数值分析原理习题答案文档格式.docx

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lj（x）?

试证明

（x?

x0）（x?

x1）?

（x?

xj?

1）（x?

xn）（xj?

x0）（xj?

（xj?

1）（xj?

xn）

xl

j?

n

kjj

（拉格朗日插值基函数的性质）（x）?

xk（k?

0,1,...n）。

sin0.34?

0.333487,sin0.36?

0.3522744已知sin0.32?

0.314567，用抛物线插值计

算sin0.3367的值并估计截断误差。

（拉格朗日二次插值）5用余弦函数cosx在x0?

0，x1?

多项式,并近似计算cos日二次插值）

6已知函数值f（0）?

6,f

（1）?

10,f（3）?

46,f（4）?

82,f（6）?

212，求函数的四阶均差

4

，x2?

三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值

6

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

（拉格朗

f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。

（均差的计算）

7设f（x）?

xn）求f[x0,x1?

xp]之值，其中p?

n?

1，而节点

xi（i?

0,1,?

1）互异。

8如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。

（牛顿插值多项式的构造）

9求一个次数小于等于三次多项式p（x），满足如下插值条件：

p

（1）?

2，p

（2）?

4，

p?

（2）?

3，p（3）?

12。

（插值多项式的构造）

10构造一个三次多项式h（x），使它满足条件h（0）?

1,h

（1）?

0,h

（2）?

1,h?

（1）?

1（埃尔米特插值）。

11设f（x）?

x,x0?

1/4,x1?

1,x2?

9/4。

（1）试求f（x）在?

1/4,9/4?

上的三次埃尔米特插值多项式h（x），使得h（xj）?

f（xj）,j?

0,1,2,h?

（x1）?

f?

（x1），h（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项r（x）?

f（x）?

h（x）的表达式。

（埃尔米特插值及其余项的计算）。

12若f（x）?

c2[a,b],f（a）?

f（b）?

0，试证明：

32

max|f（x）|?

a?

x?

b

b?

a?

2max|f?

（x）|（插值余项的应用）

b8

13设f（?

2）?

1,f（0）?

2,求p（x）使p（xi）?

f（xi）（i?

0,1,2）；

又设|f?

（x）|?

m，则估计余项r（x）?

p（x）的大小。

（插值误差的估计）

姓名学号班级

最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1设f（x）?

sin?

x，求f（x）于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近）2令f（x）?

ex,?

1，且设p（x）?

a0?

a1x,求a0,a1使得p（x）为f（x）于[?

1,1]上的最佳平方逼近多项式。

（最佳平方逼近）3证明：

切比雪夫多项式序列

tk（x）?

cos（karccosx）

在区间?

1,1?

上带权?

（x）?

1?

x

正交。

（正交多项式的证明）

x1?

x2?

3?

4求矛盾方程组：

2x2?

4的最小二乘解。

（最小二乘法）

2

2?

5已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据.（计算过程保留3位小数）。

（最小二乘线性逼近）6用最小二乘原理求一个形如y?

bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。

（最小二乘二次逼近）

姓名学号班级

代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。

1给定求积公式

h

h

f（x）dx?

af（?

h）?

bf（0）?

cf（h）试确定a,b,c使它的代数精度尽可能

高。

（代数精度的应用和计算）2求积公式

a0f（0）?

a1f

（1）?

b0f?

（0），试确定系数a0,a1及b0，使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。

（代数精度的应用和计算）3数值积分公式

30

3

[f

（1）?

f

（2）]，是否为插值型求积公式，为什么？

又该公式

b

的代数精确度为多少？

（插值型求积公式特征）4如果f?

0，证明用梯形公式计算积分几何意义。

（梯形求积）5用n?

4的复化梯形公式计算积分

a

f（x）dx所得到的结果比准确值大，并说明其

dx，并估计误差。

（复化梯形求积）x

6设f（?

1,f（?

0.5）?

4,f（0）?

6,f（0.5）?

9,f

（1）?

2,则用复化辛甫生公式计算

f（x）dx，若有常数m使|f（4）|?

m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。

（复

化辛甫生公式）

7已知高斯求积公式

f（x）dx?

f（0.57735）?

f（?

0.57735）将区间[0,1]二等分，用复

化高斯求积法求定积分

xdx的近似值。

（高斯公式）

8试确定常数a，b，c和a，使得数值积分公式

a）?

cf（a）有尽

可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？

它是否为高斯型的？

（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

9设?

pn（x）?

