对称
（2）
【学习目标】通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等及相关的轴对称的性质；
了解垂直平分线的定义。
【学习重点】轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。
【学习难点】掌握轴对称图形的性质。
试验：
在纸上滴上墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称?
它的对称轴是哪一条?
把它画出来。
轴对称的性质
1、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合
吗？
于是有PA＝，∠MPA＝＝
（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。
例1、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（）
例2、观察规律并填空：
例3、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？
（小组讨论回答）思路分析：
练习：
1、如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得
到的三角形的三个
角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）
2、下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?
3、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?
哪些线段相等?
4、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是__________，线段AC、AB的对应线段分别是________，CD=________，∠CBA=__________，∠ADC=__________．
（2）连结AE和BF，AE与BF平行吗？
为什么？
（3）若AE与BF平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？
（4）延长线段BC、FG，交于点P，延长线段AB、EF，交于点Q,,你有什么发现吗？
12.1轴对称（3）线段的垂直平分线
【学习目标】理解线段垂直平分线与对称轴的关系；
掌握线段垂直平分线的性质；
通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义
【学习重点】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
【学习难点】运用线段垂直平分线性质解决问题。
一、学前准备：
预习新知P31----P33
线段是轴对称图形吗？
通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O
（1）点A的对称点是_______
（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？
（3）AB与直线l在位置上有什么关系？
观察课本P31思考中的图，线段AA′,BB′，CC′与直线MN的关系是________
由上可得：
对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？
线段垂直平分线的性质（教材P32）
如图，已知直线l垂直平分线段AB，交AB于C，点P是l上任意一
点,连接PA，PB.量出PA，PB的长度，它们有什么关系？
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的与这条线段的距离
7、由下面每个图所给条件，找出图中相等的线段，并说明理由。
A在BC的垂直平分线上ED垂直平分BC直线MN和DE分别是
线段AB、BC的垂直平分线
例1、已知互不平行的两条线段AB,A′B′关于直线l对称，AB,A′B′所在的直线交于点P，判断下列正误。
（1）AB=A′B′（）；
（2）点P在直线l上（）；
（3）若A,A′是对称点，则l垂直平分线段AA′（）；
（4）若B,B′是对称点，则PB=PB′（）
例2．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交
AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
思路分析：
所用知识点：
1、如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?
为什么?
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：
△BCD的周长。
3、如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？
AB+BD与DE有什么关系？
5、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
12.1轴对称（4）线段的垂直平分线判定
【学习目标】进一步理解线段垂直平分线的性质，并能灵活运用；
掌握线段垂直平分线的判定；
运用线段垂直平分线的判定解决问题
【学习重点】探索并理解线段垂直平分线的判定
【学习难点】运用线段垂直平分线的判定解决问题
用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去。
（1）
（2）
（1）如图
（1）要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？
那么点C在________上。
（2）如图
（2），拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上。
把上节课
所学的垂直平分线的性质反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
根据上面的题目，你能得到什么结论?
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________________上．
3、根据上面的结论，完成下面问题。
若AB=AC,则点A在若EB=EC,则点E在线段若PA=PB=PC,
线段___的垂直平分线上。
_____的垂直平分线上，又则点P即在线段
BD=DC,则____是____的_____,又在线段
垂直平分线。
______的垂直平分
线上。
例、如图所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°
，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D．要使点D恰为AB的中点，问还要添加什么条件？
根据你添加的条件，你能证明出D为AB的中点吗？
练习
1、如图：
已知直线l和l异侧的两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
·
A
B
2、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处
3、如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
5、已知：
E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
12.1轴对称（5）作线段的垂直平分线
【学习目标】理解和掌握线段的垂直平分线的定义、性质及判定方法，线段垂直平分线的几种作法；
能利用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算；
利用线段垂直平分线知识解决实际问题；
渗透把实际问题转化为数学模型的转化思想。
【学习重点】线段垂直平分线的几种作法
【学习难点】利用线段垂直平分线知识解决实际问题
1、
如图1，点A、A'
关于直线l对称，请说明直线l与线段AA'
的关系。
2、定义：
一条线段的直线叫作线段的垂直平分线。
性质1：
如果l是线段AA'
的垂直平分线，则点A、A'
关于直线l对称。
如图2，直线l是线段AA'
的垂直平分线，有一只小蜘蛛P分别向点A、A'
'
吐丝。
（1）比较PA与PA'
的大小。
（2）若蜘蛛P在l上运动，PA、PA'
的大小关系是否改变？
性质2：
垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。
因为P点在线段AA'
的垂直平分线上，所以
1、如图3，∵，
∴AB＝AC
理由是
2、如图4，若AC=10，BC=8，AB的垂直平分线交AB于E，
交AC于D，求△BCD的周长。
解：
∵ED是线段AB的垂直平分线
∴AD=
∵△BCD的周长=BD+DC+BC
∴△BCD的周长=+DC+BC
=+BC
=
说一说：
你能找出线段AA'
的垂直平分线吗？
有哪些方法？
判定1：
如果两点A、A'
关于直线l对称，则直线l是线段AA'
的垂直平分线。
如图5一只聪明的蜘蛛P分别向点A、A'
吐丝，它始终能使PA=PA'
，
你知道这只蜘蛛P是在哪条线上运动的吗？
判定2：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如果PA=PA'
，则点P在线段AA'
的。
如图6，因为，所以点A在线段BC的垂直平分线上
理由是
下面两位同学的说法对吗？
你同意谁的说法。
（1）小组讨论：
用圆规找出到线段两端距离相等的点。
（2）利用圆规、直尺作出线段AB的垂直平分线。
并找到线段AB的中点。
练习二
1、如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
（1）PA、PB、PC相等吗？
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？
