全国百强校广东省仲元中学学年高二下学期期中考试数学理试题.docx
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全国百强校广东省仲元中学学年高二下学期期中考试数学理试题
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【全国百强校】广东省仲元中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：
xxx；考试时间：
66分钟；命题人：
xxx
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1、
是定义在
上单调递减的奇函数，当
时，
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2、已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数），下面四个图象中
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、观察下列各式：
，
，则
（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
4、已知双曲线
的离心率为
则
的渐近线方程为（）
A．
B．
C．
D．
5、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，
则相应的侧视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
6、已知幂函数
图像的一部分如下图，且过点
，则图中阴影部分的面积等于（）
A．
B．
C．
D．
7、
的展开式中
的系数（ ）
A．-56 B．56 C．-336 D．336
8、函数
的定义域为
A．
B．
C．
D．
9、用反证法证明命题“设
为实数，则方程
没有实数根”时，要做的假设是
A．方程
至多有一个实根
B．方程
至少有一个实根
C．方程
至多有两个实根
D．方程
恰好有两个实根
10、复数
的实部是（ ）
A．
B．
C．3 D．
11、设
为
所在平面内一点，若
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12、函数
，已知
在
时取得极值，则
=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
13、下列几个命题：
①方程
有一个正实根，一个负实根，则
；
②
和
表示相同函数;
③函数
是非奇非偶函数;
④方程
有两解，则
其中正确的有___________________.
14、已知正弦函数
具有如下性质:
若
则
（其中当
时等号成立）.根据上述结论可知,在
中,
的最大值为_______.
15、把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为_________.
16、如果曲线
与
在
处的切线互相垂直，则
=________.
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
17、已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的图象在点（1，
）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数
的单调区间；
（Ⅲ）已知
，对于函数
图象上任意不同的两点
，其中
，直线
的斜率为
，记
，若
求证
18、已知椭圆
：
（
）的焦距为
，且经过点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）
、
是椭圆
上两点，线段
的垂直平分线
经过
，求
面积的最大值（
为坐标原点）．
19、如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，侧面
底面
，
，
，
分别为
的中点，点
在线段
上．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）如果直线
与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等，求
的值．
20、设等差数列
的公差为d，前
项和为
，等比数列
的公比为
．已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；
（Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前
项和
．
21、2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：
现从该港口随机抽取了
家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这
家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．
22、已知函数
的图象在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和
.
（1）求函数
的解析式；
（2）求
的值
参考答案
1、D
2、C
3、C
4、C
5、D
6、B
7、A
8、C
9、A
10、B
11、A
12、D
13、①④
14、
15、
16、
17、（Ⅰ）
；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）证明见解析.
18、（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
19、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
20、（Ⅰ）
或
；（Ⅱ）
．
21、（I）
，
；（II）
.
22、
（1）
；
（2）
.
【解析】
1、由函数是奇函数可得
，即
；由函数是单调递减函数可得
，应选答案D。
2、结合题设中提供的函数的图像可以看出：
当
时，
，函数在
上单调递增；当
时，
，函数在
上单调递减；当
时，
，函数在
上单调递减；当
时，
，函数在
上单调递增，故应选答案C。
点睛：
解答本题的关键是读懂题设中提供的函数的图像，其实这个图像是函数
的图像，求解时要充分借助图像中的有效信息，运用分类讨论的数学思想方法逐一分类判定
的符号，进而依据导数与函数的单调性之间的关系判定函数的单调性，进一步确定与之匹配的函数
的图像，从而获得答案。
3、试题分析：
观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即
考点：
归纳推理
4、试题分析：
因
令
故
所以
应选C.
考点：
双曲线的几何性质.
5、从题设中提供的正视图与俯视图可以推知该几何体是半个圆锥与三棱锥的组合体，由于三棱锥的底面是等腰三角形，且其高是圆锥底面的半径，故侧视图是等腰三角形，应选答案D。
6、试题分析：
由题意得，因为幂函数
图像过点
，所以
，解得
，所以幂函数
，则阴影部分的面积为
，故选B.
考点：
幂函数的解析式；定积分的应用.
7、因为展开式中的通项公式是
，令
，所以
的系数是
，应选答案A。
8、因为
或
，所以应选答案C。
9、至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.
10、因为
，所以
的实部是
，应选答案B。
11、∵
∴
−−
=3（
−−
）；
∴
=
−−
.
故选：
C.
12、试题分析：
对函数求导可得，
，∵
在
时取得极值，∴
得
故答案为：
D.
考点：
函数的导数与极值的关系.
13、对于答案①，“
有一个正实根，一个负实根”等价于“
”，即
，即答案①是正确的；对于答案②，由于定义域相同，而函数解析式（对应法则）
不同，因此答案②是错误的；对于答案③，函数的定义域是
，则
则
所以，函数
是奇函数；答案③是错误的；由
可得：
或
，因为
所以
且
解之得
应填答案①④。
点睛：
解答本题的关键是逐一对题设中提供的四个答案分别综合运用所学知识分别进行分析推断，从而辩出命题的真假，从而求出正确的命题的序号，进而使得问题获解。
当然解答这些问题要具备扎实的数学基本功和较强的分析问题和解决问题的能力。
14、令
，由于
，所以
，应填答案
。
点睛：
本题是一道信息迁移题，这类问题的特点是先给出问题的一般模式（即一般情形的新信息），然后再依据这一新定义的信息，运用联想和类比的思维模式解答在这一前提下的特殊问题。
本题求解时，充分借助题设条件，将一般问题的情形变为
的特殊情形问题来解答，从而使得问题获解。
15、由题意编号为
的四封电子邮件发送到编号为
的四个网址，发送方法有
种，“有两封的编号与网址的编号相同或全相同”，所包含的基本事件数为
，故“有两封的编号与网址的编号相同或全相同”概率为
，故事件“至多有一封邮件的编号与网址的编号相同”的概率为
，应填答案
。
点睛：
解答本题的关键是先运用正难则反的数学思维方法，将“至多有一封邮件的编号与网址的编号相同”的反面“有两封的编号与网址的编号相同或全相同”的事件的概率求出
，借助对立事件的计算公式求出“至多有一封邮件的编号与网址的编号相同”的概率为
，从而使得问题获解。
16、因为函数
与
的导数分别
，由导数的几何意义及相互垂直的斜率之间的关系可得：
，即
，应填答案
。
17、【试题分析】（Ⅰ）由题设条件先求出函数
导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率
；（Ⅱ）先求函数
的导数
再依据实数
的取值范围进行分类求出其单调区间；（Ⅲ）分别求出k=
和
将问题转化为证明
，然后设
再构造函数
，最后借助导数知识推断函数
在
内单调递减，进而推得
从而证得
：
解析：
（Ⅰ）当
时,
又
函数
的图象在点（1，
）处的切线方程为:
即
（Ⅱ）
的定义域为
当
时，
在
上恒成立，
在定义域内单调递增；
当
时，令
解得，
则
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
综上，
时，
的单调递增区间为
；
时，
的单调递增区间为
，
的单调递增区间为
（Ⅲ）证明：
，
又
，
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