山农成人教育 离散数学期末考试复习题及参考答案专科Word文件下载.docx

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B={<

<

3,2>

2,3>

C={<

1,4>

D={<

1,2>

2,1>

1,3>

3,1>

（8）设f：

A®

A,如果f是双射的，则f∘f1=__________________.

（9）设代数系统V=<

A,+>

，A=

+为矩阵加法.则V中运算的单位元和矩阵

的逆元分别是__________________________________.

（10）n阶循环群的生成元有______个即______，无限循环群的生成元有___________个即___________；

（11）设n为正整数，Sn为n的正因子集，S关于整除关系构成格，令n=1,2,3,4,5,6,那么当n=________________时，Sn构成布尔格；

（12）n阶竞赛图的基图为__________________；

（13）当n为____________时，完全图Kn既是欧拉图，又是哈密顿图；

（14）n阶m条边的无向连通图G，对应它的生成树T有___________个基本回路；

（15）设G是由3个连通分支K1、K2和K3组成的平面图，则G共有_________个面；

二、判断推理是否正确

设y=2|x|，x为实数.推理如下：

若y在x=0可导，则y在x=0连续.y在x=0连续.所以，y在x=0可导.

三、证明题

1.设V=<

A,o>

是代数系统，V中适合结合律，存在单位元，且每个元素都有逆元，证明"

a,b,cÎ

A，a∘b=a∘cÞ

b=c.

2设G为群，证明G为Abel群的充要条件是对于G中任意元素a,b有（ab）2=a2b2.

3.在整数环中定义∗和◇两个运算,a,b∈Z有

a∗b=a+b1,a◇b=a+bab.

证明<

Z,∗,◇>

构成环

四、应用题

1.一个学校有507,292,312和344个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言课，且有14人选了微积分和数据结构课，213人选了微积分和程序设计语言课，211人选了离散数学和数据结构课，43人选了离散数学和程序设计语言课，没有学生同时选微积分和离散数学课，也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课。

问有多少学生在微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言中选了课？

2．已知a、b、c、d、e、f、g七人中，会讲的语言分别为

a：

英语、德语

b：

英语、汉语

c：

英语、意大利语、俄语

d：

汉语、日语

e：

意大利语、德语

f：

俄语、日语、法语

g：

德语、法语

问能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈?

五、判断解答

判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是，则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律，并求出单位元和零元.

aob=max（a,b）,a∗b=min（a,b）,a∙b=ab,a◇b=（a/b）+（b/a）

参考答案

一、填空

1.0110

2.0

3.AC

4.不含自由出现的个体变项

5.全程量词消去时用y替换x不满足条件

6.[3,4]

7.C

8.

9.

10.

个

11.1,2,3,5,6,

12.Kn

13.奇数

14.

15.2

二．判断推理是否正确

若y在x=0可导，则y在x=0连续.y在x=0连续.所以，y在x=0可导.

解答：

y=2|x|，令

三.证明题

证明：

G为Abel群，因此

反之，对于任意

，由

得

，使用消去律的

从而证明G为Abel群。

3.证a,b∈Z有a∗b,a◇b∈Z,两个运算封闭.任取a,b,c∈Z

（a∗b）∗c=（a+b1）∗c=（a+b1）+c1=a+b+c2

a∗（b∗c）=a∗（b+c1）=a+（b+c1）1=a+b+c2

（a◇b）◇c=（a+bab）◇c=a+b+c（ab+ac+bc）+abc

a◇（b◇c）=a◇（b+cbc）=a+b+c（ab+ac+bc）+abc

∗与◇可结合，1为∗的单位元.2a为a关于∗的逆元.Z关于∗构成交换群,关于◇构成半群.◇关于∗满足分配律.

a◇（b∗c）=a◇（b+c1）=2a+b+cabac1

a◇b）∗（a◇c）=2a+b+cabac1

<

四.应用题

答案：

用文氏图。

974

（1）设A为任意的公式，B为重言式，则A

B的类型为______________.

（2）无向图G是欧拉图的充分必要条件是__________________________．

（3）（AB）A________________为假言推理定律．

（4）在一阶逻辑中将命题符号化时，若没指明个体域，则使用_____________个体域.