是[0,1]区间上带权?

x的最高次幂项系数为1的正交多项式系

（1）求p2（x）。

（2）构造如下的高斯型求积公式

xf（x）dx?

a0f（x0）?

a1f（x1）。

（高斯求积）

【篇二：

数值分析简单习题】

章：

基本概念

第二章：

gauss消去法，lu分解法

第三章：

题型：

具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明

第四章：

掌握三种插值方法：

拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数

第五章：

最小二乘法计算

第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造

第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。

第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）,简单欧拉法。

第一章误差

1.科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2.用taylor展开近似计算函数f（x）?

f（x0）?

f（x0）（x?

x0），这里产生是什么误差？

3.0.7499作3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4

位有效数字，相对误差限为_______.0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4.改变下列表达式，使计算结果比较精确：

（1）

（3）11?

1?

2x1?

x|x|?

1

（2）

|x|?

11?

cosx,xx?

0,|x|?

1.（4）sin?

?

5.

采用下列各式计算1）6时，哪个计算效果最好？

并说明理由。

6

（2）

（3）

（4

99?

（3?

6.已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

xk

x1、利用taylor展开公式计算e?

，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数

k?

0k!

值.分别取x=1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分in?

in?

110xndx,n?

0,1,2,?

20,有如下的递推关系x?

6

0n?

11xxn（x?

6）?

6xn?

11dx?

dx?

in?

10x?

6x?

6n

可建立两种等价的计算公式

（1）in?

11?

6in?

1,取i0?

0.154；

nin）,取i20?

0.

（2）in?

n6n

来计算i1,i2,i3,i4,?

i19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章插值法

1.已知f（0）?

1，那么差商f[1,0]?

_________.

2.n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?

xn]?

__________________.

3.由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4.已知函数f（x）在x?

3,1,4的值分别是4，6，9，试构造lagrange插值多项式。

5.取节点x0?

0,x1?

2,对应的函数值和导数值分别为f（x0）?

1,f（x1）?

2,f（x1）?

2，试建立不超过二次的插值多项式。

（如果将最后一个条件改为f（x2）?

2，插值多项式如何计算？

6．已知f（0）?

1,f

（1）?

3,f

（2）?

9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7.设f（x）?

c4[a,b],求三次多项式p3（x）,使之满足插值条件

p（xi）?

f（xi）,?

p（x1）?

f（x1）i?

0,1,2

28.设p1（x）是过x0,x1的一次插值多项式，f（x）?

c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。

试证明：

对任一给定的x?

[a,b]，在（a,b）上总存在一点?

，使得r（x）?

p1（x）?

（?

）（x?

x）1。

2!

n9.证明关于互异节点{xi}in?

0的lagrange插值基函数{li（x）}满足恒等式i?

l0（x）?

l1（x）?

ln（x）?

上机习题：

1.绘制4题的lagrange的插值函数的图像。

第三章数据拟合

1.数据拟合与插值的区别是什么？

2.最小二乘原理是使偏差?

i的___________达到最小

3.求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4.用最小二乘法求一形如y?

bx2的多项式，使与下列数据相拟合

第四章线性方程组的直接解法

1.线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2.平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。

3.上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4.严格对角占优矩阵的定义是什么？

5.试求下面矩阵的杜利特尔分解

62?

（1）?

。

4?

213?

457

（2）?

285?

15?

2?

13?

0436.用列主元高斯消去法求解方程组?

206?

x3?

211?

6?

167.用lu分解法解方程组?

1027?

1.编程实现列主元的高斯消去法

2.编程实现lu分解法

第五章线性方程组的迭代解法

1.向量x?

（3,2,?

1,?

7）t，计算||x||1，||x||2，||x||?

.

31?

，计算||a||，||a||，||a||.0102.a=?

126?

20?

3.a?

分别计算a的谱半径?

（a）,条件数cond?

（a），||a||103?

4.矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。

5.求解ax=b的迭代格式x（k?

bx（k）?

g收敛的充分必要条件____________________。

6.sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。

7.写出下面方程的jacobi迭代格式

10x1?

2x3?

7?

10x2?

8

5x?

43?

12

8.给定下列方程组，判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛

5x1?

5x2?

（2）?

12x2?

8?

8?

5?

13

9.对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：

先调整方程组）

16?

26?

41?

10.给定方程组

12?

111?

，?

221?

（1）分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。

（2）证明jacobi迭代法收敛，而gauss-seidel迭代法发散。

【篇三：

数值分析题库】

lass=txt>

1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为a0.001523b0.15230c0.01523d1.523002．设方阵a可逆，且其n个特征值满足：

10?

