第5讲分数的应用之抓不变量转化法倒推法及方程法.docx
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第5讲分数的应用之抓不变量转化法倒推法及方程法
第五讲分数的应用
抓不变量、转化法、倒推法及方程法
一、知识简介：
1、单位“1”
2、量率对应：
对应的量÷对应的分率二单位“1”的量
3、常用方法：
抓不变量、利用方程解答、倒堆法、转化法
二、例题精讲
知识点一：
抓不变量
解答较复杂的分数应用题时，抓不变量是在变化量中牢牢抓住不变的量，
根据四则运算的意义进行解答；或将它当作标准量（单位“1”），并将其他屋转化过来，然后找到数量、分率（倍率）的对应关系，再解答。
9
例K操场上有108名同学在锻炼身体，其中女生占二，后来乂来了儿名女生,
9
使女生人数达到男生人数的守，后来乂来了儿名女生？
练习一：
（1）某校六年级已有学生260人，其中男生占全年级总人数的着，为了让女生至少能占
总人数的于是决定再招收部分女生。
那么至少还要招收多少名女生？
⑵六（!
）班原来女生占全班人数的卜新学期转出了4名女生，这时女生占全班人数的这个班现在有女生多少人?
5
⑶某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的？
后来乂有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的扌，问某班五年级有学生多少人？
£
例2、大小两筐苹果一共是88千克，从大筐中取出"，放入到小筐中，两筐的
苹果重量相等•小筐原来有多少千克苹果？
练习二：
（1）屮乙两个仓库共有水泥180吨，如果屮把它的扌给乙，中还比乙多二屮乙原来各有多少吨？
（2）某车间共有140人，其中女工占总人数的恳，后来乂转来若干名女工，这时女工占总人数的丄。
转来多少名女工？
3
（3）六年级三班起初有士的同学参加奥数兴趣小组，后来乂有6名同学报名参加,这样全班中参加奥数兴趣小组的人数与未参加人数的比是1：
2。
那么六年级三班共有多少人？
例3、某厂的男职工人数比女职工人数多丄，后来男、女职工各增加30人，则3
男职工人数比女职工人数多现在有女工多少人？
练习三：
（1）新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48人，六年二班有学
生56人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多Z,
两个班各转出多少人?
（2）王叔叔的每月工资收入占李叔叔的∣,他们两家每月支出为1200元，王叔叔每月结余的钱数是李叔叔的：
，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？
4
例4：
将兰的分子与分母同时加上某数后得？
，求所加的这个数。
619
练习四：
972
1•分数丄的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是土。
那么减去的这个数是多
1815
少？
13
2分数护分子、分母同加上-个数后得齐那么同加的这个数是多少?
35
3•河的分子、分母加上同-个数并约分得厂那么加上的数是多少?
例5：
将-个分数的分母减去2於。
如果将它的分母加上1,则畤求这个分数。
练习五：
73
1•将一个分数的分母加上2得一，分母加上3得二“原来的分数是
94
34
2•将一个分数的分母加上3得二，分母加上2得上“原来的分数是
45
34
3•将-个分数的分母加上5得亍，分母加上4得犷原来的分数是
例六：
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于专。
如果在它的分子上减去同-个数，这个分数就等于'求原来的最简分数。
练习六:
1•一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于专。
如果在它的分子上减去同
8
一个数，这个分数就等于丄。
求这个分数。
2
2—个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于占。
如果在它的分子上减去同-个数，这个分数就等于卜求这个分数。
7
3•—个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于一。
如果在它的分子上减去同一个
9
3
数，这个分数就等于彳。
求这个分数。
例7:
将一个分数的分母加3得1,分母加5得』。
原分数是O
94
练习七：
54
1•一个分数，将它的分母加5得二，加8得上。
原来的分数是
65
2•将一个分数的分母减去3,约分后得若将它的分母减去5,则得原来的分数
78
是。
35
3•把一个分数的分母减去2,约分后等于二。
如果给原分数的分母加上9,约分后等于丄。
47
求原分数。
例8：
有一个分数，如果分子加仁这个分数等于丄：
如果分母加仁这个分数等于丄。
23
这个分数是O
练习八：
1•一个分数，如果分子加3,这个分数等于丄：
如果分母加仁这个分数等于二这个分数
23
是O
2•—个分数，如果分子加5,这个分数等于丄：
如果分母减3,这个分数等于丄。
这个分数
23
是O
3.—个分数，如果分子减1,这个分数等于丄；如果分母加11,这个分数等于丄。
这个分
23
数是o
知识点二：
转化法
我们必须重视转化训练。
通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的
解题思路，提高我们的思维能力。
例1、有IOO名新生分成4个队参加军训，一队人数是二队人数的扌倍,一队人数是三队人数的？
倍,那么四队有多少人？
4
练习一：
（1）希望小学举行数学竞赛，二等奖的人数相当于一等奖的;倍，同时
2
乂是三等奖人数的获得三等奖的有40人，则获得一等奖的有多少人？
8
（2）一批水果用了四夭卖完，第一夭卖出180千克，第二夭卖岀余下的扌，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克?