（5）若R既是_________、_____________、______________则称R是整环；

（6）设[0,1]和（0,1）分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为真的是____________________________；

A.{0,1}Í

（0,1）B.{0,1}Í

[0,1]C.（0,1）Í

[0,1]

D.[0,1]Í

QE.{0,1}Í

Z

（7）已知RÍ

A´

A且A={a,b,c}，R的关系矩阵

M（R）=

则传递闭包t（R）的关系矩阵M（t（R））=__________________________.；

（8）设R为实数集合，f：

R®

R,f（x）=x2-x+2，g：

R,g（x）=x-3,则fg（x）=_______；

（9）设Z为整数集，"

a,bÎ

Z,aob=a+b-1,"

aÎ

Z,a的逆元a1=____________；

（10）设G=<

a>

是24阶循环群，则G的生成元为_______________________；

（11）设L为钻石格，则L有_____________________个2元子格；

（12）n阶k-正则图G的边数m=________________；

（13）在完全图K2k（k≥2）上至少加___________条边，才能使所得图为欧拉图；

（14）6阶无向连通图至多有____________棵不同构的生成树；

（15）在环中计算

__________；

二、在自然推理系统P中，用直接证明法构造下面推理的证明

前提：

（pq）,q→r,r

结论：

p

1.设E={1,2,...,12}，A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11}，C={2,3,6,12},D={2,4,8}，计算：

AÈ

B,AÇ

C,C-（AÈ

B）,A-B,C-D,BÅ

D.

2.设

为模18整数加群,求所有元素的阶.

3．求带权为5,5,6,7,10,15,20,30的最优树T，并求W（T）．

1.判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是，则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律，并求出单位元和零元.

2.计算机系张、王、李、赵4位教授下学期要承担他们都熟悉的4门课程：

数据结构、操作系统、C语言和JAVA．

（1）试讨论学院安排他们授课的方案数；

（2）在上述各方案中，有多少种是完全不同的方案（即，每位教授所授课程都不相同的方案数）?

1.矛盾式

2.G连通且无奇度顶点.

3.B

4.全总

5.交换环、含幺环、无零因子环

6.B,C,E

7.M（R）

8.x2x-1

9.2a

11.7,

12.

13.k

14.6

15.略

二．略

三.计算

2.|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,

|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18

答案W（T）=267

四.判断解答

2.4！

4种完全不同的方案。

（1）设A为任意的公式，B为重言式，则AÚ

（2）无向图G是半欧拉图的充分必要条件是________________________．

（4）在一阶逻辑中将命题符号化时，若没指明个体域，则使用________个体域.

（5）取解释I为：

个体域为D={a}，F（x）：

x具有性质F，在I下xF（x）xF（x）的真值为_________；

（6）设[0,1]和（0,1）分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为真的是________________________；

则传递闭包t（R）的关系矩阵M（t（R））=_________________________.；

R,g（x）=x-3,则fg（x）=________；

Z,a的逆元a1=__________；

是24阶循环群，则G的生成元为_____________________；

（11）设L为钻石格，则L有___________________个2元子格；

（12）n阶k-正则图G的边数m=_______________；

（13）在完全图K2k（k≥2）上至少加__________条边，才能使所得图为欧拉图；

（15）设无向图G与K5同胚，至少从G中删除___________条边才能使所得图为平面图；

二、求复合命题的真值

p：

2能整除5，q：

旧金山是美国的首都，r：

一年分四季.

（1）（（pÚ

q）®

r）Ù

（r®

（pÙ

q））；

（2）（（Ø

q«

p）®

（rÚ

p））Ú

（（Ø

q）Ù

r）.

2.设A={1,2,5,10,11,22,55,110},A关于整除关系构成格L.求L中所有有补元素的补元.

2.判断下面集合对于给定运算能否构成群，并简要说明理由.

A.非零实数集合R*关于∘运算，其中a∘b=2ab；

B.G=

关于矩阵乘法.

五、

图G=<

V,E>

，其中V={a,b,c,d,e,f}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（d,e）,（d,f）,（e,f）}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

1.重言式

2.G连通且恰有两个奇度顶点.

5.1

15.1

二．求复合命题的真值

0

r）.1

三.计算

答案1与110互为补元；

2与55互为补元；

5与22互为补元；

10与11互为补元。

A.能够成群显然运算封闭，满足结合律，单位元是

，

的逆元是

.

B.构成群，运算封闭。

矩阵乘法满足结合律，单位阵

为单位元.

五、图G=<

解：

（1）因为V={a,b,c,d,e,f}

E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,

（c,e）,（d,e）,（d,f）,（e,f）}，

权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8

所以，G的图形如右图所示：

（2）分析：

定义3.3.1设G=<

V，E>

是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中

邻接矩阵：

（3）用避圈法：

第1步：

选（a,e）和（c,e）边；

第2步：

选（b,d）边；

（为什么不选（a,c）？

）

第3步：

选（d,f）边；

第4步：

选（a,b）边．

这样，得到了最小的生成树，如右图中粗线所示．

最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12．