5，则该数是（）2

c

...?

n，则a?

1的主特征值是（）

11b?

n

11

1或?

nd或

（k?

1）

3．设有迭代公式

x?

bx

（k）

f

。

若||b||1，则该迭代公式（）

a必收敛b必发散c可能收敛也可能发散

4．常微分方程的数值方法，求出的结果是（）

a解函数b近似解函数c解函数值d近似解函数值5．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（）a追赶法blu分解法

c雅可比迭代法d高斯—塞德尔迭代法

二．填空题（每小题4分，共20分）

1．设有方程组

3x3?

2x?

23?

，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为

101?

2．设a?

21?

1，则a?

3．设y?

2y,y（0）?

1，则相应的显尤拉公式为yn?

4．设

f（x）?

ax?

1,g（x）?

x2。

若要使f（x）与g（x）在[0，1]上正交，则a=

5．设

（2,?

2,?

1）t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p=

三．计算题（每小题10分，共50分）

1．求

27的近似值。

若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？

2．设

2x4,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

3．设有方程组

4．试确定常数a，b，c及?

，使求积公式

1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。

1f（x）dx?

）?

cf（?

为高斯求积公式。

5．设有向量

（2,1,2）

t

，试构造初等反射阵h，使h

（3,0,0）t。

2阶收敛的，并求

四．证明题（每小题10分，共20分）

1．设有迭代公式

xk?

2xk?

4*

，试证明该公式在x?

4邻近是?

3

4k?

4）2

klim

2.设x,y是n维列向量，q为n阶正交矩阵，且模拟二

一、单项选择题（每小题2分，共10分）

y?

qx

1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为

5，则该数是（）。

a0.00217b0.02170c0.21700d2.17000

2．已知?

是a的特征值，p是给定参数，则b=a-pe的特征值是（）。

ac

+pb?

-p

+2pd?

-2p

，则||b||1是该迭代公式收敛的（）。

a充分条件b必要条件

c充分必要条件

4．三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（）求解。

a雅可比迭代b高斯-塞德尔迭代c平方根法d追赶法5．若尤拉公式的局部截断误差是o（h

），则该公式是（）方法。

a1阶b2阶

c3阶d无法确定

二、填空题（每小题4分，共20分）

a）

b）

设a?

2，则a?

设有方程组?

1，则可构

造高斯—塞德尔迭代公式为

c）设

xy?

2，则相应的显尤拉公式为yn?

d）设

（1,2,?

3）t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p=

e）设

2,g（x）?

2x2.若要使f（x）与g（x）在[-1，0]上正交，则a=

三．计算题（每小题10分，共50分）

1．设

2x

若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

2．求的近似值。

若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？

3．设有方程组

4．试确定常数a，b，c及?

0?

有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。

212,,?

）t5．设有向量x?

（

333

（1,0,0）t

四．证明题（共20分）

（xk?

2）*

1．设有迭代公式xk?

xk?

，试证明该公式。

在x?

2附近是平方收敛的，并

2xk

求lim

2k?

2）2

k

2．设l1（x）是

f（x）的一次拉格朗日插值，试证：

（x1?

x0）2maxf（x）

x0?

x18

模拟三

1、若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（）。

7b.?

62211

5d.?

4c.22

2、若已知迭代过程xk?

（xk）是3阶收敛，c是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是

a.（）。

a．lim

*

kk?

1k

*

c．lim

3b．lim

x）

cd．lim

*3*

*3

c

3、4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（）次代数精度。

a.4b.5c.8d.9

4、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（）。

a.lu分解法b.追赶法c.高斯消去法d.平方根法5、设a的特征值满足|?

a.

|?

|?

r?

1|?

n|，则相应幂法的速比ra?

（）

b.

c.

d.

1、过节点

1，x1?

0，x2?

1做近似f（x）?

2的二次拉格朗日插值，其表达式

是。

2、若

x30?

s（x）?

a（x?

b（x?

c1?

是三次样条函数，则a?

b?

c?

3、设a?

，则cond?

（a）?

21?

4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵，

，若使

03?

1=0，则p?

c31?

5、设

2xy2?

1，则相应的隐尤拉公式为。

三、计算题（每小题10分，共50分）。

1、利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组

2的近似解。

2、设，

b?

若线性方程组

ax?

仅有右端有扰动

x

4。

试估计由此引起的解的相对误差

3、确定求积公式

a

f（?

a1f（0）?

a2f

（1），并指明其代数精度。