Q
例2.屮、乙、丙、丁四个车队，甲车队运的占其他三个车队总数的工，乙车队19
运的货占其他三个车队的2,丙车队运的货占其他三个车队总和的竺，已知丁1129
车队运了26吨。
问甲车队运了多少吨？
练习二：
（1）植树节那天，小明、小红、小月和小康四位同学共种了120棵树,小明种的树是其他同学种树总数的一半，小红种的树是其他同学种树总数的三分之一，小月种的树是其他同学种树总数的四分之一，你知道小康同学种了多少棵树吗？
（2）屮粮仓装有43吨面粉，乙粮仓装有37吨面粉。
如果把乙粮仓的面粉装进屮
粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的丄；如果把中粮
2
仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，屮粮仓里剩下的面粉占屮粮仓容量的
£
3O屮、乙两个粮仓各可以装面粉多少吨？
例3.某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25%,第二车间人数是第三车间的？
，已知第一车间比第二车间少40为，三个车间一共有多少4
人？
练习三：
（1）三架飞机模型，在空中停留的时间有如下关系：
A的？
是B的丄，
37
B的？
是C的丄，C在空气中停留的时间比A多13分钟。
那么B在空气中停留了37
多少分钟？
（2）学校食堂有一批大米，用去总重量的右后，乂运进2300千克，现在所存大米原来还多;，现在学校食堂存的大米有多少千克？
6
知识点三：
倒推法
倒推法解题是从最后的结果出发，运用加和减、乘和除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。
适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件：
已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。
例1、一根铁丝，第一次用去它的-χl米；第二次用去余下的丄乂丄米；第三
3344
次用去这时的丄乂丄米，最后还剩下丄米.这根铁丝原来有多少米？
224
练习一：
（1）把一批电话线分给三位安装电话的工人，先把总数的丄多20米分
4
给甲，再把剩下的丄多40米分给乙，最后把剩下的？
丄多60米分给丙，正好分44
完，这批电话线总长是多少？
（2）小王、小李.小丁三人合伙做生意，年终根据每人的投资进行分红。
小王
££
取走了全部利润的亍另加9万元,小李取走了剩下的§另加12万元,小丁取走了
£
小李取后剩下的亍和剩下的12万元,他们每人各分得多少万元？
（3）《九章算术》中有一道题：
“今有人持米岀三关，外关三而取一，中关五
而取一，内关七而取一，余米五斗。
问持米儿何？
”题意是：
有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的丄纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时用再
35
余米的丄纳税，最后还剩下5斗米。
这个人原来背多少斗米出关？
7
例2、屮乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库的存粮的丄运到屮仓库，再将屮仓库
5
存粮的1运到乙仓库，这时屮仓库存粮有600吨，乙仓库存粮有720吨。
那么，4
原来中仓库和乙仓库各有存粮多少吨？
练习二：
（1）有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出*油给乙桶后，又从乙桶中倒出2给甲桶，这时两桶
油各有24千克。
原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
（2）兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数.如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
（3）甲、乙、丙三人共有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一半，平均分给乙、丙；然后乙拿出自己现有棋子的丄，平均分给中、丙；最后丙把现有棋子数的丄，34
平均分给屮、乙。
这时三人的棋子数恰好相等。
那么屮最早至少有多少枚棋子?
例3：
甲.乙.丙三人共有人民币168元，第一次甲皇出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿岀与这时甲相同的钱数给甲。
这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元？
练习三:
1•甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班.再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。
再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。
原来甲班比乙班多多少人？
2•甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒内拿出4个放入乙盒，再从乙盒内拿出8个放入丙盒内，三个盒子内的小球个数相等。
原来乙盒比丙盒多几个球？
3•甲、乙、丙三个仓库而粉袋数的比是6：
9：
5,如果从乙仓库拿出400带平均分给甲、
丙仓库，则甲、乙两个仓库而粉的数量相等。
这三个仓库共存而粉多少袋？
例4：
甲、乙两个仓库各有粮食若干咯从甲仓库运出丄到乙仓库后，又从乙仓库运出丄
44
到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。
原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
练习四：
1•甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出丄到乙仓库后，又从乙仓库运出丄到甲33
仓库，这时甲、乙两仓库的粮食存量相等。
原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
2•甲、乙两个仓库各有粮食若干咯从甲仓库运岀丄到乙仓库后，又从乙仓库运出丄到甲
54
仓库，这时甲、乙两仓库的粮食存量相等。
原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
12
3•甲、乙两个仓库各有粮食若干吨•从甲仓库运岀-到乙仓库后，又从乙仓库运出一到甲
35
9
仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的一°原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
10
知识点四：
方程法
191
例1、有两堆煤，原来第一堆是第二堆煤量的J,从第一堆运走丰后，第二堆比第一堆少8吨，第一堆煤原来有多少吨？
练习一：
（1）小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：
你有球的个数比我少丄。
4
小亮说：
你要是能给我你的寺，我就比你多2个了。
小明原有玻璃球多少个？
6
（2）一箱桃子分给甲乙丙，甲分得了全部的丄加7个，乙分得了全部的丄加545
个，丙分得了其余的一半，最后剩下的是全部的丄，这箱桃子有儿个？
8
例2、某校选出男教师的右和女教师12人参加广播操比赛，剩下的男教师人数是剩下女教师人数的2倍，已知学校共有男女教师156名，男教师有多少人？
练习二
（1）某学校五年级有学生125人，选出男同学的右和13名女同学去劳动，剩下的男同学的人数正好是剩下的女同学的2倍，这个年级男、女同学各有多少人？
（2）有两根长短粗细不同的
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