线性代数的特殊行列式及行列式计算方法总结材料Word文档格式.docx

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二、低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）

三、高阶行列式的计算

【五种解题方法】

1）利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；

4）递推法或数学归纳法；

5）升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】

1.利用行列式定义直接计算特殊行列式

例1（2001年考研题）

L

1

2

M

1999

20000L000

00L002001

列式定义进行计算解法一：

定义法

D

（1）（n1,n2,...,2,1,n）2001!

（1）012...199902001!

2001!

解法二：

行列式性质法

利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,⋯,2,1行交换（这里n=2001），

即进行2000

次换行以后，

变成副对角行列式。

2001

2001（20011）

D

（1）20011

（1）20011

（1）22001!

2000

解法三：

分块法

00L010

00L200

MMMMMM

01999L000

利用分块行列式的结果可以得到

解法四：

降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算

2.利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例2

1a111

11a11

111b1

1111b

分析：

该行列式的特点是1很多，可以通过r1r2和r3r4来将行列式中的很多1

化成0.

解：

例3

a

1a

r2r1

ab

b

r4r1

1b

D

r4r3

2b2

3

a13

a12b1

a1b12

a2

a22b2

a2b22

a3

a32b3

a3b32

a4

a42b4

a4b42

b13

，（ai

0）

该类行列式特点是每行

a的次数递减，b的次数增加

特点与范德蒙行列

式相似，因此可以利用行列式的性质将

D化成范德蒙行列式

3333

Da1a2a3a4

（ba1）

a1

（ba2）

（b3）

（ba4）

（ba1）2a1（ba2）2a2

（b3）2a3（ba4）2a4

（ba1）3

（ba2）3

（b3）3

（ba4）3

a1a2a3a4

V（b1,b2,b3,b4）a1a2a3a4

（bai

1ji4ai

aj

练习：

（11-12年IT专业期末考试题）

若实数x,y,z各不相等，则矩阵Mx2

z的行列式M

z

3.利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

例4

ba

Dn

0L00

bL00

0Lab

0L0a

第一个元素，a是最后一个元素

按第一列展开：

（11-12年期中考试题）

4.行（列）和相等的行列式

例5

n列加到第1列上。

（类似题型：

教材P12例8，P278

（2））

[a（n1）b]

Dn[a（n1）b]

[a（n1）b]（ab）n1

5.箭头形（爪行）行列式例6

0L

0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。

再加到第1列上。

n1

n

i2i

n!

Dn!

（1i）

爪形行列式进行计算！

练习：

1）教材习题P28:

8（6）

2）（11-12年期末考试题）

a23L

2a0L

30aL

n100L

n00L

（n1）n

00

a0

0a

例7

该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同

3）（11-12年IT期末考试题）

x1

an

a1x1

x2a2

x3a3

xna

nn

（xiai）[1ai]

i1i1xiai

6.

递推法或数学归纳法

题。

利用同样的方法可以计算教材P278（4）

7.升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算例8（教材P288（6））

1+a1

1+a2

Dn=

1+a

（ai0）

该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。

因为行列式中有很多1，因此可以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。

注意：

行列式是

方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，

以保持行列式的形状。

为了使行列

式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,⋯,0.

11

定理3

MM

1L

1+a2L

111L-1a10L-10a2LMMMM

=a1a2...an（1+

i=1

01

L1+an

-100Lan

例9（教材P276（4））

c

d

D=

b2

d2

4a

b4

4c

d4

此行列式可以应用性质

6将行列式化为上三角行列式，

也可以对比范德蒙

行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计

算。

解法

r4a2r3

r3ar2

r2ar1

b（b

a）

22

b2（b2

a2）

按第一列=展开（b

c（c

d（d

c（c

d2（d2

a）（ca）（d

a）bc

b2（ba）c2（ca）

d2（da）

c2c1

c3c1（b

a）（c

a）（d

按第一

行展开（b

bb2（b

c2（c

b2（b

d2（d

db

a）b2（ba）

（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）

D5

（xx3的系数是

11111

abcdx

22222

abcdx

33333

44444

a）（xb）（xc）（x

d）（ba）（ca）（d

a）（cb）（db）（dc）

D，因此D等于x3的系数的相反数，由此可计算得到结果