由此你能得出什么结论？
长沙
2、石油公司计划修建一加油站，到长沙、株洲、湘潭三地的距离相等。
你认为该加油站应建于何处？
株洲
湘潭
12.2.1作轴对称图形学案
【学习
目标】认识轴对称变换的实质，会作已知图形关于某条直线对称的图形；
理解并掌握平面内一条直线同侧两个点与直线上的某一点距离之和为最小值时的点的位置的确定。
【学习重点】轴对称变换的意义；
作轴对称的方法；
【学习难点】运用轴对称解决距离之和的最小值的问题
1、阅读教材P39的四辐图，
2、操作：
自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的__________、_____________完全相同；
（2）新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的_____________点；
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴__________________。
例1、如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
总结：
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点（确定图形中的一些特殊点）；
2、画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
3、连线（连接对称点）。
1、画下列图形关于直线MN的轴对称图形；
2、已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
3、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。
4、.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
5、如图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是
上折右折沿虚线剪开展开
A．B．C．D．
12.2.2用坐标表示轴对称
【学习目标】在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
【学习重点】用坐标表示轴对称
【学习难点】用坐标表示轴对称
请同学们在直角坐标系中标出下列各点，并画出下列各点关于x轴对称的对称点.A（2,3），B（－4,2），C（3,－4）
根据上图所画得的各对称点，找出规律：
已知点
A（2,3）
B（－4,2）
C（3,－4）
D（－1，－1）
E（x，y）
关于x轴对称的点
关于x轴对称的点的坐标的特点是：
横坐标_________，纵坐标_________________
口诀：
横_________，纵_________
1、点P（－5,6）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2、点M（a,－5）与点N（－2,b）关于x轴对称，则a=_____,b=_____.
请同学们再在直角坐标画出下列各点关于y轴对称的对称点.A（2,3），B（－4,2），C（3,－4）
找出规律：
关于y轴对称的点
关于y轴对称的点的坐标的特点是：
1、点P（－5,6）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
2、点M（a,－5）与点N（－2,b）关于y轴对称，则a=_____,b=_____.
4.在平面直角坐标系中，
（1）关于x轴对称的点:
______________________________.
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为____________
（2）关于y轴对称的点:
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为_____________
练习3：
1、点（
，3）关于x轴对称的点的坐标为__________。
2、点P关于y轴对称的点的坐标为（3，
），则点P的坐标是____________。
3、已知A（a，－3）和点B（2，b）若A、B两点关于x轴对称，则a=_____，b=_______。
若A、B关于y轴对称，则a=________，b=________。
4、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
角平分线性质和垂直平分线性质练习
1、角平分线性质定理：
角平分线上一点______________________________________。
如图把证明书写格式填完整：
∵OP平分∠AOB，___________，_____________（已知）
∴_________=__________（角平分线的性质定理）
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，CD和BE交于点O，AO平分∠BAC。
证明：
AB＝AC
2、角平分线的性质定理的逆定理：
____________________________________的点在这个角的平分线上。
证明书写格式：
∵PA⊥OA，PB⊥OB，________=__________（已知）
∴点P在_______________________________上。
过点O，P作射线OP，则OP平分＿＿＿＿＿＿．
△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
∠BAD＝∠CAD
3、垂直平分线的性质定理：
垂直平分线上任意一点____________________________。
证明格式：
∵____________，_______________（已知）
∴_________=_________（垂直平分线的性质定理）
△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
4、垂直平分线的线质定理的逆定理：
_________________________________
___________的点在这条线段的垂直平分线上。
∵____________=_______________（已知）
∴点P在__________________________上。
练习4：
某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（10分）
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？
在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
作图题练习
一、尺规作图（只能使用无刻度的直尺和圆规作图）
1、画一个角等于已知角：
如图，已知∠AOB，在下面画一个角等于∠AOB
2、画一个三角形与已知三角形全等：
如图，已知△ABC，求作△DEF，使△DEF≌△ABC，你能想出几种方法？
理由是什么？
3、画一个角的角平分线：
在下图中画出∠AOB的角平分线OC
4、如图，三条公路两两相交于Ａ、B、C三点，现计划建一座综合供应中心，要求到三条公路的距离相等，则你能找出符合条件的地点吗？
画出来。
5、画线段的垂直平分线：
如图，已知线段AB，画出AB的垂直平分线
6、如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划建一个监控站，要求到三条公路的三个交点的距离相等，则你能找出符合条件的地点吗？
7、如图，在五角星上作出一条对称轴（一条即可）
二、非尺规作图（可用刻度尺、三角板、量角器等作图）
1、画轴对称图形：
已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称
2、要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
12.3.1等腰三角形
（1）
【学习目标】了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；
运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题；
等腰三角形的概念及性质。
【学习重点】等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
【学习难点】运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）
A圆B长方形C线段
D三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？
答：
________________________。
3、有两边相等的三角形叫_____________三角形，相等的两边叫_______，另一边叫_________。
两腰的夹角叫_________，腰和底边的夹角叫______。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
等腰三角形的性质
进行教材P49的探究活动
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表
重合的线段
重合的角
归纳等腰三角形的性质：
性质1等腰三角形的两个______________相等（简写成“_______________”）
性质2等腰三角形_______________、______________、___________互相重合。
简称：
___________________。
证明性质1：
已知：
如图在△ABC中，AB=AC
∠B=∠C
1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角
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